2022年河北省滄州市第六外國(guó)語高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022年河北省滄州市第六外國(guó)語高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，則A∩（?UB）=（） A． {4，5} B． {2，4，5，7} C． {1，6} D． {3}參考答案：A考點(diǎn)： 補(bǔ)集及其運(yùn)算；交集及其運(yùn)算．專題： 計(jì)算題．分析： 根據(jù)補(bǔ)集的定義求得CUB，再根據(jù)兩個(gè)集合的交集的定義求出A∩（CUB）．解答： CUB={2，4，5，7}，A∩（CUB）={3，4，5}∩{2，4，5，7}={4，5}，故選A．點(diǎn)評(píng)： 笨題主要考查集合的表示方法、集合的補(bǔ)集，兩個(gè)集合的交集的定義和求法，求出CUB是解題的關(guān)鍵．2.直線x=的傾斜角是（）A．0° B．60° C．90° D．120°參考答案：C【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【分析】直接通過直線方程，求出直線的傾斜角即可．【解答】解：因?yàn)橹本€方程為x=，直線與x軸垂直，所以直線的傾斜角為90°．故選：C．3.甲、乙兩人在3次測(cè)評(píng)中的成績(jī)由莖葉圖表示（均為整數(shù)），其中有一個(gè)數(shù)字無法看清，現(xiàn)用字母a代替，則甲的平均成績(jī)超過乙的平均成績(jī)的概率為（）A．B．C．D．參考答案：C略4.若a、b、c為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是

（

）A．若a＞b，則ac2＞bc2

B．若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，則

D．若a＜b＜0，則參考答案：B5.已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是（）Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.參考答案：B略6.設(shè)A=｛x|x-2a=0｝,B=｛x|ax-2=0｝,且A∩B=B,則實(shí)數(shù)a的值為﹙

﹚A.1

B.-1

C.1或-1

D.1,-1或0參考答案：D7.下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是（

）A.{x|x=1}

B.

C.{1}

D.參考答案：B略8.古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，……叫做三角數(shù)，它有一定的規(guī)律性，第30個(gè)三角數(shù)與第28個(gè)三角數(shù)的差為（

）A.

20

B.29

C.30

D.59參考答案：D9.下列圖象表示函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素；函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可知：對(duì)于x的任何值y都有唯一的值與之相對(duì)應(yīng)．緊扣概念，分析圖象．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)任意的一個(gè)x都存在唯一的y與之對(duì)應(yīng)而A、B、D都是一對(duì)多，只有C是多對(duì)一．故選C10.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M，可得圓心M為正方體上底面正方形的中心．設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于（R﹣2）cm，而圓M的半徑為4，由球的截面圓性質(zhì)建立關(guān)于R的方程并解出R=5，用球的體積公式即可算出該球的體積．【解答】解：設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M，則圓心M為正方體上底面正方形的中心．如圖．設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于（R﹣2）cm，而圓M的半徑為4，由球的截面圓性質(zhì)，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根據(jù)球的體積公式，該球的體積V===．故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有兩點(diǎn)到直線2x＋y＋c＝0(c＞0)的距離等于1，則c的取值范圍為________．參考答案：12.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（3，﹣1），B（﹣1，1），C（1，3），則由△ABC圍成的區(qū)域所表示的二元一次不等式組為_________．參考答案：13.若x，y滿足約束條件則的最大值為_______________.參考答案：12.【分析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，平行移動(dòng)直線，在平面區(qū)域內(nèi)找到使得直線在縱軸上的截距最大時(shí)所經(jīng)過的點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中,求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示；

平行移動(dòng)直線，當(dāng)平移到點(diǎn)時(shí)，直線在縱軸上的截距最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組：，目標(biāo)函數(shù)最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了求目標(biāo)函數(shù)的最值問題，正確畫出不等式組表示的平面區(qū)域是解題的關(guān)鍵.14.（5分）已知向量，且，則λ=

．參考答案：考點(diǎn)： 平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．專題： 計(jì)算題．分析： 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出的坐標(biāo)，利用向量共線的充要條件列出關(guān)于λ的方程，解方程求出值即可．解答： 因?yàn)橄蛄?，所以，因?yàn)樗?λ﹣1=4（﹣1﹣λ）解得故答案為點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量與共線向量，其中根據(jù)兩個(gè)向量平行的充要條件，構(gòu)造關(guān)于x的方程，是解答本題的關(guān)鍵．15.已知扇形AOB的周長(zhǎng)是6，中心角是2弧度，則該扇形的面積為．參考答案：【考點(diǎn)】G8：扇形面積公式．【分析】由已知中，扇形AOB的周長(zhǎng)是6cm，該扇形的中心角是2弧度，我們可設(shè)計(jì)算出弧長(zhǎng)與半徑的關(guān)系，進(jìn)而求出弧長(zhǎng)和半徑，代入扇形面積公式，即可得到答案【解答】解：∵扇形圓心角2弧度，可得扇形周長(zhǎng)和面積為整個(gè)圓的．弧長(zhǎng)l=2πr?=2r，故扇形周長(zhǎng)C=l+2r=4r=6，∴r=，扇形面積S=π?r2?=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是扇形面積公式，弧長(zhǎng)公式，其中根據(jù)已知條件，求出扇形的弧長(zhǎng)及半徑，是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16.已知圓O為正△ABC的內(nèi)切圓，向△ABC內(nèi)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在圓O內(nèi)的概率是．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】求出正三角形的面積與其內(nèi)切圓的面積，利用幾何概型的概率公式即可求出對(duì)應(yīng)的概率．【解答】解：∵正三角形邊長(zhǎng)為a，∴該正三角形的面積S正三角形=a2其內(nèi)切圓半徑為r=×a=a，內(nèi)切圓面積為S內(nèi)切圓=πr2=a2；∴點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為P===．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概型的計(jì)算問題，求出對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積是解決本題的關(guān)鍵．17.平面點(diǎn)集，用列舉法表示

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知α，β∈（0，π），并且sin（5π﹣α）=cos（π+β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β），求α，β的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知可得sinα=sinβ，cosα=cosβ，將兩式平方后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解得或，結(jié)合角的范圍即可得解α，β的值．【解答】解：∵由sin（5π﹣α）=cos（π+β），可得：sinα=sinβ，兩邊平方可得：sin2α=2sin2β，①由cos（﹣α）=﹣cos（π+β），可得：cosα=cosβ，兩邊平方可得：3cos2α=2cos2β，②∴①+②可得：sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2，又∵sin2α+cos2α=1，∴解得：cos2α=，即：或，∵α，β∈（0，π），∴解得或．19.（本小題滿分12分）已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，設(shè)向量，，． （1）若∥，試判斷△ABC的形狀并證明； （2）若⊥，邊長(zhǎng)，∠C=，求△ABC的面積．

參考答案：解：（1）ABC為等腰三角形； 證明：∵=（a，b），（sinB，sinA），∥， ∴，

…………2分即=，其中R是△ABC外接圓半徑， ∴

∴△ABC為等腰三角形

…………4分（2）∵，由題意⊥，∴

………6分由余弦定理可知，4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab

………8分即（ab）2﹣3ab﹣4=0，∴ab=4或ab=﹣1（舍去）

………10分∴S=absinC=×4×sin=．

………12分

20.已知直線l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．（1）求證：直線l恒過定點(diǎn)；（2）當(dāng)m變化時(shí)，求點(diǎn)P（3，1）到直線l的距離的最大值；（3）若直線l分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程．參考答案：【分析】（1）直線l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．化為：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令，解出即可得出直線l經(jīng)過定點(diǎn)．（2）當(dāng)m變化時(shí)，PQ⊥直線l時(shí)，點(diǎn)P（3，1）到直線l的距離的最大．（3）由于直線l經(jīng)過定點(diǎn)Q（﹣1，﹣2）．直線l的斜率k存在且k≠0，因此可設(shè)直線l的方程為y+2=k（x+1），可得與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A（，0），B（0，k﹣2）兩點(diǎn)，＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．可得S△OAB=××（2﹣k）=，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】（1）證明：直線l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．化為：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令，解得，則直線l經(jīng)過定點(diǎn)Q（﹣1，﹣2）．（2）解：當(dāng)m變化時(shí)，PQ⊥直線l時(shí)，點(diǎn)P（3，1）到直線l的距離的最大==5．（3）解：由于直線l經(jīng)過定點(diǎn)Q（﹣1，﹣2）．直線l的斜率k存在且k≠0，因此可設(shè)直線l的方程為y+2=k（x+1），可得與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A（，0），B（0，k﹣2）兩點(diǎn)，＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．∴∴S△OAB=××（2﹣k）=≥2+=4，當(dāng)且僅當(dāng)k=﹣2時(shí)取等號(hào)．此時(shí)直線l的方程為：y+2=﹣2（x+1），化為：2x+y+4=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線系、點(diǎn)斜式、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意，都有，則稱在區(qū)間I上函數(shù)的圖象位于函數(shù)圖象的上方.(1)已知求證：在上，函數(shù)的圖象位于的圖象的上方；(2)若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象位于函數(shù)圖象的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：(1)對(duì)任意， ∵∴，∴∴ ∴在上，函數(shù)的圖象位于的圖象的上方；

(2)由題設(shè)知，對(duì)任意，總成立.即：在上恒成立. 令，則，記，

而在上是減函數(shù)，在上也是減函數(shù)∴函數(shù)在上是減函數(shù) 所以在的最大值為∴所求實(shí)數(shù)的取值范圍象是 略22.養(yǎng)路處建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12m，高4m.養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多食鹽.現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑比原來大4m（高不變）；二是高度增加4m（底面直徑不變）.（1）