材料力學(xué)課件之能量方法

第8章能量方法8-1外力功與桿件的變形能一、外力功與彈性應(yīng)變能1.外力功W——在彈性體受力變形過程中，外力在沿其作用方向的位移上做的功。2.彈性應(yīng)變能（Dlasticstrainenergy）或彈性變形能（Dlasticdeformationenergy）U——彈性體伴隨彈性變形積蓄了能量，從而具有對(duì)外界作功的潛在能力，通常把這種形式的能量稱為彈性應(yīng)變能。三、能量方法利用上述功和能的概念來求解變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法，統(tǒng)稱為能量法。能量法的應(yīng)用很廣泛，它不僅適用于線性彈件問題，而且還適用于非線性彈性體。它也是用有限元法求解固體力學(xué)問題的重要基礎(chǔ)。二、功能原理（Principleforworkandenergy）在彈性體受力變形過程中，不考慮動(dòng)力效應(yīng)，能量損耗，則外力所作的功，就全部轉(zhuǎn)換為彈性體內(nèi)部積蓄的應(yīng)變能，其表達(dá)式如下：U=W四、桿件的應(yīng)變能1.比能2.應(yīng)變能(1)微應(yīng)變能du=udV(2)應(yīng)變能（一）、拉壓桿的應(yīng)變能應(yīng)變能是一種體積分布能量。全桿的應(yīng)變能，等于所有桿段應(yīng)變能之和或者等于所有微段應(yīng)變能之和。(3)等截面且軸力為常數(shù)的桿段的應(yīng)變能(4)分段等截面且各段軸力為常數(shù)的桿的應(yīng)變能例求u，U。注：應(yīng)變能(比能)的計(jì)算一般不能用疊加原理。(二)、剪切變形應(yīng)變能和比能如圖示的純剪切單元體，其應(yīng)變能和比能是：?jiǎn)卧w微元功等于微變形能微比能剪切比能剪切應(yīng)變能(三)、圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能例：求圖示扭轉(zhuǎn)圓軸的應(yīng)變能。解：軸的兩段扭矩均為常量，易于求出該扭轉(zhuǎn)圓軸的應(yīng)變能如下：(四)、平面彎曲時(shí)的應(yīng)變能推導(dǎo)廣義胡克定律時(shí)已指出：正應(yīng)力不會(huì)引起剪應(yīng)變；剪應(yīng)力也不會(huì)引起線應(yīng)變?？芍?，正應(yīng)力不會(huì)在剪應(yīng)變上做功；剪應(yīng)力不會(huì)在線應(yīng)變上做功。故，梁內(nèi)任意一點(diǎn)的比能等于正應(yīng)力對(duì)應(yīng)的比能與剪應(yīng)力對(duì)應(yīng)的比能之和。梁的應(yīng)變能k——與截面形狀有關(guān)的剪應(yīng)力不均勻分布修正系數(shù)。如截面為矩形k=1.2，圓形k=10/9，薄壁圓環(huán)形k=2，共字型k=A/AW。梁的應(yīng)變能實(shí)踐和記算表明：對(duì)于高跨比較小的梁，剪應(yīng)力影響項(xiàng)較小，一般可以略去。梁彎曲變形時(shí)的應(yīng)變能可用下式計(jì)算。(五)、組合變形時(shí)的應(yīng)變能根據(jù)實(shí)際情況，求出橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力及剪應(yīng)力。比能：應(yīng)變能：組合變形時(shí)的應(yīng)變能最后一項(xiàng)是關(guān)于z的對(duì)稱積分，結(jié)果為零。組合變形時(shí)的應(yīng)變能當(dāng)不考慮彎曲剪切影響時(shí)，有可見，當(dāng)軸y為對(duì)稱軸,即組合變形中的彎曲變形為對(duì)稱彎曲時(shí)，組合變形時(shí)的應(yīng)變能等于與截面上各獨(dú)立內(nèi)力對(duì)應(yīng)的基本變形應(yīng)變能的總和。注：(1)桿件應(yīng)變能的取值與加載次序無關(guān)；(2)應(yīng)變能都是內(nèi)力(荷載)的二次函數(shù)，因此，一般不能用力的獨(dú)立作用原理進(jìn)行疊加計(jì)算。(3)在荷載產(chǎn)生的內(nèi)力或位移屬于不同類型時(shí)，可以疊加。例：試用下述三種方式，計(jì)算圖示簡(jiǎn)支梁的應(yīng)變能。(1)同時(shí)由零開始逐漸加載至P、M；(2)先加載至P，再加載至M；(3)先加載至M，再加載至P。應(yīng)變能只與荷載的最終值有關(guān)，而與加載的中間過程或加載的先后次序無關(guān)。

利用功能原理計(jì)算位移U=W由功能原理當(dāng)結(jié)構(gòu)上只作用一個(gè)作功的廣義荷載P時(shí)，利用功能原理，可方便地求得與P對(duì)應(yīng)的廣義位移d。d=2U/P例：8—2、卡氏定理若彈性體上作用有n個(gè)已知的廣義力P1、P2、P3、…、Pn，在其共同作用下，每個(gè)廣義力作用點(diǎn)沿各自廣義力方向上的廣義位移分別為D1、D2、D3、…、Dn。則彈性體由廣義力表示的變形能U

對(duì)某個(gè)廣義力Pi的偏導(dǎo)數(shù)，等于與Pi相應(yīng)的廣義位移

Di

。證明彈性體的應(yīng)變能只與荷載的最終值有關(guān)，而與加載的中間過程或加載的先后次序無關(guān)。于是，總變形能為略去高階微量，得卡氏定理的應(yīng)用由得1.拉壓桿件系統(tǒng)的位移計(jì)算對(duì)于拉壓桿件系統(tǒng)，能夠?qū)懗鋈缦鹿剑?.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的位移計(jì)算3.平面彎曲梁的位移計(jì)算4.組合變形時(shí)的位移計(jì)算卡氏松定理牙的應(yīng)傾用說獸明（1）力尿和位鐮移均徒有廣速義性差；（2）注意膽所求位寶移有無翅相應(yīng)的恒廣義力帆，有則返直接對(duì)醬它求偏導(dǎo)，葬無則淡需要吼虛設(shè)辭一個(gè)炊相應(yīng)嘆的廣垮義力估；（3）要比注意硬所求口位移醬相應(yīng)腦的廣廣義力敢，是絡(luò)否與養(yǎng)所求辯位移素不對(duì)應(yīng)的其哭它荷載桶，具有趴相同的英名稱。繁如果是之，需要姿先將與所求蛛位移相恢應(yīng)的廣江義力換納個(gè)名稱視，以避尾免求偏扎導(dǎo)發(fā)生概念寸上的錯(cuò)付誤；(4）在雁運(yùn)算頂時(shí)，葉一般革不要泄將體興系的謀應(yīng)變擠能求聰出來藥后再觸求偏導(dǎo)數(shù)灰，應(yīng)求當(dāng)先招求偏銜導(dǎo)數(shù)勺再進(jìn)株行積趟分運(yùn)底算（爽簡(jiǎn)稱揮“先軌求導(dǎo)后積侮分”娃）；（5）區(qū)分浸不同的德荷載類康型，分援別應(yīng)用糊有關(guān)公耗式，還前需要弄清貝楚，班寫內(nèi)靈力方坊程需民要將叔桿件犁（或稱簡(jiǎn)單旁結(jié)構(gòu)揀）分婆為幾段仙，來仍進(jìn)行者正確衫的描藝述（嘗應(yīng)變壯能的撤計(jì)算督同樣長(zhǎng)需要駝分為幾持段來夢(mèng)計(jì)算拼）。(6)晨廣義力涼與廣義露位移間挖的相應(yīng)蹤蝶關(guān)系：一個(gè)矩力相應(yīng)籌的位浩移為知該力或作用外點(diǎn)沿礙力矢躍正向殺的線胳位移澇；一個(gè)賄力偶相應(yīng)的賴位移為你作用有川該力偶植的平面顫沿力偶悄轉(zhuǎn)向的朽角位移港；一對(duì)遍力相應(yīng)下的位兵移為弓該對(duì)壺力兩堂作用蓮點(diǎn)沿懇力矢爸正向脊的相蕉對(duì)線吊位移剃；一對(duì)力外偶相應(yīng)的身位移為閑作用有疾該對(duì)力摘偶的兩甜平面間陳沿力偶帖轉(zhuǎn)向的也相對(duì)角什位移。分別如俯圖a、忌b、c斃、d所棒示。例：8-4功的食互等感定理批和位揪移互互等定拋理一、爆功的炒互等摘定理型——暑貝蒂夠—瑞載利互莊等定屈理由意著大利滲的E.哪Be凱tt吸i于187珍2年和塌英國的Ra適yl屠ei能gh于1印87塘3年忙分別德獨(dú)立祝提出駝。同一根貼梁，分殿別處于住圖a和圖b的荷鹽載作謝用狀蹲態(tài)，扁圖中戴所示懲的位擋移有晃廣義壩力引勾起自旋己作壞用點(diǎn)敵的位招移，警也有更一個(gè)憑另一淺力作廊用點(diǎn)巴的位表移。功的互晨等定理功的互隸等定理宵：如果將庫上述兩璃種荷載珠同時(shí)作濱用在該論梁上，嘉如圖示啞，兩種披荷載不勁同的施謀加次序圣，都將另得出相節(jié)同的應(yīng)飾變能，籍于是有披：功的互鵲等定理如在修某線賤彈性盟體上丟作用理兩組計(jì)廣義轎力，每則第宮一組派力在解第二戒組力山引起哄的廣芹義位渠移上茂所做淹的功升等于允第二盟組力昂在第蝴一組楊力引謊起的嶺廣義蒼位移裳上所釋做的錄功。圣或i狀態(tài)革的力戴在k狀態(tài)央的位縫移上演所做盟的功波等于k狀態(tài)萍的力傍在i狀態(tài)的剩位移上訴所做的巷功。Wik=Wki或Pi.Dik=Pk.Dki二、燃位移互等定訊理——差麥克斯巖韋位移課互等定蜻理由英國于18還64年永提出。由功的互逼等定理設(shè)知：如果洞廣義甚力數(shù)辮值上悲相等頭，Pi=Pk則Dik=Dki如在宜某線崖彈性買體上穗作用刊兩個(gè)羊數(shù)值惕相等獄的廣根義力Pi和Pk，則Pi單獨(dú)奧作用抗下引起Pk作用簽點(diǎn)沿Pk方向的甩廣義位指移在數(shù)掀值上等惠于Pk單獨(dú)作請(qǐng)用下引起Pi作用鉛點(diǎn)沿Pi方向謙的廣仁義位語移。8-飲5軋余能顯與余弓能原晉理一、余辭能概念考察碑圖示伯非線得性彈追性材華料的方軸向愛拉桿續(xù)，荷宗載伸漫長(zhǎng)關(guān)哄系曲畝線和磨應(yīng)力籠應(yīng)變咽關(guān)系局曲線蠟。顯釀然，千荷載鄭與位尺移、棵應(yīng)力童與應(yīng)逼變之甩間不泊再服策從線悼性彈急性關(guān)詢系。由于與具有相同的量綱。且余能膜概念注意愉：桿件的麥余能或蟻余比能張沒有明址確的物概理意義醋，但有薪明確的減幾何意蘿義，就隸是曲線講上方的香面積。即在耽和數(shù)PD下，W*為W的余周數(shù)。佳因此養(yǎng)習(xí)慣蹲上稱W*為余功。類似地祝有稱為余(應(yīng)變)能稱為余比能余能蠶概念應(yīng)變能通常表示為廣義位移的函數(shù)。余能通常表示為廣義力的函數(shù)。特殊省情形勿：線彈政性材湖料，P-D和s-e曲線為號(hào)一斜直易線，是賢矩形PD和se的對(duì)角鏟線，故總：即線彈性豆體的余隸能（或匙一點(diǎn)處頓的余比目能）與岔應(yīng)變能開（或一繭點(diǎn)處的唯比能）法相等。三、憐卡氏業(yè)第二巖定理1.克訂羅蒂-煌恩蓋塞懼定理—賺—適用關(guān)于線彈福性體與寺非線彈棋性體由意巾大利信工程醫(yī)師F賊.C屬ro漆t(yī)t凡i于立18牌78壇年、景德國嗽工程磨師F靜.E消ng世es遙se肉r于施18綁89笛年分鍬別提廳出。若彈遙性體秤上作樣用有n個(gè)已知臟的廣義毅力P1、P2、P3、…嶺、Pn，在其躺共同作裁用下，醫(yī)每個(gè)廣介義力作蔬用點(diǎn)沿貌各自廣桶義力方努向上的扣廣義位訂移分別訓(xùn)為D1、D2、D3、…憶、Dn。則彈性體云由廣義周力表示隔的余能莖U*對(duì)某曾個(gè)廣找義力坡Pi的偏溝導(dǎo)數(shù)資，等偏于與聲Pi相應(yīng)的掩廣義位含移Di。證明宵仿前賞。2、招卡氏拉第一才定理由意箏大利失工程除師A揚(yáng).C夠as企ti殲li瓣an感o于父18怨73臉年提咬出。若彈性脫體上作畝用有n個(gè)已知頑的廣義矮力P1、P2、P3、…、公Pn，在其怨共同作柔用下，辯每個(gè)廣林義力作勉用點(diǎn)沿走各自廣縱義力方鳳向上的功廣義位改移分別駁為D1、D2、D3、…、Dn。則彈性效體由香廣義抄位移錫表示仁的應(yīng)軟變能剖U對(duì)鼠某個(gè)罵廣義熄位移Di的偏纖導(dǎo)數(shù)墻，等條于與Di相應(yīng)躺的廣啦義力悄Pi。證明聰：——澇適用隱于線趙彈性損體與小非線蟻彈性組體，社求彈轉(zhuǎn)性體養(yǎng)的位陳移。例：2.乏卡氏自第二釣定理由意梢大利品工程革師A秤.C里as舒ti券li督an精o于泡18每73掌年提毯