2020-2021學(xué)年北京161中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京161中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共12道小題，每小題5分，共60分．在毎小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求．把正確答案涂寫在答題卡上相應(yīng)的位置．1．（5分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，則角α的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（5分）若向量＝（1，﹣2），＝（x，4）滿足⊥，則實數(shù)x等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣23．（5分）如果復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，那么b＝（）A．﹣2 B．1 C．2 D．44．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，且．把角α的終邊繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)π弧度，這時終邊對應(yīng)的角是β，則sinβ＝（）A． B． C． D．5．（5分）“φ＝π”是“函數(shù)y＝tan（x+φ）為奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（5分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若a2+b2﹣c2＜0，則△ABC一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形7．（5分）函數(shù)y＝（sinx﹣cosx）2的最小正周期為（）A．2π B． C．π D．8．（5分）在銳角△ABC中，若a＝2，b＝3，A＝，則cosB＝（）A． B． C． D．9．（5分）已知非零向量，夾角為45°，且||＝2，|﹣|＝2，則||等于（）A．2 B．2 C． D．10．（5分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，，E是CD的中點，那么＝（）A．4 B．2 C． D．111．（5分）函數(shù)f（x）＝cos2x﹣cosx的最大值是（）A． B．0 C．2 D．312．（5分）sin1，tan2，cos3的大小關(guān)系是（）A．sin1＞tan2＞cos3 B．sin1＞cos3＞tan2 C．tan2＞sin1＞cos3 D．cos3＞sin1＞tan2二、填空題：本大題共6小題，共24分．把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線上．13．（4分）sin600°＝．14．（4分）角α終邊上一點的坐標(biāo)為（1，2），則tanα＝；tan2α＝．15．（4分）設(shè)向量＝（0，2），＝（，1），則，的夾角等于．16．（4分）海上有A、B、C三個小島，其中B島在A島的正東方向10海里處，C島在A島北偏東30°方向上，且在B島北偏西60°方向上，則B、C兩島間的距離為海里．17．（4分）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)某天的時間與水深值（單位：m）記錄表．時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0試用一個三角函數(shù)來近似地描述這個港口的水深值y與時間t的函數(shù)關(guān)系，則這個函數(shù)關(guān)系式是．18．（4分）已知函數(shù)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為1，則實數(shù)m的最小值為；若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上恰有兩個對稱中心，則實數(shù)m的取值范圍是．三、解答題：本大題共66分．把答案填在答題紙中相應(yīng)的位置上．19．（12分）已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．20．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱軸方程；（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最值及最值點．21．（14分）如圖所示，B，C兩點是函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）圖象上相鄰的兩個最高點，且B點的橫坐標(biāo)為，D點為函數(shù)f（x）圖象與x軸的一個交點．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的圖象可以看作由y＝Asinx的圖象如何變換得到；（Ⅲ）若BD⊥CD，求A的值．22．（12分）在△ABC中，已知b＝5，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．（Ⅰ）求sinA；（Ⅱ）求△ABC的面積．條件①：；條件②：a＝4．23．（13分）如圖，點P是以AB為直徑的圓O上動點，P'是點P關(guān)于AB的對稱點，AB＝2a（a＞0）．（Ⅰ）當(dāng)點P是弧上靠近B的三等分點時，求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值．

2020-2021學(xué)年北京161中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12道小題，每小題5分，共60分．在毎小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求．把正確答案涂寫在答題卡上相應(yīng)的位置．1．（5分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，則角α的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】直接由sinα＜0，cosα＞0可得α為第四象限的角，結(jié)合α∈（0，2π）得到選項．【解答】解：由sinα＜0，cosα＞0，可得α為第四象限的角，又α∈（0，2π），∴α∈．故選：D．【點評】本題考查了三角函數(shù)的象限符號，是基礎(chǔ)的會考題型．2．（5分）若向量＝（1，﹣2），＝（x，4）滿足⊥，則實數(shù)x等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2【分析】根據(jù)題意，分析可得?＝0，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)的運算公式可得?＝1×x+（﹣2）×4＝0，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若向量、滿足⊥，必有?＝0，又由＝（1，﹣2），＝（x，4），則有?＝1×x+（﹣2）×4＝0，解可得x＝8；故選：A．【點評】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，若兩個非零向量互相垂直，則其數(shù)量積為0．3．（5分）如果復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，那么b＝（）A．﹣2 B．1 C．2 D．4【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部與虛部相等求得b值．【解答】解：∵的實部與虛部相等，∴b＝﹣2．故選：A．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．4．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，且．把角α的終邊繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)π弧度，這時終邊對應(yīng)的角是β，則sinβ＝（）A． B． C． D．【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：由題意，可得sinβ＝sin（α+π）＝﹣sinα＝﹣．故選：A．【點評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）“φ＝π”是“函數(shù)y＝tan（x+φ）為奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①當(dāng)φ＝π時，則y＝tan（x+π）＝tanx為奇函數(shù)，∴充分性成立，②當(dāng)y＝tan（x+φ）為奇函數(shù)時，∴φ＝kπ，k∈Z，∴必要性不成立，綜上，φ＝π是y＝tan（x+φ）為奇函數(shù)的充分不必要條件，故選：A．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6．（5分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若a2+b2﹣c2＜0，則△ABC一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形【分析】由于a2+b2﹣c2＜0，△ABC中，由余弦定理可得cosC＝＜0，故角C為鈍角，從而得出結(jié)論．【解答】解：由于a2+b2﹣c2＜0，△ABC中，由余弦定理可得cosC＝＜0，故角C為鈍角，故△ABC為鈍角三角形，故選：D．【點評】本題考查余弦定理的應(yīng)用，得到cosC＝＜0，是解題的關(guān)鍵．7．（5分）函數(shù)y＝（sinx﹣cosx）2的最小正周期為（）A．2π B． C．π D．【分析】化簡可得y＝1﹣sin2x，由周期公式可得答案．【解答】解：化簡可得y＝（sinx﹣cosx）2＝1﹣sin2x，∴由周期公式可得T＝＝π，故選：C．【點評】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性，屬基礎(chǔ)題．8．（5分）在銳角△ABC中，若a＝2，b＝3，A＝，則cosB＝（）A． B． C． D．【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，結(jié)合B為銳角，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解cosB的值．【解答】解：∵在銳角△ABC中，若a＝2，b＝3，A＝，∴由正弦定理，可得sinB＝＝＝，∴由B為銳角，可得cosB＝＝．故選：C．【點評】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）已知非零向量，夾角為45°，且||＝2，|﹣|＝2，則||等于（）A．2 B．2 C． D．【分析】直接利用向量的數(shù)量積，化簡求解即可．【解答】解：非零向量，夾角為45°，且||＝2，|﹣|＝2．可得＝4，4﹣2||+||2＝4則||＝2．故選：A．【點評】本題考查向量的模的求法，數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力．10．（5分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，，E是CD的中點，那么＝（）A．4 B．2 C． D．1【分析】運用向量的三角形法則和向量的平方即為模的平方，以及向量垂直的條件即數(shù)量積為0，計算即可得到．【解答】解：＝（+）?＝+＝+＝0+＝＝2．故選：B．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的垂直的條件和向量的平方與模的平方的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）函數(shù)f（x）＝cos2x﹣cosx的最大值是（）A． B．0 C．2 D．3【分析】利用二倍角的余弦公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：f（x）＝cos2x﹣cosx＝2cos2x﹣cosx﹣1＝2（cosx﹣）2﹣≤2×（﹣1﹣）2﹣＝2，當(dāng)cosx＝﹣1時等號成立，即函數(shù)f（x）＝cos2x﹣cosx的最大值是2．故選：C．【點評】本題主要考查了二倍角的余弦公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）sin1，tan2，cos3的大小關(guān)系是（）A．sin1＞tan2＞cos3 B．sin1＞cos3＞tan2 C．tan2＞sin1＞cos3 D．cos3＞sin1＞tan2【分析】判斷3個表達(dá)式的范圍，即可得到選項．【解答】解：sin1∈（0，1），tan2＜tan＝﹣，cos3∈（﹣1，0），所以sin1＞cos3＞tan2，故選：B．【點評】本題考查三角函數(shù)線，不等式半徑大小，明確弧度以及三角函數(shù)值的符號與大小范圍，是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，共24分．把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線上．13．（4分）sin600°＝．【分析】利用誘導(dǎo)公式直接化簡sin600°為﹣sin60°，然后求出它的值即可．【解答】解：sin600°＝sin（360°+240°）＝sin240°＝sin（180°+60°）＝﹣sin60°＝﹣．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)求值與化簡，正確應(yīng)用誘導(dǎo)公式是解決三角函數(shù)求值的重點，一般思路，負(fù)角化簡正角，大角化小角（銳角）．14．（4分）角α終邊上一點的坐標(biāo)為（1，2），則tanα＝2；tan2α＝﹣．【分析】求出角的正切函數(shù)值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：角α終邊上一點的坐標(biāo)為（1，2），則tanα＝＝2，tan2α＝＝＝﹣．故答案為：2，﹣．【點評】本題考查任意角的三角函數(shù)以及二倍角公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（4分）設(shè)向量＝（0，2），＝（，1），則，的夾角等于．【分析】計算出，||，||，代入夾角公式計算．【解答】解：＝2．||＝2，||＝2，∴cos＜＞＝＝．∴，的夾角是．故答案為．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，夾角公式，是基礎(chǔ)題．16．（4分）海上有A、B、C三個小島，其中B島在A島的正東方向10海里處，C島在A島北偏東30°方向上，且在B島北偏西60°方向上，則B、C兩島間的距離為5海里．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用三角形的邊角關(guān)系計算即可．【解答】解：如圖所示，△ABC中，AB＝10，∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，所以∠C＝90°，BC＝ABsin60°＝10×＝5，則B、C兩島間的距離為5海里．【點評】本題考查了解三角形的簡單應(yīng)用問題，畫出正確的圖形是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．17．（4分）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)某天的時間與水深值（單位：m）記錄表．時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0試用一個三角函數(shù)來近似地描述這個港口的水深值y與時間t的函數(shù)關(guān)系，則這個函數(shù)關(guān)系式是y＝2.5sinx+5（0≤x≤24）．【分析】根據(jù)函數(shù)的周期求出ω，由振幅的大小和平衡位置的水深求出A、B，再由最大值建立函數(shù)關(guān)系式求出φ，即可寫出函數(shù)解析式．【解答】解：由題意知，可設(shè)y＝f（x）＝Asin（ωx+φ）+B，則f（x）的周期為T＝15﹣3＝12，所以ω＝＝，由，解得A＝2.5，B＝5；又因為x＝3時y＝7.5，達(dá)到最大值，所以7.5＝2.5sin（×3+φ）+5，得sin（+φ）＝1，即cosφ＝1，得φ＝2kπ（k∈Z）．所以函數(shù)f（x）的表達(dá)式為：y＝2.5sinx+5（0≤x≤24）．故答案為：y＝2.5sinx+5（0≤x≤24）．【點評】本題考查了三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題，著重考查了三角函數(shù)解析式求法和運用三角函數(shù)模型解決應(yīng)用問題等知識，是基礎(chǔ)題．18．（4分）已知函數(shù)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為1，則實數(shù)m的最小值為；若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上恰有兩個對稱中心，則實數(shù)m的取值范圍是．【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷結(jié)果．【解答】解：函數(shù)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為1，故，解得，所以m的最小值為．由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上恰有兩個對稱中心，所以．函數(shù)sinx在上的對稱中心為（0，0）和（π，0），即時，所以，整理得．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共66分．把答案填在答題紙中相應(yīng)的位置上．19．（12分）已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．（Ⅱ）利用二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．【解答】解：因為，且．（Ⅰ）可得cosα＝﹣＝﹣，tanα＝＝﹣，可得＝＝﹣7；（Ⅱ）＝＝＝＝2．【點評】本題主要考查了二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．20．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱軸方程；（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最值及最值點．【分析】（Ⅰ）首先把函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值；（Ⅱ）利用整體思想的利用求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程；（Ⅲ）利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進(jìn)一步確定函數(shù)的極值點．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)＝＝．所以f（）＝．（Ⅱ）令（k∈Z），整理得：（k∈Z），故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[]（k∈Z）．令（k∈Z），故（k∈Z）．故函數(shù)的對稱軸方程為：（k∈Z）．（Ⅲ）由于，所以．所以．即函數(shù)的值域．當(dāng)x＝時，函數(shù)f（x）max＝1．當(dāng)x＝時，函數(shù)．最大值點為（），最小值點為（）．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．21．（14分）如圖所示，B，C兩點是函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）圖象上相鄰的兩個最高點，且B點的橫坐標(biāo)為，D點為函數(shù)f（x）圖象與x軸的一個交點．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的圖象可以看作由y＝Asinx的圖象如何變換得到；（Ⅲ）若BD⊥CD，求A的值．【分析】（Ⅰ）由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值．（Ⅱ）由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．（Ⅲ）由題意利用兩直線垂直的性質(zhì)，求得A．【解答】解：（Ⅰ）由題意，＝﹣，∴ω＝2．再根據(jù)五點法作圖可得2×+φ＝π，∴φ＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）＝Asin（2x+），由y＝Asinx的圖象向左平移個單位，可得y＝Asin（x+）的圖象；再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，可得f（x）＝Asin（2x+）的圖象．（Ⅲ）∵B（，A），D（，0），C（+π，A），若BD⊥CD，則?＝﹣1，求得A＝．【點評】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，兩直線垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．22．（12分）在△ABC中，已知b＝5，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．（Ⅰ）求sinA；（Ⅱ）求△ABC的面積．條件①：；條件②：a＝4．【