廣東省深圳市桃源中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

廣東省深圳市桃源中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)（

）。

A、向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位B、向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位C、向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位D、向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位參考答案：C略2.在映射，，且，則與A中的元素對應(yīng)的B中的元素為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A3.若，，則角的終邊在（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：D略4.已知，則的表達(dá)式為（）

B．

C．

D．參考答案：A5.函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋ǎ〢．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：D由分式的分母不為0求解x的范圍得答案．解：由log2x≠0，得x＞0且x≠1．∴函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞）．故選：D．6.直線與直線垂直，則a的值為（

）A．－3

B．

C．2

D．3參考答案：D∵直線ax+2y﹣1=0與直線2x﹣3y﹣1=0垂直，∴2a+2×（﹣3）=0解得a=3故選：D．

7.若a=2，b=logπ3，c=log2sin，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a參考答案：A【考點(diǎn)】不等式比較大小．【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．【解答】解：∵a=2＞20=1，0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1，c=log2sin＜log21=0，∴a＞b＞c．故選：A．8.已知m，n是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，則下列命題中正確的是（）A．m⊥α，α⊥β，m∥n?n∥β B．m∥α，α∩β=n?n∥mC．α∥β，m∥α，m⊥n，?n⊥β D．m⊥α，n⊥β，m∥n?α∥β參考答案：D【考點(diǎn)】平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】對4個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：對于A，m⊥α，α⊥β，m∥n?n∥β或n?β，不正確；對于B，m∥α，m?β，α∩β=n?n∥m，不正確；對于C，α∥β，m∥α，m⊥n?n、β位置關(guān)系不確定，不正確；對于D，m⊥α，m∥n，∴n⊥α，∵n⊥β，∴α∥β，正確，故選D．9.已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于的角}，那么A、B、C關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.某單位共有老、中、青職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為()A．9

B．18

C．27

D．36參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)向量，，則，的夾角等于

．參考答案：試題分析：由題意得，，所以，所以向量，的夾角等于．考點(diǎn)：平面向量的夾角的計(jì)算．12.若函數(shù)為偶函數(shù),則

參考答案：113.方程：22x+1﹣2x﹣3=0的解為．參考答案：【考點(diǎn)】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令2x=t＞0，方程即2?t2﹣t﹣3=0，解得t，求得x，從而得到方程22x+1﹣2x﹣3=0的解集．【解答】解：令2x=t＞0，則方程22x+1﹣2x﹣3=0即2?t2﹣t﹣3=0，解得t=或t=﹣1（舍去），即2x=，解得x=．故方程22x+1﹣2x﹣3=0的解集為{}，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，求出2x的值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．14.在數(shù)列{an}中，，且對于任意自然數(shù)n，都有，則________．參考答案：4951【分析】由題意得，然后利用累加法可得出的值.【詳解】對于任意自然數(shù)，都有，則，，，，，.上述等式全部相加得，因此，，故答案為：4951.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列項(xiàng)的求解，考查累加法在求數(shù)列項(xiàng)中的應(yīng)用，解題時(shí)要熟悉幾種求通項(xiàng)方法對數(shù)列遞推式的要求，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15.（4分）若直線mx+2y+2=0與直線3x﹣y﹣2=0平行，則m=_________．參考答案：-616.sin75°的值為_____________．參考答案：【分析】了由兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】即答案為【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正弦公式，屬基礎(chǔ)題.17.求下列各式的值：（1）（2）參考答案：（1）；（2）9三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)（Ｉ）證明：平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

參考答案：(Ｉ)證明：由題知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C， 所以BC⊥平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.

………（3分）由題知∠A1DC1=∠ADC=45o,所以∠CDC1=90o，即DC1⊥DC，

…（5分）又DC∩BC=C，所以DC1⊥平面BDC，又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.

……………………（7分）（Ⅱ）解：設(shè)棱錐B—DACC1的體積為V1，AC=1，由題意得V1=

…………（10分）又三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V=1，所以（V-V1）:V1=1:1,故平面BDC1分此棱柱為兩部分體積的比為1:1.

…………（13分）19.已知a，b＞0，證明：a3+b3≥a2b+ab2．參考答案：證明見解析【分析】利用作差比較法證明不等式.【詳解】證明：（a3+b3）（a2b+ab2）＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，（a﹣b）2≥0，∴（a﹣b）2（a+b）≥0，則有a3+b3≥a2b+b2a．【點(diǎn)睛】本題主要考查比較法證明不等式，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.20.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）對任意的x∈R成立，則稱函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)．（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函數(shù)；（只需寫出結(jié)論）（Ⅱ）說明：請?jiān)冢╥）、（ii）問中選擇一問解答即可，兩問都作答的按選擇（i）計(jì)分（i）求證：若函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，且f（x）是偶函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；（ii）求證：若函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；（Ⅲ）求證：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax一定是Ω函數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．【分析】（I）①利用Ω對于即可判斷出函數(shù)f（x）=x不是Ω函數(shù)．②對于g（x）=sinπx是Ω函數(shù)，令T=﹣1，對任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，可得存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函數(shù)，可得Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化為：f（x+T）=f（﹣x+T），通過換元進(jìn)而得出：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．（ii）同（i）可以證明．（III）當(dāng)a＞1時(shí)，假設(shè)函數(shù)f（x）=ax是Ω函數(shù)，則存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），可得Tax+T=ax，化為：TaT=1，即aT=，此方程有非0的實(shí)數(shù)根，即可證明．【解答】解：（I）①對于函數(shù)f（x）=x是Ω函數(shù)，假設(shè)存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），則T（x+T）=x，取x=0時(shí)，則T=0，與T≠0矛盾，因此假設(shè)不成立，即函數(shù)f（x）=x不是Ω函數(shù)．②對于g（x）=sinπx是Ω函數(shù)，令T=﹣1，則sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函數(shù)f（x）=sinπx對任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）證明：∵函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，∴存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化為：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，則x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．（ii）證明：∵函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，∴存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化為：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，則x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．（III）證明：當(dāng)a＞1時(shí)，假設(shè)函數(shù)f（x）=ax是Ω函數(shù)，則存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），∴Tax+T=ax，化為：TaTax=ax，∵ax＞0，∴TaT=1，即aT=，此方程有非0的實(shí)數(shù)根，因此T≠0且存在，∴當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax一定是Ω函數(shù)．21.在數(shù)列{an}中，，.當(dāng)時(shí)，.若表示不超過x的最大整數(shù)，求的值.參考答案：2018【分析】構(gòu)造，推出數(shù)列是4為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，求出，利用累加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．化簡數(shù)列的通項(xiàng)公式．利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和，然后求解即可．【詳解】構(gòu)造，則，由題意可得，(n≥2).故數(shù)列是以4為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，故，故，，，，以上個(gè)式子相加可得，．所以，則．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.22.（12分）已知函數(shù)y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，則稱x0是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2．（1）當(dāng)a=2，b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若對于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩具不同的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)恒成立問題．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）當(dāng)a=2，b=1時(shí)，解方程f（x0）=x0，即可求函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；（2）根據(jù)函數(shù)f（x）恒有兩具不同的不動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)和判別式之