第六章多個多元均值向量的比較詳解演示文稿

第六章多個多元均值向量的比較詳解演示文稿目前一頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點優(yōu)選第六章多個多元均值向量的比較目前二頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點一、均值向量的檢驗設x1,x2,?,xn是取自總體x~Np

(μ,Σ)的一個樣本，這里Σ>0,n>p，欲檢驗H0：μ=μ0，H1：μ≠μ01.Σ已知檢驗統(tǒng)計量為拒絕規(guī)則為：若，則拒絕H0目前三頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點2.Σ未知檢驗統(tǒng)計量為稱之為霍特林（Hotelling）T2統(tǒng)計量。當H0為真時服從F(p,n?p)，對給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：若，則拒絕H0其中

。目前四頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點例62.1對某地區(qū)農(nóng)村的6名2周歲男嬰的身高、胸圍、上半臂圍進行測量，得樣本數(shù)據(jù)如表所示。根據(jù)以往資料，該地區(qū)城市2周歲男嬰的這三個指標的均值μ0=(90,58,16)′，現(xiàn)欲在多元正態(tài)性假定下檢驗該地區(qū)農(nóng)村男嬰是否與城市男嬰有相同的均值。這是假設檢驗問題：H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0表4.2.1 某地區(qū)農(nóng)村男嬰的體格測量數(shù)據(jù)編

號身高(cm)胸圍(cm)上半臂圍(cm)17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0目前五頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點

查表得F0.01(3,3)=29.5，于是

故在顯著性水平α=0.01下，拒絕原假設H0，即認為農(nóng)村與城市的2周歲男嬰上述三個指標的均值有顯著差異(p=0.002)。目前六頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點二、置信區(qū)域目前七頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點μ的置信度為1?α的置信區(qū)域為當p=1時，它是一個區(qū)間；當p=2時，它是一個橢圓，這時可將其在坐標平面上畫出；當p=3時，它是一個橢球；當p＞3時，它是一個超橢球；它們均以為中心。同置信區(qū)間與假設檢驗的關系一樣，置信區(qū)域與假設檢驗之間也有著同樣的密切關系。一般來說，μ0包含在上述置信區(qū)域內(nèi)，當且僅當原假設H0：μ=μ0在顯著性水平α下被接受。因此，可以通過構(gòu)造的置信區(qū)域的方法來進行假設檢驗。目前八頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點三、聯(lián)合置信區(qū)間

即

以1?α的概率對一切a∈Rp成立，稱它為一切線性組合｛a′μ，a∈Rp｝的置信度為1?α的聯(lián)合置信區(qū)間（simultaneousconfidenceintervals）。對k個線性組合｛ai′μ，i=1,2,?,k｝，有目前九頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點當k很小時，聯(lián)合T2置信區(qū)間

的置信度一般會明顯地大于1?α，因而上述區(qū)間會顯得過寬，即精確度明顯偏低。這時，我們可以考慮采用邦弗倫尼

（Bonferroni）聯(lián)合置信區(qū)間：

它的置信度至少為1?α。若tα/2k(n?1)≤Tα，則邦弗倫尼區(qū)間比T2區(qū)間要窄，這時宜采用前者作為聯(lián)合置信區(qū)間；反之，若tα/2k(n?1)>Tα，則邦弗倫尼區(qū)間比T2

區(qū)間寬，宜采用后者作為聯(lián)合置信區(qū)間。當k=p時，邦弗倫尼區(qū)間要比T2

區(qū)間窄。故在求μ的所有p個分量μ1,μ2,?,μp的聯(lián)合置信區(qū)間時，應采用邦弗倫尼區(qū)間。目前十頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點例6.2.2為評估某職業(yè)培訓中心的教學效果，隨機抽取8名受訓者，進行甲和乙兩個項目的測試，其數(shù)據(jù)列于表。假定x=(x1,x2)′服從二元正態(tài)分布。n=8,p=2，取1?α=0.90，F(xiàn)0.10(2,6)=3.46，于是，T0.10=2.841。表4.2.2 兩個項目的測試成績編

號12345678甲項成績x16280668475805479乙項成績x27077758787916184目前十一頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點μ的0.90置信區(qū)域為

即 0.0436×(μ1?72.5)2?0.0812×(μ1?72.5)(μ2?79) +0.0475×(μ2?79)2≤1.009

這是一個橢圓區(qū)域。μ1和μ2的0.90聯(lián)合T2置信區(qū)間為

即61.84≤μ1≤83.16，68.80≤μ2≤89.20

這兩個區(qū)間分別正是橢圓在μ1軸和μ2軸上的投影。目前十二頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點μ1和μ2的0.90邦弗倫尼聯(lián)合置信區(qū)間為（t0.025(7)= 2.3646）

即63.63≤μ1≤81.37，70.51≤μ2≤87.49這個聯(lián)合置信區(qū)間在精確度方面要好于T2聯(lián)合置信區(qū)間。由該聯(lián)合置信區(qū)間可得到置信度至少為0.90的矩形置信區(qū)域（見圖中的實線矩形），但其矩形面積要大于橢圓面積。目前十三頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點圖4.2.1置信橢圓和聯(lián)合置信區(qū)間目前十四頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點利用置信區(qū)域進行假設檢驗在例中，如果在α=0.10下對假設

H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0進行檢驗，其中μ=(μ1,μ2)′，μ0=(μ01,μ02)′，則我們?nèi)菀桌脠D中的橢圓得出檢驗的結(jié)果。若被檢驗值μ0位于圖中的橢圓外，則拒絕；反之，則接受。圖中的虛線矩形在μ1和μ2軸上的區(qū)間范圍分別是μ1和μ2的0.90置信區(qū)間。當μ0位于橢圓外虛線矩形內(nèi)的位置（如圖中A點）時，檢驗結(jié)果雖拒絕H0，但如在α=0.10下分別檢驗H01：μ1=μ01，H11：μ1≠μ01和H02：μ2=μ02，H12：μ2≠μ02

則檢驗結(jié)果都將接受原假設；當μ0位于橢圓內(nèi)虛線矩形外的位置（如圖中B點）時，檢驗結(jié)果雖接受H0，但H01：μ1=μ01和H02：μ2=μ02都將會被拒絕。目前十五頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點§6.3單個總體均值分量間

結(jié)構(gòu)關系的檢驗設x1,x2,?,xn是取自多元正態(tài)總體Np(μ,Σ)的一個樣本，Σ>0，n>p，欲檢驗H0：Cμ=φ，H1：Cμ≠φ

其中C為一已知的k×p矩陣，k＜p,rank(C)=k，φ為已知的k維向量。根據(jù)多元正態(tài)分布的性質(zhì)知Cx~Nk(Cμ,CΣC′)

由于目前十六頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點

故CΣC′>0。故我們可以用上一節(jié)檢驗假設H0：μ=μ0的方法來檢驗上述假設。檢驗統(tǒng)計量為

當原假設H0：Cμ=φ為真時，

對于給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：

若

，則拒絕H0

其中

。特別地，若欲檢驗H0：Cμ=0，H1：Cμ≠0

則T2可簡化為

目前十七頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點例6.3.1設x~Np(μ,Σ)，μ=(μ1,μ2,?,μp)′，Σ>0，x1,x2,?,xn是取自該總體的一個樣本，欲檢驗H0：μ1=μ2=?=μp，H1：μi≠μj,至少存在一對i≠j

令

則上面的假設可表達為H0：Cμ=0，H1：Cμ≠0

檢驗統(tǒng)計量為目前十八頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點

對于給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：

若

，則拒絕H0

其中由于C是行滿秩的，且每行均為對比向量（即有一個1和一個?1，其余皆為0），故稱C為對比矩陣。該例中對比矩陣C的選擇不是惟一的，比如也可以選取對比矩陣為目前十九頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點例6.3.2在例中，假定人類有這樣一個一般規(guī)律：身高、胸圍和上半臂圍的平均尺寸比例為6:4:1，我們希望檢驗表中的數(shù)據(jù)是否符合這一規(guī)律，也就是欲檢驗H0：μ1/6=μ2/4=μ3，H1：μ1/6,μ2/4,μ3至少有兩個不等

令

則上面假設可表達為H0：Cμ=0，H1：Cμ≠0

經(jīng)計算

從而目前二十頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點

故

又因

所以拒絕原假設H0，即認為這組數(shù)據(jù)與人類的一般規(guī)律不一致(p=0.008)。上述的C也可以選擇為

檢驗的結(jié)果是不變的。目前二十一頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點§6.4兩個總體均值的比較推斷一、兩個獨立樣本的情形二、成對試驗的T2統(tǒng)計量目前二十二頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點一、兩個獨立樣本的情形設從兩個總體Np(μ1,Σ)和Np(μ2,Σ)中各自獨立地抽取一個樣本

和

，Σ>0，欲檢驗H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2 μ1,μ2的無偏估計

Σ的聯(lián)合無偏估計

其中目前二十三頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點

為兩個樣本協(xié)方差矩陣。

霍特林T2檢驗統(tǒng)計量

當原假設H0為真時，

對給定的α，拒絕規(guī)則為：若

，則拒絕H0

其中目前二十四頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點在實際應用中，一旦H0：μ1=μ2被拒絕了，則可以考慮對所有的i(1≤i≤p)，在相同的顯著性水平下再進一步檢驗H0i：μ1i=μ2i，以判斷是否有分量及（若有）具體是哪些分量對拒絕H0：μ1=μ2起了較大作用，這樣做常常是有益的。｛a′(μ1?μ2)，a∈Rp｝的1?α聯(lián)合置信區(qū)間為當k很小時，可采用邦弗倫尼不等式給出｛ai′(μ1?μ2)，i=1,2,?,k｝的1?α聯(lián)合置信區(qū)間目前二十五頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點例6.4.1(例續(xù))表給出了相應于表的9名2周歲女嬰的數(shù)據(jù)。我們欲在多元正態(tài)性假定下檢驗2周歲的男嬰與女嬰的均值向量有無顯著差異。表4.4.1 某地區(qū)農(nóng)村女嬰的體格測量數(shù)據(jù)編

號身高(cm)胸圍(cm)上半臂圍(cm)18058.414.027559.215.037860.315.047557.413.057959.514.067858.114.577558.012.586455.511.098059.212.5目前二十六頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點從例得

從表計算得目前二十七頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點

所以

因

，故不能拒絕原假設H0，即認為兩個均值向量無顯著差異(p=0.27)。目前二十八頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點二、成對試驗的T2統(tǒng)計量設(xi,yi)，i=1,2,?,n(n>p)是成對試驗的數(shù)據(jù)，令di=xi?yi，i=1,2,?,n

又設d1,d2,?,dn獨立同分布于Np(δ,Σ)，其中Σ>0，δ=μ1?μ2，μ1和μ2分別是總體x和總體y的均值向量。希望檢驗H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2

等價于H0：δ=0，H1：δ≠0

這樣，兩個總體的均值比較檢驗問題就可以化為一個總體的情形。檢驗統(tǒng)計量為目前二十九頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點

其中

當原假設H0：δ=0為真時，統(tǒng)計量

對給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：若

，則拒絕H0

其中目前三十頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點§6.5兩個總體均值分量間

結(jié)構(gòu)關系的檢驗設兩個獨立的樣本

和

分別取自總體Np(μ1,Σ)和總體Np(μ2,Σ)，Σ>0，n1+n2?2≥p，我們希望檢驗H0：C(μ1?μ2)=φ，H1：C(μ1?μ2)≠φ

其中C為一已知的k×p矩陣，k＜p,rank(C)=k，φ為一已知的k維向量。檢驗統(tǒng)計量為

其中Sp是Σ的聯(lián)合無偏估計。當原假設H0為真時，目前三十一頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點拒絕規(guī)則為：若

，則拒絕H0其中例4.5.1某種產(chǎn)品有甲、乙兩種品牌，從甲產(chǎn)品批和乙產(chǎn)品批中分別隨機地抽取5個樣品，測量相同的5個指標，數(shù)據(jù)列于表。在多元正態(tài)性假定下，試問甲、乙兩種品牌產(chǎn)品的每個指標間的差異是否有顯著的不同。該題就是要檢驗H0：C(μ乙?μ甲)=0，H1：C(μ乙?μ甲)≠0

其中目前三十二頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點表4.5.1 甲、乙兩種品牌產(chǎn)品的指標值指標12345樣品甲111181518152332731211732028272319418261818952223221610均

值20.824.422.619.214.0乙1181720181823124312620314161720174252431261853628242629均

值24.821.824.623.220.4目前三十三頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點

檢驗統(tǒng)計量為

經(jīng)計算目前三十四頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點目前三十五頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點

所以

由于

，所以在α=0.05下拒絕原假設H0(p=0.044)。目前三十六頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點§6.6多個總體均值的比較檢驗

（多元方差分析）設有k個總體π1,π2,?,πk，它們的分布分別是Np(μ1,Σ),Np(μ2,Σ), ?,Np(μk,Σ)，今從這k個總體中各自獨立地抽取一個樣本，取自總體πi的樣本為

，i=1,2,?,k?，F(xiàn)欲檢驗H0：μ1=μ2=?=μk，H1：μi≠μj,至少存在一對i≠j

記目前三十七頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點

則SST=SSE+SSTR

稱SST、SSE和SSTR分別為總平方和及交叉乘積和、誤差(或組內(nèi))平方和及交叉乘積和和處理(或組間)平方和及交叉乘積和，它們分別具有自由度(n?1)、(n?k)和(k?1)。采用似然比方法可以得到威爾克斯（Wilks）Λ統(tǒng)計量

對給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：若Λp,k?1,n?k≤Λp,k?1,n?k,α，則拒絕H0

其中臨界值Λp,k?1,n?k,α滿足：當原假設H0為真時，P(Λp,k?1,n?k≤Λp,k?1,n?k,α)=α Λp,m,r,α常通過查F分布(或卡方分布)表得到(或近似得到)。目前三十八頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點例6.6.1為了研究銷售方式對商品銷售額的影響，選擇四種商品（甲、乙、丙和?。┌慈N不同的銷售方式（Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ）進行銷售。這四種商品的銷售額分別為x1,x2,x3,x4,其數(shù)據(jù)見表。表4.6.1 銷售額數(shù)據(jù)編

號銷售方式Ⅰ銷售方式Ⅱ銷售方式Ⅲx1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x41125603382106654455310653348026021198023333082454032101003446829536351260203656531228065634162654655142915040514772801174846825051306540320567544812931146339538066945350190385046821055305462357466058520042453511906451507320目前三十九頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點8146662732501134039031011090442225987545852408055520200606244024810110775072707660507189110693772601110760364200943326028088782993601213061391200605142919073633903201380454292705540390295114554942401460504421906548481177103544163101581542602806948442225100332733121613587507260125633122701406131234517574840028512056416280803628625018755252026070454683701355446834519766540325062664162241306932536020554241117069603772806057273260目前四十頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點該題中，我們需要檢驗H0：μ1=μ2=μ3，H1：μ1,μ2,μ3中至少有兩個不相等

其中μ1,μ2,μ3分別為銷售方式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的總體均值向量。假定這三個總體均為多元正態(tài)總體，且它們的協(xié)差陣相同。p=4，k=3，n1=n2=n3=20，n=n1+n2+n3=60

目前四十一頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點目前四十二頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點

于是

由附錄4?3中的(4?3.4)式可得

查F分布表得，F(xiàn)0.01(8,108)=2.68＜3.039，從而在α=0.01的水平下拒絕原假設H0，因此可認為三種銷售方式的銷售額有十分顯著的差異(p=0.004)。目前四十三頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點為了解這三種銷售方式的顯著差異究竟是由哪些商品引起的，我們對這四種商品分別用一元方差分析方法進行檢驗分析。利用SSTR和SSE這兩個矩陣對角線上的元素有

查表得，F(xiàn)0.05(2,57)=3.16，F(xiàn)0.01(2,57)=5.01，故甲商品有顯著差異(p=0.041)，丁商品有十分顯著的差異(p=0.001),而乙和丙商品無顯著差異(p=0.208和p=0.848)。目前四十四頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點如果剔除丁商品，然后再對其他三種商品用Λ統(tǒng)計量進行檢驗，則有

F0.05(6,110)=2.18>1.328，不顯著，因此說明對甲、乙、丙這三種商品，銷售方式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的總體均值向量之間無顯著差異(p=0.251)。目前四十五頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點上面我們論述了多個遵從多元正態(tài)分布的總體的均值比較問題，在實際研究中，人們常常需要對來自兩正態(tài)總體的樣本做更細致的分析。比如，比較兩總體各個指標之間變動的幅度是否相等，進一步，如果兩總體各指標之間的變量幅度相等，比較兩總體的均值是否相等，更進一步，當通過了兩總體均值相等的假設之后，檢驗兩總體各個指標的取值是否相等。統(tǒng)計學家將對這類問題的解決方法歸結(jié)為本節(jié)所講的形象分析（ProfileAnalysis）。形象分析廣泛地用于實驗設計數(shù)據(jù)的檢驗，同時，也可應用于其他領域?qū)Χ鄠€指標的比較研究。本節(jié)主要講述形象分析的基本思想，分析過程及用SPSS軟件進行形象分析的方法。2023/5/1746

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§6.6形象分析目前四十六頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點2023/5/1747

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§2.3.1形象分析的基本思想形象（profile）又稱輪廓圖，是將總體樣本的均值繪制到同一坐標軸里所得的折線圖，每一個指標都表示為折線圖上的一點，若總體有個指標，則其形象即由坐標軸里個點連接而成。注意這里的個指標必須是同類可比指標，否則不能畫到一個坐標里面。形象分析即是將兩（多）總體的形象繪制到同一坐標下，根據(jù)形象（輪廓圖）的形狀對總體的均值進行比較分析。設我們要對A、B兩個多元正態(tài)總體（方差相等）的個同類指標作比較，分別從兩總體隨機抽取、個樣本，將樣本均值作圖得到如圖2-1所示的形象：目前四十七頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點2023/5/1748

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§2.3.1形象分析的基本思想由上面的輪廓圖可以清楚地看到，兩總體的形象大體平行，也就是說，個指標的變動幅度大致相等，是否如此還須得到統(tǒng)計檢驗才能下結(jié)論。圖2-1兩總體的形象圖目前四十八頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點2023/5/1749

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§2.3.1形象分析的基本思想進一步，若兩總體形象平行的假設被接受，我們還想知道兩總體的形象是否重合，即兩總體均值是否相等。更進一步，若兩總體均值相等，那么兩總體的形象是否水平，即這個指標之間是否有顯著差異呢？形象分析就是針對這些問題，借助于方差分析的思想，依次提出兩總體形象平行、重合、水平的假設，然后選擇合適的統(tǒng)計量對這三個假設進行檢驗的分析。目前四十九頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點2023/5/1750

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§2.3.2形象分析的基本理論設均值向量，,均值向量,則針對上面的問題，相應的假設的形式與檢驗統(tǒng)計量如下所述：1.兩總體形象平行的假設與檢驗統(tǒng)計量：(2.23)目前五十頁\總數(shù)五十六頁\編于十八點2023/5/1751

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§2.3.2