2020-2021學(xué)年北京市101中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京市101中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知z＝2﹣i，則z++i＝（）A．2﹣2i B．4﹣i C．2+2i D．4+i2．下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）＝7sin（x﹣）單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A．（0，） B．（，π） C．（π，） D．（，2π）3．在△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45°，則角A＝（）A．30°或150° B．60°或120° C．60° D．30°4．設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．在△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，點P是AB的中點，則＝（）A． B．4 C． D．66．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中錯誤的是（）A．若m⊥α，n∥m，n?β，則α⊥β B．若m?α，α∥β，n?β，則n∥m C．若m⊥α，α∥β，n⊥β，則n∥m D．若β⊥α，α∩β＝n，m?α，n⊥m，則m⊥β7．若tanθ＝﹣2，則＝（）A． B． C． D．8．為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6% B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10% C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元 D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間9．如圖，在空間四邊形ABCD中，兩條對角線AC，BD互相垂直，且長度分別為4和6，平行于這兩條對角線的平面與邊AB，BC，CD，DA分別相交于與E，F(xiàn)，G，H，記四邊形EFGH的面積為y，設(shè)＝x，則（）A．函數(shù)y＝f（x）的值域為（0，4] B．函數(shù)y＝f（x）的最大值為8 C．函數(shù)y＝f（x）在（0，）上單調(diào)遞增 D．函數(shù)y＝f（x）滿足f（x）＝f（）10．有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立 C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立二、填空題共6小題11．設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a＝．12．若A為△ABC的內(nèi)角，且，則的值為．13．如圖，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有對．14．已知不等式對于恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是．15．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有羨除”．劉徽注：“羨除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”現(xiàn)有一個羨除如圖所示，四邊形ABCD，ABFE，CDEF均為等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距離為3，CD與AB間的距離為10，則這個羨除的體積是．16．已知函數(shù)f（x）＝|cosx|?sinx給出下列五個說法：①f（）＝﹣；②若|f（x1）|＝|f（x2）|，則x1＝x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞增；④函數(shù)f（x）的周期為π；⑤f（x）的圖象關(guān)于點（﹣，0）成中心對稱．其中正確說法的序號是．三、解答題共4小題．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．在△ABC中，c＝2，C＝30°．再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）△ABC的面積．條件①：2b＝a；條件②：b＝2；條件③：A＝45°．18．為迎接2022年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某地區(qū)小學(xué)聯(lián)合開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取了30名學(xué)生，將他們的競賽成績（單位：分）用莖葉圖記錄如圖：（Ⅰ）從該地區(qū)參加該活動的男生中隨機抽取1人，估計該男生的競賽成績在90分以上的概率；（Ⅱ）從該地區(qū)參加該活動的全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取2人，估計這4人中男生競賽成績在90分以上的人數(shù)比女生競賽成績在90分以上的人數(shù)多的概率；（Ⅲ）為便于普及冬奧知識，現(xiàn)從該地區(qū)某所小學(xué)參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機選取10名男生、10名女生作為冬奧宣傳志愿者．記這10名男生競賽成績的平均數(shù)為μ1，這10名女生競賽成績的平均數(shù)為μ2，能否認為μ1＞μ2，說明理由．19．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中點．（Ⅰ）求證：BD1∥平面AMC；（Ⅱ）求證：AC⊥BD1；（Ⅲ）在線段BB1上是否存在點P，當(dāng)＝λ時，平面A1PC1∥平面AMC？若存在，求出λ的值并證明；若不存在，請說明理由．20．對n∈N*，定義．（1）求a2（x）﹣a1（x）的最小值；（2）?n∈N*，有an（x）≥A恒成立，求A的最大值；（3）求證：不存在m，n∈N*，且m＞n，使得am（x）﹣an（x）為恒定常數(shù)．

2020-2021學(xué)年北京市101中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知z＝2﹣i，則z++i＝（）A．2﹣2i B．4﹣i C．2+2i D．4+i【分析】由z＝2﹣i，可得＝2+i，再求出z++i即可．【解答】解：由z＝2﹣i，得＝2+i，所以z++i＝2﹣i+2+i+i＝4+i．故選：D．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的加法運算及共軛復(fù)數(shù)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2．下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）＝7sin（x﹣）單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A．（0，） B．（，π） C．（π，） D．（，2π）【分析】本題需要借助正弦函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的相關(guān)知識點求解．【解答】解：令，k∈Z．則，k∈Z．當(dāng)k＝0時，x∈[，]，（0，）?[，]，故選：A．【點評】本題考查正弦函數(shù)單調(diào)性，是簡單題．3．在△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45°，則角A＝（）A．30°或150° B．60°或120° C．60° D．30°【分析】由正弦定理的式子，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出sinA＝，根據(jù)a＜b可得A＜B，因此算出A＝30°．【解答】解：∵a＝，b＝2，B＝45°，∴由正弦定理，得可得sinA＝＝∴A＝30°或150°∵a＜b，可得A＜B，∴A＝30°故選：D．【點評】本題給出三角形兩邊和其中一邊的對角，求另一角的大?。乜疾榱诉\用正弦定理解三角形的知識，屬于基礎(chǔ)題．4．設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合面面垂直的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵b⊥m，∴當(dāng)α⊥β，則由面面垂直的性質(zhì)可得a⊥b成立，若a⊥b，則α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選：A．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用線面垂直的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．5．在△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，點P是AB的中點，則＝（）A． B．4 C． D．6【分析】利用向量的數(shù)量積以及向量的線性運算即可求解．【解答】解：在△ABC中，C＝90°，則?＝0，因為點P是AB的中點，所以＝（+），所以＝?[（+）]＝2+?＝2＝||2＝．故選：C．【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中錯誤的是（）A．若m⊥α，n∥m，n?β，則α⊥β B．若m?α，α∥β，n?β，則n∥m C．若m⊥α，α∥β，n⊥β，則n∥m D．若β⊥α，α∩β＝n，m?α，n⊥m，則m⊥β【分析】由線面垂直的性質(zhì)及面面垂直的判定判斷A；由兩平面平行的性質(zhì)判斷B；由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷C；由面面垂直的性質(zhì)判斷D．【解答】解：若m⊥α，n∥m，則n⊥α，又n?β，則α⊥β，故A正確；若m?α，α∥β，n?β，則n∥m或n與m異面，故B錯誤；若m⊥α，α∥β，則m⊥β，又n⊥β，則n∥m，故C正確；若β⊥α，α∩β＝n，m?α，n⊥m，由平面與平面垂直的性質(zhì)可得m⊥β，故D正確．故選：B．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．7．若tanθ＝﹣2，則＝（）A． B． C． D．【分析】由已知利用三角函數(shù)恒等變換，平方和公式化簡即可求解．【解答】解：因為tanθ＝﹣2，所以＝＝＝＝＝．故選：C．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換，平方和公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．8．為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6% B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10% C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元 D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【分析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項A，B，D，利用平均值的計算方法，即可判斷選項C．【解答】解：對于A，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故選項A正確；對于B，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故選項B正確；對于C，估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5萬元，故選項C錯誤；對于D，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.64＞0.5，故估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項D正確．故選：C．【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握頻率分布直方圖中頻率的求解方法以及平均數(shù)的計算方法，屬于基礎(chǔ)題．9．如圖，在空間四邊形ABCD中，兩條對角線AC，BD互相垂直，且長度分別為4和6，平行于這兩條對角線的平面與邊AB，BC，CD，DA分別相交于與E，F(xiàn)，G，H，記四邊形EFGH的面積為y，設(shè)＝x，則（）A．函數(shù)y＝f（x）的值域為（0，4] B．函數(shù)y＝f（x）的最大值為8 C．函數(shù)y＝f（x）在（0，）上單調(diào)遞增 D．函數(shù)y＝f（x）滿足f（x）＝f（）【分析】根據(jù)空間四邊形的性質(zhì)證明四邊形EFGH為矩形，然后根據(jù)比例關(guān)系求出函數(shù)f（x）的表達式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可．【解答】解：∵AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，∴AC∥EF．AC∥HG，BD∥EH．BD∥FG，則四邊形EFGH為平行四邊形，∵兩條對角線AC，BD互相垂直，∴EH⊥EF，則四邊形EFGH為矩形，∵＝x，∴由＝1﹣＝1﹣x，即EH＝（1﹣x）BD＝6（1﹣x），同理＝，則EF＝x?AC＝4x，則四邊形EFGH的面積為y＝EH?EF＝4x?6（1﹣x）＝24（x﹣x2）＝﹣24（x﹣）2+6，∵x∈（0，1），∴當(dāng)x＝時，函數(shù)取得最大值6，故A，B錯誤．函數(shù)的對稱軸為x＝，則函數(shù)在（0，）上是單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確．∵函數(shù)的對稱軸為x＝，∴函數(shù)y＝f（x）滿足f（x）＝f（1﹣x），故D錯誤．故選：C．【點評】本題主要考查空間四邊形和函數(shù)的綜合以及與一元二次函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)是考查，綜合性較強，涉及的知識點較多，有一點的難度．10．有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立 C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立【分析】分別列出甲、乙、丙、丁可能的情況，然后根據(jù)獨立事件的定義判斷即可．【解答】解：由題意可知，兩點數(shù)和為8的所有可能為：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），兩點數(shù)和為7的所有可能為（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），P（甲）＝，P（乙）＝，P（丙）＝＝，P（?。剑剑珹：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），B：P（甲丁）＝＝P（甲）P（?。?，C：P（乙丙）＝≠P（乙）P（丙），D：P（丙?。?≠P（丙）P（丁），故選：B．【點評】本題考查相互獨立事件的應(yīng)用，要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，屬于中檔題．二、填空題共6小題11．設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a＝﹣1．【分析】（1+i）（a+i）＝a﹣1+（a+1）i，則a+1＝0，解得答案．【解答】解：（1+i）（a+i）＝a﹣1+（a+1）i，若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a+1＝0，解得：a＝﹣1，故答案為：﹣1【點評】本題考查的知識點是復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．12．若A為△ABC的內(nèi)角，且，則的值為．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的同角公式，可得sinA＝，cosA＝，再結(jié)合余弦函數(shù)的兩角和公式，即可求解．【解答】解：∵A為△ABC的內(nèi)角，且，∴，解得sinA＝，cosA＝，∴＝．故答案為：．【點評】本題考查了三角函數(shù)的二倍角公式，以及余弦函數(shù)的兩角和公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．13．如圖，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有7對．【分析】根據(jù)題意，由平面與平面垂直的判斷定理分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，因為PD垂直于正方形ABCD所在的平面，PD?平面PAD，PD?平面PCD，PD?平面PBD，所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PBD⊥平面ABCD；因為PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PD，由于AB⊥AD，AD∩PD＝D，所以AB⊥平面PAD，因為AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；又CD∥AB，所以CD⊥平面PAD，因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD；因為PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC，因為BC⊥CD，PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD；因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC，又AC⊥BD，PD∩BD＝D，所以AC⊥平面PBD，又AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD，故一定互相垂直的平面有7對．故答案為：7．【點評】本題考查面面垂直的判定定理的應(yīng)用，注意平面與平面垂直的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．14．已知不等式對于恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（﹣．【分析】令f（x）＝，化簡f（x），求出f（x）的范圍，結(jié)合不等式恒成立得到m≤f（x）min，再求出m的范圍即可．【解答】解：令f（x）＝則f（x）＝＝＝．因為，所以，所以，由于不等式對于恒成立可得m≤f（x）min＝．所以m的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：三角恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)和不等式恒成立問題，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有羨除”．劉徽注：“羨除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”現(xiàn)有一個羨除如圖所示，四邊形ABCD，ABFE，CDEF均為等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距離為3，CD與AB間的距離為10，則這個羨除的體積是120．【分析】連接CE，BE，DB，由已知利用多面體體積V＝VE﹣ABCD+VC﹣BEF求解．【解答】解：連接CE，BE，DB，則VE﹣ABCD＝××（6+8）×10×3＝70VD﹣ABE＝VE﹣ABD＝VE﹣ABCD＝30，VC﹣BEF＝VD﹣ABE＝50．∴這個羨除的體積V＝VE﹣ABCD+VC﹣BEF＝70+50＝120．故答案為：120．【點評】本題考查多面體體積的求法，訓(xùn)練了利用分割補形法及等積法求多面體的體積，是中檔題．16．已知函數(shù)f（x）＝|cosx|?sinx給出下列五個說法：①f（）＝﹣；②若|f（x1）|＝|f（x2）|，則x1＝x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞增；④函數(shù)f（x）的周期為π；⑤f（x）的圖象關(guān)于點（﹣，0）成中心對稱．其中正確說法的序號是①③．【分析】①f（）＝|cos|?sin＝＝﹣；②若|f（x1）＝|f（x2）|，即|sin2x1|＝|sin2x2|，列舉反例x1＝0，x2＝時也成立；③在區(qū)間[﹣，]上，f（x）＝|cosx|?sinx＝sin2x，單調(diào)遞增；④由f（x+π）≠f（x），可得函數(shù)f（x）的周期不是π；⑤由函數(shù)f（x）＝|cosx|?sinx，可得函數(shù)是奇函數(shù)．【解答】解：①f（）＝|cos|?sin＝＝﹣，正確；②若|f（x1）＝|f（x2）|，即|sin2x1|＝|sin2x2|，則x1＝0，x2＝時也成立，故②不正確；③在區(qū)間[﹣，]上，f（x）＝|cosx|?sinx＝sin2x，單調(diào)遞增，正確；④∵f（x+π）≠f（x），∴函數(shù)f（x）的周期不是π，不正確；⑤∵函數(shù)f（x）＝|cosx|?sinx，∴函數(shù)是奇函數(shù)，∴f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）成中心對稱，點（﹣，0）不是函數(shù)的對稱中心，故不正確．故答案為：①③．【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握二倍角公式，以及三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（單調(diào)性，周期性，奇偶性，對稱性等）．三、解答題共4小題．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．在△ABC中，c＝2，C＝30°．再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）△ABC的面積．條件①：2b＝a；條件②：b＝2；條件③：A＝45°．【分析】選條件①時，（1）直接利用余弦定理的應(yīng)用求出a的值；利用勾股定理的逆定理的應(yīng)用求出三角形的面積；選條件②時，由于出現(xiàn)與已知條件中三角形有一解相矛盾，故舍去．選條件③時，（1）利用正弦定理的應(yīng)用求出a的值；（2）利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和三角形面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：選條件①時，（1）由于：2b＝a；由于c＝2，C＝30°，所以cosC＝，整理得a＝4；（2）根據(jù)題意：b＝2，所以滿足a2＝b2+c2，故△ABC為直角三角形；所以．選條件②時：b＝2，由于c＝2，C＝30°，由于b＞c＞bsinC，故該三角形有兩解，與題意矛盾，故舍去．（2）由于c＝2，所以滿足a2＝b2+c2，故△ABC為直角三角形；所以．選條件③時：由于A＝45°．C＝30°，c＝2，利用正弦定理：，解得a＝2，（2）在△ABC中，sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝，所以．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．18．為迎接2022年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某地區(qū)小學(xué)聯(lián)合開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取了30名學(xué)生，將他們的競賽成績（單位：分）用莖葉圖記錄如圖：（Ⅰ）從該地區(qū)參加該活動的男生中隨機抽取1人，估計該男生的競賽成績在90分以上的概率；（Ⅱ）從該地區(qū)參加該活動的全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取2人，估計這4人中男生競賽成績在90分以上的人數(shù)比女生競賽成績在90分以上的人數(shù)多的概率；（Ⅲ）為便于普及冬奧知識，現(xiàn)從該地區(qū)某所小學(xué)參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機選取10名男生、10名女生作為冬奧宣傳志愿者．記這10名男生競賽成績的平均數(shù)為μ1，這10名女生競賽成績的平均數(shù)為μ2，能否認為μ1＞μ2，說明理由．【分析】（Ⅰ）由莖葉圖可知，隨機抽取的30名學(xué)生中男生有15名，其中競賽成績在90分以上的學(xué)生有5名，由此能求出從該地區(qū)參加該活動的男生中隨機抽取1人，該男生的競賽成績在90分以上的概率估計值．（Ⅱ）記Ai（i＝1，2）表示“第i名男生的競賽成績在90分以上”，Bj（j＝1，2）表示“第j名女生的競賽成績在90分以上”，C表示“這4人中男生競賽成績在90分以上的人數(shù)比女生競賽成績在90分以上的人數(shù)多”，從該地區(qū)參加該活動的女生中隨機選1人，該生生競賽成績在90分以上的概率估計為，這4人中男生競賽成績在90分以上的人數(shù)比女生競賽成績在90分以上的人數(shù)多的概率為P（C）＝P（++++），由此能求出結(jié)果．（Ⅲ）上述10名男生，10名女生的競賽成績的數(shù)據(jù)是隨機的，μ1，μ2是隨機的，無法確定是否有μ1＞μ2．【解答】解：（Ⅰ）由莖葉圖可知，隨機抽取的30名學(xué)生中男生有15名，其中競賽成績在90分以上的學(xué)生有5名，∴隨機抽取的15名男生中競賽成績在90分以上的頻率為，∴從該地區(qū)參加該活動的男生中隨機抽取1人，該男生的競賽成績在90分以上的概率估計為．（Ⅱ）記Ai（i＝1，2）表示“第i名男生的競賽成績在90分以上”，Bj（j＝1，2）表示“第j名女生的競賽成績在90分以上”，C表示“這4人中男生競賽成績在90分以上的人數(shù)比女生競賽成績在90分以上的人數(shù)多”，同（Ⅰ），從該地區(qū)參加該活動的女生中隨機選1人，該生生競賽成績在90分以上的概率估計為＝，則這4人中男生競賽成績在90分以上的人數(shù)比女生競賽成績在90分以上的人數(shù)多的概率為：P（C）＝P（++++）＝++++＝+++（1﹣）×+＝．（Ⅲ）不能認為μ1＞μ2，理由如下：上述10名男生，10名女生的競賽成績的數(shù)據(jù)是隨機的，∴μ1，μ2是隨機的，∴無法確定是否有μ1＞μ2．【點評】本題考查概率、平均數(shù)的求法，考查莖葉圖、古典概型、相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)分析能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題．19．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中點．（Ⅰ）求證：BD1∥平面AMC；（Ⅱ）求證：AC⊥BD1；（Ⅲ）在線段BB1上是否存在點P，當(dāng)＝λ時，平面A1PC1∥平面AMC？若存在，求出λ的值并證明；若不存在，請說明理由．【分析】（Ⅰ）連結(jié)BD交AC于N，連結(jié)MN．由此利用三角形中位線定理能證明BD1∥平面AMC．（Ⅱ）由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由線面垂直得DD1⊥AC，由此能證明AC⊥BD1．（Ⅲ）當(dāng)，平面A1PC1∥平面AMC．由已知條件推導(dǎo)出四邊形ABQM是平行四邊形，從而能證明平面A1PC1∥平面AMC．【解答】（本小題滿分14分）（Ⅰ）證明：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，連結(jié)BD交AC于N，連結(jié)MN．因為ABCD為正方形，所以N為BD中點．…（1分）在△DBD1中，因為M為DD1中點，所以BD1∥MN．…（2分）因為MN?平面AMC，BD1不包含于平面AMC，…（4分）所以BD1∥平面AMC．…（5分）（Ⅱ）證明因為ABCD為正方形，所以AC⊥BD．…（6分）因為DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC．…（7分）因為DD1∩BD＝D