2022-2023學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市祁東縣白地市中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市祁東縣白地市中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A當(dāng)時(shí),,所以.令,得,設(shè)，所以在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),有一個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)或時(shí),無(wú)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),,所以.令,因?yàn)椴皇菢O值點(diǎn),所以,記.因?yàn)?所以在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),有一個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),無(wú)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn).綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選A．2.把五個(gè)標(biāo)號(hào)為1到5的小球全部放入標(biāo)號(hào)為1到4的四個(gè)盒子中，并且不許有空盒，那么任意一個(gè)小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號(hào)的盒子中的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】由題意可以分兩類，第一類第5球獨(dú)占一盒，第二類，第5球不獨(dú)占一盒，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到答案．【解答】解：第一類，第5球獨(dú)占一盒，則有4種選擇；如第5球獨(dú)占第一盒，則剩下的三盒，先把第1球放旁邊，就是2，3，4球放入2，3，4盒的錯(cuò)位排列，有2種選擇，再把第1球分別放入2，3，4盒，有3種可能選擇，于是此時(shí)有2×3=6種選擇；如第1球獨(dú)占一盒，有3種選擇，剩下的2，3，4球放入兩盒有2種選擇，此時(shí)有2×3=6種選擇，得到第5球獨(dú)占一盒的選擇有4×（6+6）=48種，第二類，第5球不獨(dú)占一盒，先放1﹣4號(hào)球，4個(gè)球的全不對(duì)應(yīng)排列數(shù)是9；第二步放5號(hào)球：有4種選擇；9×4=36，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，不同的方法有36+48=84種．而將五球放到4盒共有×=240種不同的辦法，故任意一個(gè)小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號(hào)的盒子中的概率P==故選：C3.如圖，已知DE是正△ABC的中位線，沿AD將△ABC折成直二面角B﹣AD﹣C，則翻折后異面直線AB與DE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．0參考答案：A【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】空間角．【分析】以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出翻折后異面直線AB與DE所稱的余弦值．【解答】解：以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為2，則A（0，0，），B（1，0，0），D（0，0，0），E（0，，），=（1，0，﹣），=（0，，），∴cos＜＞===﹣，∴翻折后異面直線AB與DE所成角的余弦值為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則的值為（

）A． B． C． D．參考答案：A5.已知U＝{y|y＝log2x，x＞1}，P＝{y|y＝，x＞2}，則?UP＝()A.[，＋∞)

B.(0，)

C.(0，＋∞)

D.(－∞，0]∪[，＋∞)參考答案：A6.設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x﹣1，則不等式f（x）＜0的解集為（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，然后解不等式即可．【解答】解：設(shè)x＜0，則﹣x＞0，∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x﹣1，∴f（﹣x）=﹣x﹣1，∴f（x）=﹣f（x）=x+1，x＜0．圖象如圖所示，則不等式f（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（0，1），故選A．7.已知函數(shù)（其中）的圖象如右圖所示，則函數(shù)的圖象是（

）參考答案：A8.平面直角坐標(biāo)系中，在由x軸、x=、x=和y=2所圍成的矩形中任取一點(diǎn)，滿足不等關(guān)系y≤1﹣sin3x的概率是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】以面積為測(cè)度，求出相應(yīng)區(qū)域的面積，即可求出概率．【解答】解：由x軸、x=、x=和y=2所圍成的矩形的面積為2×=．利用割補(bǔ)法，可得滿足不等關(guān)系y≤1﹣sin3x且在矩形內(nèi)部的區(qū)域面積為=，∴所求概率為，故選D．9.已知函數(shù)，對(duì)任意，，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由題意將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)結(jié)合題意確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可．【詳解】由題意可知函數(shù)f（x）是（﹣∞，0）上的單調(diào)遞減函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，，，可得：2axex+1≥0，即恒成立，令g（x）＝xex（x＜0），則g'（x）＝ex（x+1），據(jù)此可得函數(shù)g（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（﹣1，0）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）的最小值為，則，可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值，恒成立問(wèn)題的處理方法等知識(shí)，屬于中檔題．10.如圖，正六邊形ABCDEF中，

(

)A．

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________。參考答案：略12.若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)、與點(diǎn)、，則三角形面積之比為：.若從點(diǎn)O所作的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點(diǎn)、與點(diǎn)、和、，則類似的結(jié)論為：

.參考答案：略13.已知點(diǎn)、分別為的重心（三條中線的交點(diǎn)）、垂心（三條高所在直線的交點(diǎn)），若，則的值為

．參考答案：．另解：注意到題中的形狀不確定，因此可取特殊情形，則點(diǎn)即為點(diǎn)，由此可迅速得到答案.14.設(shè)A、B分別是橢圓(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且異于A、B兩點(diǎn)，若直線AP與BP的斜率之積為﹣，則C的離心率為_(kāi)_________.參考答案：略15.已知雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線PF1與圓x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，則該雙曲線的離心率e是

．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)直線PF1與圓x2+y2=a2相切于點(diǎn)M，取PF1的中點(diǎn)N，連接NF2，由切線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一，運(yùn)用中位線定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由雙曲線的定義和a，b，c的關(guān)系及離心率公式，計(jì)算即可得到．【解答】解：設(shè)直線PF1與圓x2+y2=a2相切于點(diǎn)M，則|OM|=a，OM⊥PF1，取PF1的中點(diǎn)N，連接NF2，由于|PF2|=|F1F2|=2c，則NF2⊥PF1，|NP|=|NF1|，由|NF2|=2|OM|=2a，則|NP|=2b，即有|PF1|=4b，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a，即2b=c+a，4b2=（c+a）2，即4（c2﹣a2）=（c+a）2，4（c﹣a）=c+a，即3c=5a，則e=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，運(yùn)用中位線定理和雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵．16.下列命題“①②；③函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)?！敝?，真命題的個(gè)數(shù)是_______參考答案：117.函數(shù)的定義域?yàn)椤?/p>

.參考答案：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分10分）

已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的值。參考答案：19.（本小題滿分13分）某市某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面．該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測(cè)量可知邊界AB＝AD＝4萬(wàn)米，BC＝6萬(wàn)米，CD＝2萬(wàn)米．(1)請(qǐng)計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；

(2)因地理?xiàng)l件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請(qǐng)?jiān)趫A弧ABC上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P；使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．

參考答案：解：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，連接AC，由余弦定理：AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC＝42＋22－2×2×4cos∠ADC.所以cos∠ABC＝，∵∠ABC∈(0，π)，故∠ABC＝60°.S四邊形ABCD＝×4×6×sin60°＋×2×4×sin120°＝8(萬(wàn)平方米)．…………3分在△ABC中，由余弦定理：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC∴R＝(萬(wàn)米)………………7分(2)∵S四邊形APCD＝S△ADC＋S△APC，又S△ADC＝AD·CD·sin120°＝2，設(shè)AP＝x，CP＝y(tǒng).則S△APC＝xy·sin60°＝xy.……………9分又由余弦定理AC2＝x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝28.∴x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy.∴xy≤28，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)……11分∴S四邊形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9，∴最大面積為9萬(wàn)平方米．………………13分

略20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，.猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(Ⅱ)證明：。參考答案：解析:證（1）由由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證命題成立

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即易知，那么

=即也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立（2）當(dāng)n=1時(shí)，，結(jié)論成立當(dāng)時(shí)，易知

21.（本小題滿分12分）設(shè),滿足

.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)三內(nèi)角所對(duì)邊分別為且，求在

上的值域．參考答案：解（Ⅰ）(1)的單調(diào)減區(qū)間為………6分

(2),由余弦定理可變形為，由正弦定理為

………12分略22.在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為，其中a為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)B為圓C上一點(diǎn)，且B點(diǎn)的極坐標(biāo)為，射線OB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)