2022-2023學年湖南省湘潭市湘鋁廠職工子弟學校高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析

2022-2023學年湖南省湘潭市湘鋁廠職工子弟學校高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，則9x+3y的最小值為（）A．2 B． C．6 D．9參考答案：C【考點】7F：基本不等式；9T：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【分析】由于⊥?=0，即可得出x，y的關系，再利用基本不等式即可得出9x+3y的最小值．【解答】解：∵⊥，∴（x﹣1，2）?（4，y）=0，化為4（x﹣1）+2y=0，即2x+y=2．∴9x+3y≥===6，當且僅當2x=y=1時取等號．故選C．【點評】本題考查了⊥?=0、基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎題．2.已知在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)，則不等式的解集為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C略3.若雙曲線的左、右焦點分別為，線段被拋物線的焦點分成7：3的兩段，則此雙曲線的離心率為

A.

B.

C.

D.參考答案：B4.如圖，網(wǎng)格線上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，其正視圖，側視圖均為等邊三角形，則該幾何體的體積為A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知點在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．[－5,1]參考答案：C作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由，解得，且點，又因為點在不等式組的平面區(qū)域內(nèi)，所以實數(shù)的取值范圍是，故選C．

6.函數(shù)在定義域R內(nèi)可導，若，若則的大小關系是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.已知函數(shù)，其圖象相鄰的兩條對稱軸方程為與，則A．的最小正周期為，且在上為單調(diào)遞增函數(shù)B．的最小正周期為，且在上為單調(diào)遞減函數(shù)C．的最小正周期為，

且在上為單調(diào)遞增函數(shù)D．的最小正周期為，

且在上為單調(diào)遞減函數(shù)參考答案：C略8.如圖，設點是單位圓上的一定點，動點從點出發(fā)在圓上按逆時針方向旋轉一周，點所旋轉過的弧AP的長為，弦的長為，則函數(shù)的圖象大致是（

）

．參考答案：C略9.已知平面向量，，，則下列說法中錯誤的是(

)A．∥

B．

C．對同一平面內(nèi)的任意向量，都存在一對實數(shù)，使得D．向量與向量的夾角為參考答案：C

10.已知實數(shù)x∈[1，10]，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不大于63的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】EF：程序框圖．【分析】由框圖的流程依次計算程序運行的結果，直到不滿足條件，計算輸出x的值，根據(jù)框圖的運算結果求出當輸入x∈[1，10]時，輸出x的集合，并確定數(shù)集的長度，再求出輸出x不大于63的數(shù)集的長度，利用長度之比求概率．【解答】解：設實數(shù)x∈[1，10]，經(jīng)過第一次循環(huán)得到x=2x+1，n=2經(jīng)過第二循環(huán)得到x=2（2x+1）+1，n=3經(jīng)過第三次循環(huán)得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此時輸出x輸出的值為8x+7，∴當輸入x∈[1，10]時，輸出x∈[15，87]，數(shù)集的長度為72；輸出x不大于63，則x∈[15，63]，數(shù)集的長度為48．∴輸出的x不大于63的概率為=．故選：D．【點評】本題考查了循環(huán)結構的程序框圖，考查了幾何概型的概率計算，根據(jù)框圖的流程依次計算程序運行的結果是解答此類問題的常用方法，求得輸出x所在數(shù)集的長度是關鍵，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.,,若對應點在第二象限,則m的取值范圍為

▲

．參考答案：12.設，則

．參考答案：5由題易知：令，可得∴＝5故答案為：5

13.定義：區(qū)間長度為.已知函數(shù)定義域為，值域為，則區(qū)間長度的最小值為

.參考答案：略14.已知為正實數(shù)，函數(shù)在上的最大值為，則在上的最小值為

．參考答案：略15.在R上定義運算⊙：a⊙b=ab+2a+b，則滿足x⊙（x﹣2）＜0的實數(shù)x的取值范圍為．參考答案：（﹣2，1）略16.在A，B兩個袋中都有6張分別寫有數(shù)字0，1，2，3，4，5的卡片，現(xiàn)從每個袋中任取一張卡片，則兩張卡片上數(shù)字之和為7的概率為

．參考答案：17.等比數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列。若，則_______________。參考答案：15略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分16分）已知數(shù)列{an}滿足記數(shù)列{an}的前n項和為，（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求其通項bn；（2）求Sn；（3）問是否存在正整數(shù)n，使得成立？說明理由.參考答案：（1）因為，即，所以。（2），所以，當為奇數(shù)時，可令則，當為偶數(shù)時，可令則；（3）假設存在正整數(shù)，使得成立，因為，，所以只要即只要滿足①：，和②：，對于①只要就可以；對于②，當為奇數(shù)時，滿足，不成立，當為偶數(shù)時，滿足，即令，因為即，且當時，成立，所以當為偶數(shù)時，②式成立，即當為偶數(shù)時，成立.

19.已知函數(shù)f（x）=x﹣1+（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅲ）當a=1的值時，若直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）依題意，f′（1）=0，從而可求得a的值；（Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0時②a＞0討論，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，從而可求其極值；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，則直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點?方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解，分k＞1與k≤1討論即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，又曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．（Ⅱ）f′（x）=1﹣，①當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）為（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，所以f（x）無極值；②當a＞0時，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，故f（x）在x=lna處取到極小值，且極小值為f（lna）=lna，無極大值．綜上，當a≤0時，f（x）無極值；當a＞0時，f（x）在x=lna處取到極小值lna，無極大值．（Ⅲ）當a=1時，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，則直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點，等價于方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解．假設k＞1，此時g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，又函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不斷，由零點存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，與“方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解”矛盾，故k≤1．又k=1時，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解，所以k的最大值為1．20.（本題滿分14分）如圖,在直三棱柱中,分別是的中點，且.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.參考答案：解：(1)連結AG,交BE于點M,連結FM

……………2分∵E,G分別為棱的中點，∴四邊形ABGE為平行四邊形，∴點M為BE的中點，

……………4分而點F為AC的中點，∴FM∥CG∵面BEF,面BEF,∴；………7分(2因為三棱柱是直三棱柱，,∴A1C1⊥面BC1，而CG面BC1∴A1C1⊥CG,

….…………….………10分又∵，∴CG⊥面A1C1G由（1）知，F(xiàn)M∥CG∴FM⊥面A1C1G,

…………….…12分而面BEF,∴平面平面

..…14分21.運動健康已成為大家越來越關心的話題，某公司開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾號．手機用戶可以通過關注該公眾號查看自己每天行走的步數(shù)，同時也可以和好友進行運動量的PK和點贊．現(xiàn)從張華的好友中隨機選取40人（男、女各20人），記錄他們某一天行走的步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如表：步數(shù)性別0～20002001～50005001～80008001～10000＞10000男12476女03962

（1）若某人一天行走的步數(shù)超過8000步被評定為“積極型”，否則被評定為“懈怠型”，根據(jù)題意完成下列2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有90%的把握認為男、女的“評定類型”有差異？

積極型懈怠型總計男

女

總計

（2）在張華的這40位好友中，從該天行走的步數(shù)不超過5000步的人中隨機抽取2人，設抽取的女性有X人，求X=1時的概率．參考公式與數(shù)據(jù)：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K2=，其中n=a+b+c+d．參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）先得2×2列聯(lián)表，再根據(jù)列聯(lián)表計算K2的觀測值，并結合臨界值表可得；（2）用列舉法列舉出所有基本事件的種數(shù)以及X=1包含的基本事件，再根據(jù)古典概型的概率公式可得．【詳解】（1）由題意可得列聯(lián)表

積極型懈怠型總計男13720女81220總計2119

K2==≈2.506＜2.706，因此，沒有90%的把握認為男、女的“評定類型”有差異；（2）該天行走的步數(shù)不超過5000步的人有3男2女共6人，設男生為A、B、C，女生為a，b，c，

ABCabcA

ABACAaAbAcB

BCBaBbBcC

CaCbCca

abacb

bcc

由圖表可知：所有的基本事件個數(shù)n=15，事件“X=1”包含的基本事件個數(shù)N=9，所以P（X=1）==【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應用，考查了K2的計算，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題．22.（12分）如圖，已知在棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA1=1，F(xiàn)為棱AA1的中點，M為線段BD1的中點．（1）求證：平面D1FB⊥平面BDD1B1；（2）求三棱錐D1﹣BDF的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）由底面是菱形，證明AC⊥面BDD1B1，再證MF⊥面BDD1B1，即證平面D1FB⊥平面BDD1B1；（2）過點B作BH⊥AD于H，可證出BH⊥平面ADD1A1，從而BH是三棱錐B﹣DD1F的高，求出△DD1F的面積，計算出三棱錐D1﹣BDF的體積．【解答】解：（1）證明：∵底面是菱形，∴AC⊥BD；又∵B1B⊥面ABCD，AC?面ABCD∴AC⊥B1B，BD∩B1B=B，∴AC⊥面BDD1B1又∵MF∥AC，∴MF⊥面BDD