石大水文學及水利計算課件第7章 水文統(tǒng)計的基本知識

第一節(jié)水文現(xiàn)象

第二節(jié)概率的基本概念

第三節(jié)隨機變量及其概率分布

第四節(jié)水文常用頻率曲線

第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)估算

第六節(jié)適線法估計水文分布參數(shù)

第七章水文統(tǒng)計的基本知識研究內(nèi)容：主要有頻率計算與相關(guān)分析。頻率計算，包括隨機變量及其概率分布、水文頻率曲線、適線法等；相關(guān)分析，包括簡相關(guān)與復相關(guān)。研究目的：研究河川徑流的統(tǒng)計規(guī)律，預估徑流的變化趨勢，以滿足水利水電工程規(guī)劃、設(shè)計、施工和運行管理的需要。第一節(jié)概述1、水文現(xiàn)象的特性水文現(xiàn)象是自然現(xiàn)象的一種，在其發(fā)生和演變過程中，包含著必然性的一面，也包著偶然性的一面。

必然現(xiàn)象是在一定條件下，必然出現(xiàn)或不出現(xiàn)的現(xiàn)象。偶然現(xiàn)象是在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，也稱隨機現(xiàn)象。2、水文統(tǒng)計規(guī)律的研究-水文統(tǒng)計

數(shù)學中研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的學科稱為概率論,而由隨機現(xiàn)象的一部分試驗資料去研究總體現(xiàn)象的數(shù)字特征和規(guī)律的學科稱為數(shù)理統(tǒng)計學。概率論與數(shù)理統(tǒng)計學應用到水文分析與計算上則稱為水文統(tǒng)計。

3、水文統(tǒng)計的任務

水文統(tǒng)計的任務就是研究和分析水文隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計變化特性。并以此為基礎(chǔ)對水文現(xiàn)象未來可能的長期變化作出在概率意義下的定量預估，以滿足工程規(guī)劃、設(shè)計、施工以及運營期間的需要。

水文統(tǒng)計的基本方法和內(nèi)容具體有以下三點：

1、根據(jù)已有的資料（樣本），進行頻率計算，推求指定頻率的水文特征值；

2、研究水文現(xiàn)象之間的統(tǒng)計關(guān)系，應用這種關(guān)系延長、插補水文特征值和作水文預報；

3、根據(jù)誤差理論，估計水文計算中的隨機誤差范圍。

復習思考題

1、選擇題

水文現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，它具有[]。

a、不可能性；b、偶然性；

c、必然性；d、既具有必然性，也具有偶然性。

2、水文統(tǒng)計的任務是研究和分析水文隨機現(xiàn)象的[]。

a、必然變化特性；b、自然變化特性；

c、統(tǒng)計變化特性；d、可能變化特性。3、是非題

由隨機現(xiàn)象的一部分試驗資料去研究總體現(xiàn)象的數(shù)字特征和規(guī)律的學科稱為概率論。（）

偶然現(xiàn)象是指事物在發(fā)展、變化中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象。（）4、簡答題

什么是偶然現(xiàn)象？有何特點？

何謂水文統(tǒng)計？它在工程水文中一般解決什么問題？第二節(jié)概率的基本概念

內(nèi)容提要：

事件，概率，頻率學習要求：1.了解事件的定義及其分類；2.了解概率是對事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)量標準；3.掌握頻率的含義，它與概率的關(guān)系；4.了解概率的加法與乘法定理。一、事件

事件是指隨機試驗的結(jié)果。

必然事件：如果可以斷定某一事件在試驗中必然發(fā)生，稱此事件必然事件。

不可能事件：可以斷定試驗中不會發(fā)生的事件稱為不可能事件。

隨機事件：某種事件在試驗結(jié)果中可以發(fā)生也可以不發(fā)生，這樣的事件就稱為隨機事件。隨機事件A在試驗結(jié)果中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但其出現(xiàn)可能性的大小的數(shù)量標準就是概率。

古典概率表達式二、概率水文事件不屬古典概型事件，只能通過試驗來估算概率。設(shè)事件A在ｎ次試驗中出現(xiàn)了ｍ次，則稱

為事件A的頻率。三、頻率

擲幣試驗出現(xiàn)正面的頻率表在試驗次數(shù)足夠大的情況下，事件的頻率和概率是十分接近的。

１．概率加法定理

Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）

式中，Ｐ（Ａ＋Ｂ）－事件Ａ與Ｂ之和的概率；

Ｐ（Ａ）－事件Ａ的概率；

Ｐ（Ｂ）－事件Ｂ的概率；

Ｐ（ＡＢ）－事件Ａ和Ｂ共同發(fā)生的概率。四．概率加法定理和乘法定理對于n個兩兩獨立事件：

Ｐ（Ａ1Ａ2···Ａn）＝Ｐ（Ａ1）Ｐ（Ａ2）···Ｐ（Ａn）對于相互獨立事件：

Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）2．概率乘法定理Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ）

＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ／Ｂ）AAAABBBB互斥相容對立獨立P（AB）＝0P（A＋B）＝P（A）＋P（B）P（A）＋P（B）＝1P（A）＝1－P（B）P（B）＝1－P（A）

P（AB）＝P（A）P（B）

P（A/B）＝P（A）

P（B/A）＝P（B）P（AB）＝P（A）P（B/A）＝P（B）P（A/B）五事件關(guān)系分析某堤防設(shè)計標準為抵御100年一遇洪水。問：（1）堤防所能抵御洪水的重現(xiàn)期（2）堤防防洪設(shè)計標準值T=100年P(guān)（A）=0.01（5）今年不發(fā)生超標準洪水的概率（3）每年發(fā)生超標準洪水的概率（4）去年已經(jīng)發(fā)生超標準洪水，今年發(fā)生超標準洪水的概率P（A）=0.01P（A）=0.01P（B）=1-P（A）=0.99（6）今后10年內(nèi)不發(fā)生超標準洪水的概率（7）今后10年內(nèi)發(fā)生超標準洪水的概率（8）今后10年內(nèi)堤防受破壞的概率P（C）=P（B1B2···

B10）

=P（B1）P（B2）···

P（B10）

=0.9910=0.904P（D）=1-P（C）=0.096P（D）=0.096【例】某城市位于河流甲與乙的匯合點。當任一河流泛濫時，該地區(qū)即被淹沒，設(shè)在某時期內(nèi)河流甲泛的概率為0.1，河流乙泛濫的概率為0.2；又知當河流甲泛濫時，河流乙泛濫的概率為0.3。求在該時期內(nèi)這個地區(qū)被淹沒的概率；當河流乙泛濫時河流甲泛濫的概率。某城市甲河乙河Ｐ（A＋B）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（AB）

＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（B／A）Ｐ（A）

＝0.1＋0.2＋0.3×0.1

＝0.27解：記河流的甲泛濫為事件Ａ，河流乙泛濫為事件Ｂ。這個地區(qū)被淹沒的概率為：Ｐ（A／B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）/Ｐ（B）

＝0.3×0.1/0.2

＝0.15由于

Ｐ（A／B）Ｐ（B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A），故當河流乙泛濫時，河流甲泛濫的概率為復習思考題1、選擇題

一棵骰子投擲一次，出現(xiàn)4點或5點的概率為[]。

a、1/6；b、1/3；c、1/4；d、1/5

2、一棵骰子投擲8次，2點出現(xiàn)3次，其概率為[]。

a、1/3；b、1/8；c、3/8；d、1/6

3、是非題

在每次試驗中一定會出現(xiàn)的事件叫做隨機事件。

隨機事件的概率介于0與1之間。3、簡答題

概率和頻率有什么區(qū)別和聯(lián)系？

兩個事件之間存在什么關(guān)系？相應出現(xiàn)的概率為多少？

內(nèi)容提要：

隨機變量，隨機變量的概率分布，隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)學習要求：

1.了解隨機變量及其分類；2.了解隨機變量與概率的關(guān)系，了解分布曲線（函數(shù)）、密度曲線（函數(shù)）的含義及其之間的關(guān)系；3.了解隨機變量的概率分布曲線在水文上稱為頻率曲線，它有超過制概率與不及制概率之分，常用的是超過制概率。4.掌握統(tǒng)計參數(shù)的含義和計算方法。第三節(jié)隨機變量及其概率分布

一、水文隨機變量

隨機變量是表示隨機試驗結(jié)果的數(shù)量表示。水文隨機變量一般指水文特征值，如水位、流量、雨量等，屬連續(xù)型隨機變量。二、隨機變量的概率分布

隨機變量的取值x與其概率P的對應關(guān)系，稱為隨機變量的概率分布。水文統(tǒng)計學研究隨機變量的取值大于某一個值的概率

F（x）＝P（X＞x）稱此為隨機變量的概率分布函數(shù)或概率分布曲線。1、離散型隨機變量的概率分布

離散型隨機變量的概率分布一般以分布列表示，如表4-3－1。

Xx1x2……xi

……P(X=xi)p1p2……pi……

2、連續(xù)型隨機變量的概率分布

對于連續(xù)型隨機變量，無法研究個別值的概率，只能研究某個區(qū)間的概率，或是研究事件X≥x的概率，以及事件X≤x的概率，后面二者可以相互轉(zhuǎn)換，水文統(tǒng)計中常用X≥x

的概率及其分布。----分布函數(shù)

設(shè)事件X≥x

的概率用P（X≥x）來表示，它是隨隨機變量取值x而變化的，所以P（X≥x）是x的函數(shù)，稱為隨機變量x的分布函數(shù)，記為F（x），即:

F(x)=P(X≥x)它代表隨機變量X大于等于某一取值x的概率。其幾何圖形如圖4-3－1（b）所示，圖中縱坐標表示變量x，橫坐標表示概率分布函數(shù)值F（x），在數(shù)學上稱此曲線為分布曲線，水文統(tǒng)計中稱為隨機變量的累積頻率曲線，簡稱頻率曲線。

----分布密度

分布函數(shù)導數(shù)的負值稱為密度函數(shù)，記為f（x），即:

密度函數(shù)的幾何曲線稱密度曲線。水文中習慣以縱坐標表示變量x,橫坐標表示概率密度函數(shù)值f(x)，如圖4-3－1（a）所示。

實際上，分布函數(shù)與密度函數(shù)是微分與積分的關(guān)系。因此，已知f(x)，則:

其對應關(guān)系可在圖4-3－1中看出來。----不及制累積概率

當研究事件X≤x的概率時，數(shù)理統(tǒng)計學中常用分布函數(shù)G（x）表示：

稱不及制累積概率形式，相應的水文統(tǒng)計用的分布函數(shù)F（x）稱為超過制累積概率形式，兩者之間有如下關(guān)系：

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

11001000900800700P（X

＞

x）

x某雨量站的年雨量分布曲線（1）年雨量超過900mm的概率

P（X＞900）=0.2（2）年雨量小于800mm的概率P（X＞800）=0.52P（X≤800）=1－０.52=0.48（3）P（X＞x）=0.1的設(shè)計值x

x=995mm（4）P（X≤

x）=0.1的設(shè)計值xP（X＞x）=1-0.1=0.9x=720mm函數(shù)f（x）＝-F’（x）為概率密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)或密度曲線。f（x）

xdx

f（x）dx

概率密度函數(shù)

f（x）

xxp

F（xp）＝P（X＞xp）

密度函數(shù)xf（x）

F（x）

xF（xP）＝P（X>xP）xP

F（xP）

概率分布函數(shù)與密度函數(shù)關(guān)系

概率分布曲線完整地刻劃了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。但在一些實際問題中，有時只要知道概率分布某些特征數(shù)值。這種以簡便的形式顯示出隨機變量分布規(guī)律的某些特征數(shù)字稱為隨機變量的分布參數(shù)。

三、隨機變量的分布參數(shù)1、均值

均值表示系列中變量的平均情況。設(shè)某水文變量的觀測系列（樣本）為x1，x2，……,xn

，則其均值為

:2、均方差

均方差是反映系列中各變量集中或離散的程度。研究系列集中或離散程度，常采用方差Dx或均方差s，計算公式為:

3、變差系數(shù)

水文計算中用均方差與均值之比作為衡量系列的相對離散程度的一個參數(shù)，稱為變差系數(shù)，或稱離差系數(shù)、離勢系數(shù)，用Cv表示，其計算式為:4、偏態(tài)系數(shù)

在數(shù)理統(tǒng)計中采用偏態(tài)系數(shù)CS作為衡量系列不對稱程度的參數(shù)，其計算式為5、矩

矩在統(tǒng)計學中常用來描述隨機變量的分布特征，均值等統(tǒng)計參數(shù)有些可以用矩來表示。矩可分為原點矩和中心矩兩種。

----原點矩

隨機變量X對原點離差的r次冪的數(shù)學期望E（Xr），稱為隨機變量X的r階原點矩，以符號mr表示，即

對離散型隨機變量，r階原點矩為:

對連續(xù)型隨機變量，r階原點矩為:

----中心矩

隨機變量X對分布中心E（X）離差的r次冪的數(shù)學期望

σ1

σ2

σ2

＞

σ1標準差對頻率曲線的影響Cs

＞

0Cs＝0Cs

＜

0Cs對密度曲線的影響思考題

1、選擇題

一階原點矩就是[____]。

a、算術(shù)平均數(shù)；b、均方差

c、變差系數(shù)；d、偏態(tài)系數(shù)

偏態(tài)系數(shù)Cs﹥0，說明隨機變量x[______]。

a、出現(xiàn)大于均值的機會比出現(xiàn)小于均值的機會多；

b、出現(xiàn)大于均值的機會比出現(xiàn)小于均值的機會少；

c、出現(xiàn)大于均值的機會和出現(xiàn)小于均值的機會相等；

d、出現(xiàn)小于均值的機會為0。

水文現(xiàn)象中，大洪水出現(xiàn)機會比中、小洪水出現(xiàn)機會小，其頻率密度曲線為[____]。

a、負偏；b、對稱；

c、正偏；d、雙曲函數(shù)曲線。2、是非題

x、y兩個系列的均值相同，它們的均方差分別為σx、σy，已知σx＞σy，說明x系列較y系列的離散程度大。

統(tǒng)計參數(shù)Cs是表示系列離散程度的一個物理量。

3、簡答題

分布函數(shù)與密度函數(shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系？

不及制累積概率與超過制累積概率有什么區(qū)別和聯(lián)系？

什么叫總體？什么叫樣本？為什么能用樣本的頻率分布推估總體的概率分布？

統(tǒng)計參數(shù)、σ、Cv、Cs的含義如何？

內(nèi)容提要：

正態(tài)分布，對數(shù)正態(tài)分布，皮爾遜Ⅲ型分布，經(jīng)驗頻率曲線學習要求：

1.了解正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布的形式和特點；2.掌握皮爾遜Ⅲ型分布的形式、特點及其頻率曲線的繪制方法；3.掌握經(jīng)驗頻率曲線的特點及其繪制方法。第四節(jié)水文常用的概率分布曲線水文分析計算中使用的概率分布曲線俗稱水文頻率曲線，習慣上把由實測資料（樣本）繪制的頻率曲線稱為經(jīng)驗頻率曲線，而把由數(shù)學方程式所表示的頻率曲線稱為理論頻率曲線。所謂水文頻率分布線型是指所采用的理論頻率曲線(頻率函數(shù))的型式（水文中常用線型為正態(tài)分布型、極值分布型、皮爾遜Ⅲ型分布型等），它的選擇主要取決于與大多數(shù)水文資料的經(jīng)驗頻率點據(jù)的配合情況。分布線型的選擇與統(tǒng)計參數(shù)的估算，一起構(gòu)成了頻率計算的兩大內(nèi)容。

一、正態(tài)分布式中，

—平均數(shù)

σ—標準差1、正態(tài)分布的密度函數(shù)及其參數(shù)

正態(tài)分布具有如下形式的概率密度函數(shù)：

特點1.集中性當x-時，y值最大，此即分布曲線的最高點，這就是說，大多數(shù)測量值集中在算術(shù)平均值附近，或者說，算術(shù)平均值是最可信賴或最佳值。曲線以這一直線為對稱軸，說明絕對值大小相等的正負誤差出現(xiàn)的頻率相等，因此它們常有可能部分或完全抵消。當測量次數(shù)趨于無限次時，平均值的誤差趨于零。2.對稱性峰形曲線最高點對應的橫坐標x-值等于零，表明隨機誤差為零的測定值出現(xiàn)的概率最大。曲線自峰值向兩旁快速下降，說明小誤差出現(xiàn)的概率大，大誤差出現(xiàn)的概率小，特別大的誤差出現(xiàn)的概率極小。3.單峰性隨機誤差的分布具有有限的范圍，其值大小是有界的。一般認為，誤差大于的測定值并非由隨機誤差所引起的。4.有界性2、頻率格紙正態(tài)頻率曲線在普通格紙上是一條規(guī)則的S形曲線，它在P=50%前后的曲線方向雖然相反，但形狀完全一樣。水文計算中常用的一種"頻率格紙"，其橫坐標的分劃就是按把標準正態(tài)頻率曲線拉成一條直線的原理計算出來的。

二、對數(shù)正態(tài)分布

當隨機變量x的對數(shù)值服從正態(tài)分布時，稱x的分布為對數(shù)正態(tài)分布。對于兩參數(shù)正態(tài)分布而言，變量x的對數(shù)

y=lnx

服從正態(tài)分布時，y的概率密度函數(shù)為:式中ay

-隨機變量y的數(shù)學期望；

σy2-隨機變量y的方差。

由此可得到隨機變量x的概率密度函數(shù)：

概率密度函數(shù)包含了ay和σy兩個參數(shù)，故稱為兩參數(shù)對數(shù)正態(tài)曲線皮爾遜Ⅲ型曲線為一端有限一端無限的不對稱單峰曲線，概率密度函數(shù)

式中，參數(shù)α，β，a0，且有：二、皮爾遜Ⅲ型分布1、皮爾遜Ⅲ型曲線的概率密度函數(shù)

f（x）x

皮爾遜Ⅲ型曲線皮爾遜Ⅲ型分布的積分無解析解，實用中制表查用。已知x、CV、CS，由f(x)推求F（x）2、皮爾遜Ⅲ型頻率曲線及其繪制被積函數(shù)只含一個參數(shù)CS。只要給定CS就可以算出ФP和p的對應值，最終制定出ФP～Cs～p的對應數(shù)值表。取標準化變量Ф（離均系數(shù)）皮爾遜Ⅲ型頻率曲線的離均系數(shù)值表P（%）Cs

0.1152050

8095

99

99.90.03.092.331.640.840.00

-0.84-1.64-2.33-3.090.13.231.672.0

0.84

-0.02

-0.85

-1.62

-2.25-2.950.23.38

2.471.700.83-0.03

-0.85-1.59

-2.18-2.810.3

3.522.541.730.82-0.05

-0.85-1.55

-2.10-2.670.43.672.621.75

0.82-0.07

-0.85-1.52-2.03

-2.540.53.812.681.770.81-0.08-0.85

-1.40-1.96

-2.400.63.962.751.800.80-0.10

-0.85-1.45-1.88

-2.270.74.102.821.820.79

-0.12-0.85-1.42-1.81

-2.140.84.242.89

1.840.78-0.13-0.85

-1.38

-1.74-2.020.94.392.961.860.77-0.15

-0.85-1.35-1.66-1.90

4.53

3.021.880.76-0.16-0.85

-1.32-1.59-1.79

皮爾遜Ⅲ型頻率曲線的模比系數(shù)KP值表

）

P（%）Cs0.1152050759095990.05

1.161.121.081.041.00

0.970.940.92

0.890.10

1.341.251.17

1.081.000.930.870.84

0.780.20

1.731.521.351.160.990.86

0.75

0.70

0.590.30

2.191.831.541.240.970.780.64

0.56

0.440.40

2.702.151.741.310.950.710.530.450.300.50

3.272.511.941.380.920.640.440.340.210.60

3.892.892.151.440.890.560.350.26

0.130.70

4.563.292.361.500.850.490.270.18

0.080.80

5.303.712.571.540.800.42

0.210.120.040.90

6.084.152.781.580.750.350.150.080.021.00

6.91

4.613.001.610.69

0.290.110.050.01

【例】已知某地年平均雨量EX＝1000mm、CV＝0.5、CS＝1.0，求p＝1%的設(shè)計年雨量。x1%

＝（ФP

Cv＋1）x＝（3.02×0.5＋1）1000＝2510（mm）由CS＝1.0，p＝1%

查得ФP＝3.023、皮爾遜Ⅲ型頻率曲線的應用

復習思考題

1、選擇題

在水文頻率計算中，我國一般選配皮爾遜III型曲線，這是因為[________]。

a、已從理論上證明它符合水文統(tǒng)計規(guī)律；

b、已制成該線型的Φ值表供查用，使用方便；

c、已制成該線型的kp值表供查用，使用方便；

d、經(jīng)驗表明該線型能與我國大多數(shù)地區(qū)水文變量的頻率分布配合良好。

百年一遇洪水，是指[________]。

a、大于等于這樣的洪水每隔100年必然會出現(xiàn)一次；

b、大于等于這樣的洪水平均100年可能出現(xiàn)一次；

c、小于等于這樣的洪水正好每隔100年出現(xiàn)一次；

d、小于等于這樣的洪水平均100年可能出現(xiàn)一次；

正態(tài)頻率曲線繪在頻率格紙上為一條[________]。

a、直線；b、S型曲線；

c、對稱的鈴型曲線；d、不對稱的鈴型曲線。

如圖4-1-4，為兩條皮爾遜III型頻率密度曲線，它們的Cs[______]。

a、Cs1﹤0，Cs2﹥0；b、Cs1﹥0，Cs2﹤0；

c、Cs1﹦0，Cs2﹦0；d、Cs1﹦0，Cs2﹥0。

如圖4-1-5，為不同的三條概率密度曲線，由圖可知[______]。

a、Cs1＞0，Cs2＜0，Cs3=0；

b、Cs1＜0，Cs2＞0，Cs3=0；

c、Cs1=0，Cs2＞0，Cs3＜0；

d、Cs1＞0，Cs2=0，Cs3＜0；

2、是非題

我國在水文頻率分析中選用皮爾遜III型曲線，是因為已經(jīng)從理論上證明皮爾遜III型曲線符合水文系列的概率分布規(guī)律。

正態(tài)頻率曲線在普通格紙上是一條直線。

皮爾遜III型頻率曲線在頻率格紙上是一條規(guī)則的S型曲線。

在頻率曲線上，頻率P愈大，相應的設(shè)計值xp就愈小。3、簡答題

皮爾遜III型概率密度曲線的特點是什么？

何謂離均系數(shù)Φ？如何利用皮爾遜III型頻率曲線的離均系數(shù)Φ值表繪制頻率曲線？

內(nèi)容提要：

矩法，三點法，權(quán)函數(shù)法，抽樣誤差學習要求：

1.掌握矩法、三點法推求統(tǒng)計參數(shù)的基本原理與方法；2.了解權(quán)函數(shù)法推求統(tǒng)計參數(shù)的基本原理與方法；3.掌握抽樣誤差的基本概念和計算方法。

在概率分布函數(shù)中都含有一些表示分布特征的參數(shù),例如皮爾遜III型分布曲線中就包含有、Cv、Cs三個參數(shù)。水文頻率曲線線型選定之后,為了具體確定出概率分布函數(shù),就得估計出這些參數(shù)。

第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)估計

一、樣本與總體

隨機變量所取數(shù)值的全體稱為總體，從總體中任意抽取的一部分稱為樣本，樣本中所包括的項數(shù)稱為樣本容量。水文變量的總體是指自古迄今以至未來的水文系列，現(xiàn)有的水文觀測系列可以當作總體的一個樣本。樣本均值

樣本標準差

樣本離勢系數(shù)

樣本偏態(tài)系數(shù)二、矩法估計

水文上采用經(jīng)修正后的矩法公式:三、抽樣誤差

用一個樣本的統(tǒng)計參數(shù)來估計總體的統(tǒng)計參數(shù)是存在誤差的，稱之為抽樣誤差。這種誤差是由于從總體中隨機抽取的樣本與總體有差異而引起的。樣本抽樣誤差的均方值稱為均方誤，是衡量抽樣誤差的大小的常用指標。

皮爾遜Ⅲ型分布參數(shù)矩法估計的均方誤公式：樣本參數(shù)的均方誤（相對誤差，%）

由表中可見，當n＝100時，CS的誤差在40～126%之間。水文資料一般都很短（n＜100），按矩法公式算得的CS值，抽樣誤差太大。EX

C

V

C

S

參數(shù)

n

Cv

100

50

25

10

100

50

25

10

100

50

25

10

0

．

1

1

1

2

3

7

50

14

22

126

178

252

390

0

．

3

3

4

6

10

7

10

15

23

51

72

102

162

0

．

5

5

7

10

12

8

11

16

25

41

58

82

130

0

．

7

7

10

14

22

9

12

17

27

40

56

80

126

1

．

0

10

14

20

23

10

14

20

32

42

60

85

134

四、權(quán)函數(shù)法思考題1、選擇題

無偏估值是指[____]。

a、由樣本計算的統(tǒng)計參數(shù)正好等于總體的同名參數(shù)值；

b、無窮多個同容量樣本參數(shù)的數(shù)學期望值等于總體的同名參數(shù)值；

c、抽樣誤差比較小的參數(shù)值；

d、長系列樣本計算出來的統(tǒng)計參數(shù)值。

用樣本的無偏估值公式計算統(tǒng)計參數(shù)時，則[____]。

a、計算出的統(tǒng)計參數(shù)就是相應總體的統(tǒng)計參數(shù)；

b、計算出的統(tǒng)計參數(shù)近似等于相應總體的統(tǒng)計參數(shù)；

c、計算出的統(tǒng)計參數(shù)與相應總體的統(tǒng)計參數(shù)無關(guān)；

d、以上三種說法都不對。

減少抽樣誤差的途徑是[____]。

a、增大樣本容量；b、提高觀測精度；

c、改進測驗儀器；d、提高資料的一致性。2、是非題

改進水文測驗儀器和測驗方法，可以減小水文樣本系列的抽樣誤差。

由于矩法計算偏態(tài)系數(shù)Cs的公式復雜，所以在統(tǒng)計參數(shù)計算中不直接用矩法公式推求Cs值。

由于樣本估算總體的參數(shù)，總是存在抽樣誤差，因而計算出的設(shè)計值也同樣存在抽樣誤差。

水文系列的總體是無限長的，它是客觀存在的，但我們無法得到它。

3、簡答題

什么叫無偏估計量？樣本的無偏估計量是否就等于總體的同名參數(shù)值？為什么？

簡述三點法的具體作法與步驟？

權(quán)函數(shù)法為什么能提高偏態(tài)系數(shù)Cs的計算精度？

何謂抽樣誤差？如何減小抽樣誤差？根據(jù)估計的頻率分布曲線和樣本經(jīng)驗點據(jù)分布配合最佳優(yōu)選參數(shù)的方法——適線法第六節(jié)適線法估計水文分布參數(shù)

利用已經(jīng)掌握的幾年實測水文資料，按大小次序排列，并利用頻率公式計算出各種相應的累積頻率，然后點繪在機率格紙上，用一條光滑的曲線連接各經(jīng)驗點子，就是經(jīng)驗頻率曲線。一、經(jīng)驗頻率曲線

x1200

1000

800

0

20

40

60

80

100

W（%）某地年降雨量經(jīng)驗分布曲線W（X≥xi）＝i/n用數(shù)理統(tǒng)計方法估算出現(xiàn)機率,這種機率稱為經(jīng)驗頻率,在水文計算中稱“頻率”.為了通俗起見,往往用“重現(xiàn)期”來替代“頻率”,它表示在許多次試驗中某一事件重復出現(xiàn)的時間間隔的平均數(shù),也就是平均的重現(xiàn)間隔期。二、經(jīng)驗頻率如果用W（X≥xi）＝i/n

的經(jīng)驗分布曲線估計總體分布曲線，存在不合理現(xiàn)象。當m＝n時，最末項的頻率為100%，樣本末項值為總體中的最小值，不符合事實。水文上用期望值公式估計頻率

頻率比較抽象，為便于理解，常采用重現(xiàn)期。所謂重現(xiàn)期是指在許多試驗中，某一事件重復出現(xiàn)的時間間隔的平均數(shù)。在工程水文中，重現(xiàn)期用字母T表示，一般以年為單位。

在江河水利工程水文計算中，重現(xiàn)期是頻率的倒數(shù)。當研究暴雨洪水問題時,P（X＞x）是暴雨洪水事件發(fā)生的頻率，其重現(xiàn)期例如，當暴雨或洪水頻率為1%時，重現(xiàn)期T＝100年，稱此暴雨為百年一遇的暴雨或洪水。例如，對于P（X＞x）＝80％枯水流量，重現(xiàn)期T＝5年，稱此為五年一遇的枯水流量,或稱為保證率為80％的流量。當研究枯水問題時P（X≤x）是枯水頻率，而P（X＞x）稱為保證率,其重現(xiàn)期

所謂百年一遇的暴雨或洪水，是指大于或等于這樣的暴雨或洪水在長時期內(nèi)平均100年發(fā)生一次，而不能認為每隔100年必然遇上一次。

適線法的原理：根據(jù)經(jīng)驗頻率點據(jù)，找出配合最佳之頻率曲線，相應的分布參數(shù)為總體分布參數(shù)的估計值。

三、適線法

（1）點繪經(jīng)驗點據(jù)

縱坐標為變量值，橫坐標為經(jīng)驗頻率，采用期望值公式估計。（2）初定一組參數(shù)

用矩法公式的估算EX和CV，并假定CS與CV的比值K估算CS

。（3）根據(jù)初定的EX、CV和CS，計算頻率曲線，并繪在點有經(jīng)驗點據(jù)的圖上。若與經(jīng)驗點據(jù)配合不理想，則修改參數(shù)再次配線，主要調(diào)整CV以及CS

。（4）選擇一條與經(jīng)驗點據(jù)配合最佳曲線作為采用曲線。該曲線的參數(shù)看作總體參數(shù)的估計值。計算步驟：

由頻率曲線圖可見，CV值愈大，曲線愈陡；當CS增大時，曲線上段變陡而下段趨于平緩。

配線法采用了概率格紙，以正態(tài)分布曲線成直線來劃分概率坐標的。其特點是橫坐標的兩端分格較稀而中間較密，縱坐標為均勻分格或?qū)?shù)分格。這樣，曲線兩端的坡度變緩，使用起來比較方便。

【例】某站共有實測降水量資料24年，求頻率為10%和90%的年降水量。

1.將原始資按大小次序排列，列入表（4）欄。計算步驟為：

2.計算經(jīng)驗頻率Pm=m/(n+1)列入表（5）欄,并與xm

對應點繪于概率格紙上。某站年降水量頻率計算表

3.用矩法計算系列的多年平均降水量和離差系數(shù)。

4.

選定CV＝0.25，假定CS＝0.50。查表得φP，求得

xP

＝（φPCV＋1）根據(jù)表中（1）、（3）兩欄的對應數(shù)值點繪曲線，發(fā)現(xiàn)曲線頭部和尾部都偏于經(jīng)驗頻率點據(jù)之下。

5.改變參數(shù)，選定CV＝0.30，CS＝0.75，查表計算出各xP值。繪制頻率曲線，該線與經(jīng)驗點據(jù)配合較好，取為最后采用的頻率曲線。P10%=933mm

P90%=

433mm

配線法得到的成仍具有抽樣誤差，而這種誤差目前還難以精確估算，因此對于工程上最終采用的頻率曲線及相應的統(tǒng)計參數(shù)，不僅要從水文統(tǒng)計方面分析，而且還要密切結(jié)合水文現(xiàn)象的物理成因及地區(qū)規(guī)律進行綜合分析。四、最優(yōu)適線法優(yōu)化適線法是在一定的適線準則(即目標函數(shù))下，估計與經(jīng)驗點矩擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù)的方法。適線時采用的準則分為3種：離差平方和最小準則(OLS)、離差絕對值和最小準則(ABS)、相對離差平方和最小準則(WLS)。離差平方和準則的適線法就是使經(jīng)驗點據(jù)和同頻率的頻率曲線縱坐標之差的平方和達到最小。對于皮爾遜Ⅲ型曲線，就是使下列目標函數(shù)式取最小。思考題

1、選擇題

如圖，若兩頻率曲線的、Cs值分別相等，則二者Cv[______]。

a、Cv1﹥Cv2；

b、Cv1﹤Cv2；

c、Cv1﹦Cv2；

d、Cv1﹦0，Cv2﹥0。繪在頻率格紙上的兩條皮爾遜III型頻率曲線，它們的、Cv值分別相等，則二者的Cs[______]。

a、Cs1﹥Cs2；b、Cs1﹤Cs2；

c、Cs1﹦Cs2；d、Cs1﹦0，Cs2﹤0。

若兩條頻率曲線的cv、cs分別相等，則二者的均值相比較[______]。

皮爾遜III型曲線，當Cs≠0時，為一端有限，一端無限的偏態(tài)曲線，其變量的最小值a0=（1-2Cv/Cs）；由此可知，水文系列的配線結(jié)果一般應有[______]。

a、Cs＜2Cv；

b、Cs＝0；

c、Cs≤2Cv；

d、Cs≥2Cv。如圖，為以模比系數(shù)k繪制的皮爾遜III型頻率曲線，其Cs值[_c_____]。

a、等于2Cv；b、小于2Cv；

c、大于2Cv；d、等于0。如圖，為皮爾遜III型頻率曲線，其Cs值[______]。

a、小于2Cv；b、大于2Cv；

c、等于2Cv；d、等于0。用配線法進行頻率計算時，判斷配線是否良好所遵循的原則是[____]。

a、抽樣誤差最小的原則；

b、統(tǒng)計參數(shù)誤差最小的原則；

c、理論頻率曲線與經(jīng)驗頻率點據(jù)配合最好的原則；

d、設(shè)計值偏于安全的原則。

2、是非題

水文頻率計算中配線時，增大Cv可以使頻率曲線變陡。

給經(jīng)驗頻率點據(jù)選配一條理論頻率曲線，目的之一是便于頻率曲線的外延。

某水文變量頻率曲線，當、Cs不變，增加Cv值時，則該線呈反時針方向轉(zhuǎn)動。

某水文變量頻率曲線，當、Cv不變，增大Cs值時，則該線兩端上抬，中部下降。

某水文變量頻率曲線x～p，當Cv、Cs不變，增加值時，則x～p線上抬。3、簡答題

在頻率計算中，為什么要給經(jīng)驗頻率曲線選配一條“理論”頻率曲線？

為什么在水文計算中廣泛采用配線法？

現(xiàn)行水文頻率計算配線法的實質(zhì)是什么？簡述配線法的方法步驟？

統(tǒng)計參數(shù)、Cv、Cs含義及其對頻率曲線的影響如何？

用配線法繪制頻率曲線時，如何判斷配線是否良好？

一、概述1．相關(guān)分析及其目的

分析和建立隨機變量之間相互關(guān)系的過程稱為相關(guān)分析。相關(guān)分析可以用來延長和插補短系列資料。第七節(jié)相關(guān)分析(1)按相關(guān)的程度分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)

(2)按相關(guān)的方向分為正相關(guān)和負相關(guān)

(3)按相關(guān)的形式分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)

(4)按影響因素的多少分為單相關(guān)(簡相關(guān))和復相關(guān)

2．相關(guān)的種類

相關(guān)關(guān)系

變量x與y之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和零相關(guān)之間

完全相關(guān)變量x與y之間為函數(shù)關(guān)系零相關(guān)變量x與y之間沒有關(guān)系①完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）兩變量x與y之間，如果每給定一個x值，就有一個完全確定的y值與之對應，則這兩個變量之間的關(guān)系就是完全相關(guān)（或稱函數(shù)關(guān)系）。完全相關(guān)的形式有直線關(guān)系和曲線關(guān)系兩種。

完全相關(guān)示意圖

②零相關(guān)（沒有關(guān)系）兩變量之間毫無聯(lián)系，或某一變量的變化不影響另一變量的變化，這種關(guān)系稱為零相關(guān)或沒有關(guān)系。

③統(tǒng)計相關(guān)

若兩個變量之間的關(guān)系界于完全相關(guān)和零相關(guān)之間，則稱為統(tǒng)計相關(guān)。分為直線相關(guān)和曲線相關(guān)。相關(guān)關(guān)系示意圖(a)直線關(guān)系(b)曲線關(guān)系

1、圖解法設(shè)xi和yi代表兩系列的觀測值，共有n對，把對應值點繪于方格紙上。如果點據(jù)有直線分布的趨勢，則可通過點群中心及均值點目估繪出一條直線，該直線即為相關(guān)線。二、直線相關(guān)分析直線相關(guān)

某流域年降雨徑流相關(guān)圖y（mm）x（mm）將對應的

xi與

yi（

i=1,2,…n）對應點繪在方格紙上，如果點據(jù)的平均趨勢線為直線，說明變量x與y為線性相關(guān),滿足方程：

y＝

a＋

bx式中x――自變量；

y――倚變量；

a、b―待定常數(shù)。

2、分析法

按最小二乘法原則求出使最小的a、b，即可確定相關(guān)方程。通過分析計算，可得到如下形式的相關(guān)方程：式中、――x、y系列的均方差；

、――x、y系列的均值；

此式稱為y倚x的相關(guān)方程，它的圖形稱為y倚x的相關(guān)線。

相關(guān)系數(shù)y倚x回歸方程X倚y回歸方程某流域年降雨徑流資料年份x

y

19542014136219551211728195617281369195711576951958125772019591029534196013067781961102933719621316809196313569291964126679619651052383y倚x回歸方程y

＝1.048x－586.9X倚y回歸方程x

＝0.863y－631.5某流域年降雨徑流相關(guān)圖y（mm）x（mm）3、相關(guān)方程的誤差相關(guān)線只反映兩變量間的平均關(guān)系。按此線推求的y值存在著一定的誤差，誤差大小一般采用均方誤來表示。y倚x相關(guān)線的均方誤為：

x倚y相關(guān)線的均方誤為：

倚相關(guān)線的誤差范圍

4、相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計檢驗

總體為零相關(guān)的兩個變量，隨機抽樣時，樣本的相關(guān)系數(shù)不一定等于零。為此，需要對相關(guān)系數(shù)進行統(tǒng)計檢驗。

檢驗方法是：查相關(guān)系數(shù)檢驗表（見表），若計算的相關(guān)系數(shù)r大于表中的相關(guān)系數(shù)rα，則在信度為α的水平下可排除零相關(guān)；否則，判斷為零相關(guān)。rα可以根據(jù)樣本項數(shù)n和信度α從相關(guān)系數(shù)檢驗表中查取。n-2α0.10.050.020.0110.987690.996920.999510.9998820.900000.950000.980000.9900030.805400.878300.934330.9587340.729300.811400.882200.9172050.669400.754500.832900.8745060.621500.706700.788700.8343070.582200.666400.749800.7977080.549400.631900.715500.7646090.521400.602100.685100.73480100.497300.576000.658100.70790110.476200.552900.633900.68350120.457500.532400.612000.66140130.440900.513900.592300.64110140.425900.497300.574200.62260150.412400.482100.557700.60550160.400000.468300.542500.58970170.388700.455500.528500.57510180.378300.443800.515500.56140190.368700.432900.503400.54370200.359800.422700.492100.53680250.323300.380900.445100.48690300.296000.349400.409300.44870350.274600.324600.381000.41820400.257300.304400.357800.39320450.243800.287500.338400.37210500.230600.273200.321800.35410600.210800.250000.294800.32480700.195400.231900.273700.30170800.182900.217200.256500.28300900.172600.205000.242200.267301000.163800.194600.230100.25400不同信度水平下相關(guān)系數(shù)最低值rα表5.直線相關(guān)分析應注意的問題①、兩個變量之間要存在密切的物理成因聯(lián)系，不能盲目進行相關(guān)分析；②、同期觀測資料不能太少，點據(jù)至少10個以上；③、相關(guān)系數(shù)應進行統(tǒng)計檢驗(水文學要求信度取0.01，而且時才能應用)；④、要計算Sy并進行誤差評價。三、曲線相關(guān)分析有時變量間的關(guān)系為曲線相關(guān)的形式，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。曲線相關(guān)分析的方法一般是先將其通過數(shù)學變換化為直線關(guān)系，然后再進行直線相關(guān)分析。

1．冪函數(shù)

冪函數(shù)的一般形式為

y=axb

兩邊取對數(shù)：logy=loga+blogx

令Y=logy,A=loga,X=logx

則有Y=A+bX（4-7-9）

對X和Y而言就是直線關(guān)系，可對其作直線相關(guān)分析。2．指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的一般形式為

y=Aebx

兩邊取對數(shù)logy=loga+bxloge

令Y=logy,A=loga,B=bloge,X=x

則有Y=A+BX

這樣對X和Y