結構動力學知識講解

第10章結構動力學§10-0結構動力學概述§10-1動力計算的特點和動力自由度§10-2單自由度體系的自由振動§10-3單自由度體系的強迫振動§10-4兩自由度體系的振動第10章結構動力學§10-0結構動力學概述§10-1動力計算的特點和動力自由度§10-2單自由度體系的自由振動§10-3單自由度體系的強迫振動§10-4兩自由度體系的振動結構動力學概述

在結構力學I中只討論了結構在靜荷載和移動荷載作用下的分析，實際工程結構除靜荷載和移動荷載（按靜荷載處理）外，還承受另一類外界作用──動荷載。研究結構在動荷載作用下響應規(guī)律的學科稱為結構動力學。土木工程中的動力學問題——地震作用土木工程中的動力學問題——地震作用土木工程中的動力學問題——地震作用土木工程中的動力學問題——風荷載（1）1940年11月7日上午，位于美國華盛頓州剛建成四個月，主跨853米，位居當時世界第三的塔科馬海峽橋（TakomaNarrowBridge），在八級大風（風速19m/s）作用下，經過劇烈的扭曲振蕩后，橋面結構解體損毀，半跨墜落水中。

土木工程中的動力學問題——風荷載（2）顫振是彈性體在氣流中發(fā)生的不穩(wěn)定振動現象。彈性結構在均勻氣（或液）流中受到空氣（或液體）動力、彈性力和慣性力的耦合作用而發(fā)生的大幅度振動。它可使飛行器結構破壞，建筑物和橋梁倒塌。在速度較低的情況下，結構所吸取的能量會被阻尼消耗而不發(fā)生顫振，只有在速度超過某一值時，才會發(fā)生顫振。若吸取的能量正好等于消耗的能量，則結構維持等幅振動，與此狀態(tài)對應的速度稱為顫振臨界速度v（簡稱顫振速度）。當氣流速度跨越顫振速度時，振動開始發(fā)散。土木工程中的動力學問題——風-浪-流作用

瓊州海峽大橋公路橋設計方案：1500m級斜拉橋方案、3000m級懸索橋方案、3000m斜拉-懸索協作橋方案。土木工程中的動力學問題——風-浪-流作用

瓊州海峽大橋公路橋設計方案：1500m級斜拉橋方案、3000m級懸索橋方案、3000m斜拉-懸索協作橋方案。土木工程中的動力學問題——列車作用

京滬高鐵大勝關長江大橋：336m主跨是目前世界上高速鐵路橋梁的最大跨度，通行六線鐵路也是目前世界上設計荷載最大的高速鐵路橋梁，大橋設計行車速度300km/h處于世界先進水平。土木工程中的動力學問題——列車作用結構動力學的任務

提供任意給定結構在任意給定動荷載作用下進行動力響應的計算方法；確定結構固有動力特性及結構固有動力特性、動荷載和結構響應三者間的相互關系，即結構在動荷載作用下的響應規(guī)律；為結構動力可靠性設計和健康診斷提供依據。結構動力學的研究內容

結構的響應分析：已知動荷載（輸入）和結構動力特性（系統(tǒng)）求結構的響應；

結構的參數識別：已知動荷載（輸入）和結構的響應（輸出）確定結構的動力特性（系統(tǒng)）參數或數學模型，從而對結構的“健康”狀況作出評價，對所出現的問題進行診治；

荷載識別：已知結構的動力特性（系統(tǒng)）和結構的響應（輸出），求未知的動荷載（輸入）。

結構振動控制：已知動荷載（輸入）和結構動力特性（系統(tǒng)），采用控制裝置減少結構的響應。第10章結構動力學§10-0結構動力學概述§10-1動力計算的特點和動力自由度§10-2單自由度體系的自由振動§10-3單自由度體系的強迫振動§10-4兩自由度體系的振動動力計算的特點（1）“靜力荷載”是指其大小、方向和作用位置不隨時間而變化的荷載。這類荷載對結構產生的慣性力可以忽略不計，由它所引起的內力和變形都是確定的?！皠恿奢d”是指其大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。這類荷載對結構產生的慣性力不能忽略，因動力荷載將使結構產生相當大的加速度，由它所引起的內力和變形都是時間的函數。動力計算的特點（2）

嚴格地說，結構上所受荷載都是隨時間變化的，但是如果荷載隨時間變化的速度較慢，以致質量運動加速度所產生的慣性力和荷載相比小到可以忽略不計，這時仍可將其當作靜荷載進行分析計算。所謂荷載變化的快慢，或者說是否要當作動荷載處理，不僅要看荷載，而且還要看結構，因為結構的的動力特性不同，同一荷載使質量所產生的加速度（慣性力）將不一樣。動力計算的目的和內容

計算結構的動力反應：內力、位移、速度與加速度，使結構在動內力與靜內力共同作用下滿足強度和變形的要求。結構動力計算的內容：研究結構在動荷載作用下的動力反應的計算原理和方法。（1）確定動力荷載（外部因素，即干擾力）；（2）確定結構的動力特性（內部因素，如結構的自振頻率、周期、振型和阻尼等）；（3）計算動位移及其幅值；計算動內力及其幅值。結構動力計算與靜力計算的對比

兩者都是建立平衡方程，但動力計算，利用動靜法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了慣性力，考慮的是瞬間平衡，荷載、內力都是時間的函數。建立的平衡方程是微分方程?？紤]慣性力的作用是結構動力計算的最主要特征。結構的動力響應不僅與荷載的幅值及其變化規(guī)律有關，而且還與結構的動力特性有關。動力荷載分類（1）

確定性荷載──荷載的變化是時間的確定性函數。

周期荷載：隨時間作周期性變化。P(t)t簡諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）非簡諧荷載（打樁時落錘撞擊所產生的荷載）tP(t)動力錯荷載尋分類堆（2）確定冰性荷賢載──億荷載桶的變爪化是輝時間抖的確躁定性渣函數榨。沖擊并荷載：在櫻很短遞時間腸內，書荷載廣急劇決減小談或增墨加。費（如緊爆炸存荷載欄）突加荷弱載：荷載宅突然施暢加于結摔構上并盲（在一抵定長時丹間內）污保持不聰變。（左起重機帽起吊重罰物時所邪產生的攻荷載）P(t)ttrPttrPP(t)動力荷牲載分類膚（3）非確定巨性荷載摩（隨機專荷載）──直荷載澇隨時腸間的爆變化油不確缺定或餐不確拴知，半或邊煉界不娛清晰寨。這種荷睜載事先井不可預口知，以溝后也難卸再現，筍在任一宗時刻的釣荷載大瞎小為隨寇機量。唯例如由損于脈動需風和地頸震地面泛運動等惑對建筑至物產生幣的荷載畝都是隨壞機荷載棉，但對抬已發(fā)生兩（并記資錄）的陰地震作側用等荷圈載（也世稱為樣歇本），顆都是確咸定性荷禽載（在涂做結構腐試驗時虧可以重遵現這種艱地面激粥勵）。動力欄荷載拔分類山（4）動荷喪載確定不確定風荷載地震荷疫載其他無勵法確定暈變化規(guī)濁律的荷杜載周期非周期簡諧衫荷載非簡枕諧荷筍載沖擊逃荷載突加荷思載其他齊確定承規(guī)律充的動葉荷載動力僵計算語中體誦系的藍自由芝度（1）定義：在振撕動過程痕的任一況時刻，巴確定體螞系全部窗質量位恐置或變掙形狀態(tài)體所需的如獨立參誤數個數模，稱為體系容的自桂由度。自由度殺為1的體紙系稱衣為單自惰由度罩體系；自散由度飯為有愉限值救的體酒系稱涌為有限自殼由度體承系；質折量連剪續(xù)分頂布的押體系悅為無限自纏由度體垮系。實際結蘋構的質喪量都是坐連續(xù)分黑布的，雪嚴格地綢說來都閉是無限達自由度陷體系。鏈計算困罵難，常維簡化為有限自詢由度問至題。動力計諒算中體辯系的自妥由度（2）動力開分析盼中自眠由度右與結屢構體降系組愉成分側析時漁的自胡由度寸既有狼相同謎之處市又有查不同寒之處培。相同煎之處：二者墓都是確棚定體系鬼運動位現置所需徑的獨立諷坐標參長數。不同愛之處：在結揪構體系猾組成分江析中，意討論的渣對象是不考座慮質超量的蒙剛體。而在附動力分彈析中，煉討論的壞一般是謠變形體頓，考慮薄的是體系中廉質量的販自由度。體系叮自由想度的宇確定延（1）單自睡由度瓜體系當梁哥本身淹的質尊量遠稠小于溝物塊哪的質爽量時伙，可盲以不潔計梁陣本身板的質什量，罰同時皮不考獄慮梁桑的軸炒向變汽形和罰質點歉的轉被動，臟則梁漏上質掀點的薄位置簡只需青由撓詞度y(劃t)就可臥確定天。體系燥自由胞度的滿確定練（2）確定絕紙對剛性搶桿件上銹三個質竭點的位露置只需饞桿件轉永角(t玩)便可，扛故為單肝自由度斑結構。體系自陳由度的沫確定（3）2個自由鑰度體系注意：蜜自由度托與質量漫數不一揉定相等雖然求只有些一個塘集中更質點個，但晌其位權置需賢由水暈平位園移x和豎向股位移y兩個獨化立參數輔才能確窯定，因幼此振動排自由度嬌等于2，為多己自由度巨體系。體系自暈由度的偵確定（4）2個自由射度體系水平喝振動親時的臂計算虜體系構架式班基礎頂版板簡化符成剛性受塊多自撥由度韻體系體系驕自由脈度的嚴確定秒（5）分析剛躬架的振昆動自由沒度時，榆仍可引鼻用受彎賣直桿任易意兩點車之間的爪距離保妹持不變述的假定甲，即略青去桿件彈的軸向糖變形。魔因此，枯可采用扇施加剛蠢性鏈桿陽法來確吧定結構疑的振動媽自由度貨。剛性鏈數桿法：在結林構上施拆加最少啦數量的敲剛性鏈局桿以限枕制剛架圍上所有亞質點的券位置，利則該剛病架的自登由度數鼓即等于圓所加鏈捉桿數目芬。體系自蝦由度的卷確定（6）具有已兩個湖集中愛質量制，加軌入三購根鏈倡桿即壓能使酬各質傍量固乎定不膚動其姓振動延自由斯度為3。4個自級由度注意站：體件系振沿動自紐奉由度刪的數沃目不足完全舒取決飲于質銅點的棚數目拍，也嶼與體澆系是塔否靜房誠定或亂超靜版定無滴關。將體系壇的自店由度竿數目榆與計匠算假污定和叛計算資精度該有關殘。如哄果考筒慮質房誠點的釀轉動請慣性借，還誘應增壇加控裁制轉蹦動的慚約束遙，才憤能確弄定結屑構的愁振動館自由浮度數翠目。體系自次由度的僵確定（7）思考：池若考慮傾各桿件藥的彎曲孔及柱的臉軸向變代形，圖跳示所示宅體系的孩動力自由度數蚊為多少惜？體系自妨由度的仰簡化（1）簡化隆方法時有多再種，左如集中泉質量拼法、我廣義預坐標但法和贏有限屋元法圓等。本章重米點討論集中質和量法。集找中質秒量法尾──牛將結烏構的嬸分布范質量拴按一屑定規(guī)鉗則集凈中到桶結構痕的某勾個或叮某些肢位置怨上，圖認為肉其它叮地方帳沒有納質量熔，從徐而將誦無限迅多自褲由度喘體系彎簡化旦為有扛限個街自由毫度體破系。市對桿慣系結槽構，雹此時朱無質媽量桿零僅有棕彈性逮特性秀，因則此?？臃Q為學無重泥彈性下桿。體系京自由綁度的攜簡化寺（2）例：吉用集圾中質赴量法敘將連病續(xù)分掛布質訪量的見簡支鳥梁簡瀉化為康有限圈自由校度體復系。將梁二額等分，線集中成沫三個集省中質量梢，單自己由度體算系。將梁旨三等椒分，午質量愁集中揚成四永個集強中質枕量的姜兩個餓自由尚度體待系。③簡化的逗質點數盾越多，盛其誤差稀相對越紋小，精調度越高組，但自咐由度增余加，計雨算就越強復雜。①忽略餓質體幸的轉州角變將形θ，即吊把“質體”視為閣質點許。②一般情向況下忽督略桿件嘉的軸向闖變形。l12簡化為2個質點簡化為3個質點132體系自會由度的雁簡化（3）動力計季算的方獻法——振動方星程的建艷立直接霧平衡妙法（桌動靜凳法）抽：該杰法根臟據達朗伯封爾原理，將鍬慣性典力假預想地載作用黨于質勺量上應，再么考慮棄作用爸于結花構上膚的動結荷載退，使環(huán)動力蛛問題佩轉化克成任峽一時狠刻都于動平見衡的旺靜力急問題痛。因姑此，擊建立掩體系槐的運窄動方險程與懇靜力樣學中站建立趁平衡比方程謹相似盜，即磚作用宵于質剝量上揀的所唇有力省保持砌平衡習。I(t)—慣性力計，與加樂速度成喝正比，獵方向相名反P(t)—動力伍荷載向。第10章昨結構動律力學§1縮慧0-苗0結構動捕力學概殖述§1困0-吃1動力計得算的特殃點和動純力自由傳度§1圓0-伯2單自由獵度體系厚的自由睜振動§1香0-紋3單自全由度執(zhí)體系雀的強橫迫振等動§10凝-4兩自由宗度體系民的振動自由振慢動自由振絨動：體急系在振穴動過程泛中沒有慨動荷載央的作用按。自由毅振動添產生偵原因掘：體征系在扶初始仁時刻勿（t=0）受到朋外界的筒干擾。研究宏單自騾由度落體系例的自傅由振佩動重持要性擋在于初：1、它代白表了許放多實際占工程問裳題，如南水塔、并單層廠劍房等。2、它是狗分析多慌自由度賞體系的纖基礎，盈包含了缺許多基妖本概念樹。自由敗振動訓反映寶了體妄系的注固有挽動力刊特性奮。自由振非動方程劣的建立拘（1）方法：局達朗伯丈爾原理應用藝條件誕：微蛾幅振允動（場線性父微分較方程慕）1、果剛度儉法：戀研究儉作用牢于被閣隔離災的質司量上廈的力袍，建殘立平煙衡方笛程。m..yj.yd靜平衡位置質量m在任一時刻的位移y(t)=yj+ydk力學模型.ydmmWS(t)I(t)+重力W彈性言力恒與得位移戲反向慣性力自由振肺動方程橡的建立豬（2）1、截剛度驚法：叼研究鐮作用司于被你隔離忠的質集量上聽的力電，建擔立平死衡方漸程。…………(a)其中kyj=W及上式奇可以們簡化歐為或由靜盤平衡乖位置梳計算昨。以位移富為未知鎮(zhèn)量的平宋衡方程洽式，引討用了剛萄度系數俘，稱剛嚼度法。建立平爽衡方程自由豎振動遍方程單的建立立（3）2、柔稀度法：赤研究結糠構上質騰點的位速移，建蒙立位移霞協調方鉆程。m靜平衡位置I(t)可得枕與(b）相同的洋方程剛度法小常用于代剛架類弱結構，怕柔度法彼常用于撿梁式結膛構。k—彈簧的竹剛度系思數。（忽彈簧伸車縮單位知長度所或產生的刊力。）k=挽1/δδ—彈簧的洪柔度系陵數。（譜單位靜另力作用刃下彈簧州伸縮的跑長度。牛）k—質點沿哄位移方東向發(fā)生猴單位位鄭移，所擺需施加班在質點殘上的沿之位移方年向的力計。δ—質點刻在單頑位力橡作用去下沿到位移午方向裳產生課的位躲移。二者分際別稱作討質點沿揮位移方演向的剛圓度系數雨和柔度獎系數。mlEIk1mFP=1lEI對于線彈彈性結塵構的剛尿度系數射和柔度初系數：自由振麗動方程隨的建立峽（4）自由振蜓動微分冤方程的陰解（1）改寫為其中它是二咸階線性嚷齊次微忍分方程碗，其一停般解為獎：積分常脹數C1，C2由初津始條增件確崖定。設t=0時（d）式可以來寫成自由蒜振動嫌微分博方程礎的解形（2）由上式羞可知，望位移是卵由初位淘移y0引起勇的余晃弦運桂動和漁由初稅速度v0引起霧的正嗚弦運獲動的窮合成此，為油了便謊于研介究合乒成運首動,令(e)式改米寫成它表示忘合成運雹動仍是制一個簡捆諧運動賺。其中A和可由下助式確定振幅相位角y0ty-yTTTyt0yt0A-A自由碎振動暈微分漲方程鳴的解塑（3）結構咐的自耽振周狼期和襪頻率糞（1）由式及圖可菜見位移眾方程是甘一個周束期函數塵。Tt0A-A周期工程頻拖率圓頻貼率自振螺周期辭計算括公式微：圓頻率蛇計算公抱式：結構的型自振周料期和頻亡率（2）一些重胞要性質典：（1）自顏振周柿期與扣且只羊與結柳構的鑄質量哄和結盤構的推剛度東有關匪，與選外界撈的干對擾因膝素無菌關。（2）自振連周期與調質量的捷平方根邪成正比掌，質量蒙越大，室周期越鄰大（頻撒率越小租）；自秘振周期吊與剛度帽的平方熟根成反獸比，剛叫度越大箭，周期飄越?。ǔ铑l率越很大）；縱要改變半結構的穩(wěn)自振周種期，只促有從改裂變結構橋的質量灘或剛度莖著手。（3）兩洽個外杏形相品似的邁結構許，如鑰果周柴期相定差懸朱殊，遮則動僻力性性能相賤差很者大。好反之團，兩篇個外國形看遙來并浩不相捕同的緊結構脊，如準果其款自振宋周期秧相近戚，則角在動塵荷載棟作用斥下的痕動力傭性能旋基本殿一致液。例1、圖目示三騙根單霞跨梁境，EI為常猜數，丈在梁揚中點傘有集富中質撥量m，不科考慮挺梁的枝質量果，試柳比較連三者針的自桂振頻鳳率。解：1）求δ據此盯可得：ω1?ω2?ω3=1?1.脖51晨2?2結構約追束越強,其剛冬度越凱大,剛度越艱大,其自振藝動頻率考也越大男。例題例2、計算租圖示結傲構的水蹄平和豎疾向振動脂頻率。例3、計判算圖槐示剛薦架的彩振動徒頻率曲。由截個面平甚衡例4、求顫圖示頭結構授的自澡振圓腸頻率不。解法1：求kθ=1/hMBA=kh桐=屆MBC解法2：求δ例5、求圖驗示結構萍的自振額頻率。解：由求k對于雪靜定歐結構蹈一般苗計算讓柔度熟系數姥方便浙。如果讓瘦振動體豈系沿振攀動方向肢發(fā)生單離位位移犧時，所丘有剛節(jié)臺點都不咽能發(fā)生譽轉動（鏡如橫梁襪剛度為屯∞剛架)計算剛嫩度系數絞方便。一端鉸品結的桿悲的側移斤剛度為龍：兩端剛畫結的桿禾的側移斑剛度為臣：例6：圖a所示恒體系杠中，而已知小橫梁B端側絞移剛撕度為k1，彈簧丑剛度為k2，求：豎秩向振動沫固有頻貫率。例7：圖a所示糕結構前周期樣為Ti，求蠶圖b所示良體系扭周期蝕。例8:求圖示黨結構質及點振動綢的柔度發(fā)系數或域剛度系浪數。EIm

l/2l/2EIlml/2mEI=攏Cl/2EIl/2l/2m簡諧滿自由鉤振動忽的特向性由式可得，古加速度注為：慣性力洽為：在無阻垂尼自由灰振動中遲，位移險、加速晝度和慣告性力都淋按正弦彼規(guī)律變三化，且說作相位科相同的完同步運宰動，即表它們在批同一時瞇刻均達油極值，嬸而且慣繼性力的立方向與緩位移的廉方向一跟致。既然在懸運動的糧任一瞬慶時質體旺都處于縮慧平衡狀懂態(tài)，在資幅值出站現時間字也一樣壞，于是馬可在幅害值處叔建立效運動姐方程，此干時方堂程中艘將不抗含時前間t，結果若把微分炊方程姨轉化削為代謙數方準程了，鮮使計字算得陸以簡手化。例6.計算圖鍋示體系填的自振杜頻率。解：單津自由度授體系，以表宵示位腿移參評數的僻幅值,各質猛點上濁所受響的力澇為：建立泰力矩陜平衡弓方程阻尼對終自由振行動的影渡響實驗透證明姿，振栗動中隱的結徑構，層不僅責產生第與變務形成減比例瓶的彈巨性內歷力，討還產候生非艘彈性活的內禍力，噴非彈酷性力吳起阻漆尼作擱用。法在不與考慮孟阻尼傻的情夕況下嶄所得熟出的繩某些抽結論踩也反餡應了忙結構并的振存動規(guī)騙律，扛如：1、阻尼層的存在忽略蠶阻尼熱的振嗎動規(guī)壇律考慮刃阻尼范的振甩動規(guī)瞞律結構的碗自振頻呈率是結去構的固乎有特性屯，與外摩因無關凍。簡諧荷獲載作用寄下有可刺能出現型共振。自由竹振動挑的振梁幅永杯不衰絨減。自由振做動的振梅幅逐漸擔衰減。共振時顯的振幅享趨于無障窮大。共振時遺的振幅滴較大但倚為有限僑值。阻尼對地自由振鉗動的影潔響事實耐上，嘴由于殲非彈晃性力蛙的存鑰在，卸自由戴振動菌會衰幸減直墻到停配止；賀共振軍時振到幅也陵不會莊無限釘增大鏈，而核是一叉?zhèn)€有喝限值踐。非彈昂性力踏起著航減小悔振幅旨的作勤用，抹使振捉動衰技減，判因此棍，為雀了進釀一步厲了解喘結構社的振攀動規(guī)溜律，化就要籮研究憂阻尼杯。關于真阻尼季，有蜻兩種擴定義拾或理在解：1）使請振動菊衰減理的作炊用；2）使蝦能量刃耗散經。阻尼緩對自脅由振泛動的新影響2、在步建筑凍物中撞產生督阻尼額、耗違散能賊量的透因素1）結構集在變形丙過程中榆材料內溪部有摩度擦，稱攏“內摩培擦”，欣耗散能甚量；2）建筑客物基礎未的振動澇引起土墾壤發(fā)生歇振動，巷此振動簽以波的給形式向征周圍擴技散，振動波盟在土壤唇中傳播譽而耗散叮能量；3）土戚體內揮摩擦允、支胳座上駁的摩壤擦、緩結點鄙上的胸摩擦哲和空社氣阻浪尼等詞等。3、阻尼痛力的循確定抗：總棉與質遙點速岡度反寺向；大小嬸與質點析速度有勸如下關批系：1）與質唱點速度搬成正比患（比較繁常用，吉稱為粘劣滯阻尼雞）。2）與質暢點速度牙平方成庭正比（敏如質點律在流體胸中運動脖受到的念阻力）滑。3）與拋質點堡速度另無關勞（如乖摩擦飯力）投。*粘滯阻魂尼理論——非彈桌性力欺與變燈形速閃度成禍正比屆：*滯變瓦阻尼竹理論——其他阻蔑尼力也靠可化為凡等效粘冊滯阻尼離力來分廳析。有阻負尼體龍系的蝦自由曠振動宗方程有阻尼酷的自由屬振動，災動平衡今方程：(阻尼籠比）令有阻土尼體蟻系自碰由振嗎動微睬分方社程的幫解設解姿為：特征犧方程膚為：（1）低阻元尼和無娃阻尼（2）臨界屋阻尼（3）超繩阻尼（不泥出現那振動使，實青際問鵲題不游常見涌。）有阻悶尼體姑系自怎由振糖動微側分方殖程的撐解1)ξ<1（低虜阻尼勒）情魂況（低阻冷尼體系繡的自振蘿圓頻率麻）得振動峽方程的然通解：有阻尼蒜體系自免由振動編微分方忙程的解1)ξ<1（低阻遵尼）情盞況有阻歐尼體貍系自芝由振結動微究分方川程的謙解1)ξ<1（低睬阻尼著）情嚴況①阻尼對爽自振頻趨率的影駱響.當ξ<0者.2，則存在0.9銅6<ωr/ω規(guī)<1。在工程李結構問邀題中，款若0.煌01女<ξ<0.踢1，可近亂似取:有阻尼葬體系自狹由振動犬微分方王程的解1)ξ<1（低阻靈尼）情茫況②阻尼雀對振剛幅的較影響.振幅Ae-ξωt隨時什間衰調減，敲相鄰繞兩個刃振幅掙的比經過一記個周期傘后，相己鄰兩振萬幅yk和yk+1的比值復的對數咬為:稱為振面幅的對繳數遞減先率.有阻尼叔體系自舍由振動戲微分方尖程的解1)ξ<1（低阻開尼）情俊況②阻尼月對振蹈幅的亮影響.設yk和yk+n是相俗隔n個周期碑的兩個樓振幅則:工程加中常材用此望方法梁測定麻阻尼策比例7、圖示態(tài)一單層姥建筑物徐的計算培簡圖。百屋蓋系貍統(tǒng)和柱凡子的質慶量均集捏中在橫倚梁處共稍計為m，加一稱水平健力P=9紀.8承kN，測掙得側肌移A0=0.態(tài)5cm，然后突論然卸載排使結構蓮發(fā)生水也平自由辣振動。椅在測得訊周期T=1透.5浙s及一個周期雅后的側舟移A1=0.魯4cm。求暈結構押的阻研尼比ξ和阻孔尼系第數c。解：有阻議尼體椅系自坑由振虧動微薦分方禾程的帖解有阻們尼體蘇系自迅由振供動微酬分方春程的寨解2)ξ=1（臨衡界阻莊尼）伶情況有阻尼顯體系自備由振動魂微分方愿程的解2)ξ=1（臨翅界阻孔尼）踢情況這條曲含線仍具定有衰減籌性，但不具冒有波動委性。臨界軌阻尼趨常數cr為ξ=1時的阻著尼常數勁。（振與省不振危的分脅界點）阻尼身比。義反映詳阻尼晌情況良的基璃本參疲數。第10章督結余構動莊力學§1塑0-厚0結構抖動力返學概伙述§1模0-狂1動力嘗計算霞的特盈點和賓動力聽自由幸度§1客0-糕2單自由晶度體系慚的自由冷振動§10輩-3單自娃由度足體系掠的強商迫振桌動§1理0-激4兩自帳由度蕩體系午的振物動強迫嗎振動墳方程虧的建壺立受迫鎮(zhèn)振動惜（強嶼迫振舅動）毛：結盾構在度動力相荷載矩作用績下的齡振動啄。彈性力－ky、慣性力和荷載P(t)之間芝的平乓衡方申程為:單自嶄由度凝體系帆強迫柄振動泡的微低分方座程強迫惜振動麗方程冠的解——簡諧騾荷載含（1）tAyθsin=特解：tytmFystθωθθwθωsin)1(1sin)1(22222-=-=強迫聽振動彩方程變的解——簡諧蒙荷載亮（2）最大靜職位移yst（是汪把荷謊載幅乒值當熊作靜敞荷載見作用扛時結動構所檔產生的位姜移）告。特解可禿寫為：通解可鄉(xiāng)豐寫為：設t=0時的初炊始位移壞和初始震速度均急為零，啄則：強迫怕振動哭方程罪的解——簡諧荷座載（3）按自振參頻率振順動按荷載趙頻率振醋動過渡災階段：振動梅開始兩繼種振動惰同時存怎在的階抖段；平穩(wěn)吸階段：后違來只講按荷抽載頻吉率振訴動的壺階段喜。（網由于找阻尼抗的存華在）平穩(wěn)階胳段：最大動款位移（喚振幅）懸為：動力津系數β為：重要的型特性：當θ/ω→0時,β→1，荷殺載變范化得南很慢成，可該當作州靜荷客載處伐理。當0<θ/無ω<1時,β>1，并且丈隨θ/ω的增大載而增大叢。當θ/ω→1時,β→∞。即鍬當荷爪載頻滴率接狂近于拋自振補頻率乏時，鑄振幅教會無搶限增夠大。陣稱為搏“共系振”霜。通拴常把0.7或5<θ/ω<1付.2暢5稱為共兆振區(qū)。當θ/ω>1時,β的絕對嫌值隨θ/鍛ω的增大陰而減小戴。當θ很大奏時，搞荷載姻變化范很快石，結誼構來果不及延反應眾。振鑒動體系體現初為一躁種振耕顫現贏象，反而不能振動擱。強迫錘振動章方程素的解——簡諧荷中載（4）強迫頂振動圍方程醬的解——簡諧淡荷載尾（6）當動昌荷載歲作用色在單礎自由狀度彈琴性體鈴系的炎質點城上時艘，由儉于體刪系上質各截拾面的勝內力肆、位魂移都躲與質題點處升的位坡移成號正比陣，故險各截至面的拋最大爸動內害力和扮最大均動位徑移可圣采用筐統(tǒng)一撲的動世力系算數，只需井將干屋擾力作幅值漫乘以液動力艇系數超按靜莖力方膚法來滿計算錘即可卵。計算時瞎，只須翼將相當兇荷載作記用于質宋點按靜址力方法褲計算即周可?；蛄軐⒏蓴_艙力幅值啟當作靜蟻荷載作班用于質溝點按靜普力方法丹計算出褲相應的究位移、括內力，再乘以批動力放毯大系數亦可?！喈敯岛奢d顯。（簡諧牲動荷互載與差慣性紅力合誕力的轎最大怕值）強迫常振動役方程府的解——簡諧荷述載（7）當動猛荷載述作用粒在單籍自由滾度彈會性體貴系的饞質點五上時稱，由嶺于體釋系上茫各截慌面的候內力訓、位同移都其與質渣點處瞎的位戚移成獅正比糠，故漁各截輩面的項最大烘動內衡力和模最大酒動位睬移可主采用打統(tǒng)一底的動繞力系攀數，只需鑒將干秀擾力遮幅值壺乘以悅動力少系數球按靜挨力方遷法來份計算后即可陳。例1、已知m=300雙kg，EI=90×柴105N.m2,k=48墾EI齡/l3,P=20感kN,θ=80s-1求梁過中點放的位推移幅屯值及故最大寸動力蟻彎矩斥。解：1)求ω2)求β3)求yma睜x，Mmax強迫震振動久方程榆的解——簡諧矮荷載份（8）例2、一簡覺支梁（I28之b），慣藝性矩I=74揪80c澡m4。在兵跨度伙中點揀有電蝦動機頸重量Q=35戚kN，轉絲式速n=50剛0r/狀min。由于怕具有偏封心，轉輝動時產雷生離心或力P=10架kN，P的豎警向分鉛量為Psin長θt。忽于略梁懼的質民量，位試求遵強迫艦振動賭的動倘力系或數和妹最大懂正應賭力。紛（梁第長l=4m）解：1）求自之振頻率懇和荷載梅頻率2）求香動力殺系數聞和最挑大正虜應力17房誠5.爛6M濃Pa例2、一艘簡支挪梁（I2講2b），慣侍性矩I=3蔑57伶0c勿m4。在跨惕度中點基有電動燦機重量Q=35南kN，轉灘速n=5瞧00爪r/拿mi的n。由于育具有偏綢心，轉惡動時產聞生離心舊力P=10堵kN，P的豎向削分量為Psin傭θt。忽略懶梁的質屬量，試蜂求強迫挨振動的饅動力系淘數和最壇大正應休力。（泄梁長l=4m）149背.2M禾Pa必須扣特別悲注意待，這冤種處雄理方毛法只技適用提于單紹自由枯度體愉系在與質點拼上受綢干擾柏力作建用的趣情況踏。對蝦于干洋擾力禁不作損用于化質點堡的單摟自由默度體屋系，虎以及豎多自朽由度熟體系未，均趣不能裝采用旨這一紐奉方法隔。本例采煤用較小牌的截面擴的梁既做可避免再共振，睬又能獲鼓得較好鞭的經濟歉效益。1)求柔度窯系數δ例3圖示稍單自綿由度紛體系撒，已湯知FP0=5kN，m=80懲0kg，EI=4.燃5×1音07kN.室cm2，θ=35（1/s），g=9.罵8m/驅s2。在拐平穩(wěn)鑼階段偵，求C截面尺的最害大位揀移和B截面的可最大彎親矩。解：CEIABEI4m2mC1C1AB12AB2m2)求自振芽頻率ω3)求動力堪系數β4)求(MB)max及ymax[動荷載派不作用謠于質點聞時的計毅算——結構豆沒有稻一個渾統(tǒng)一蹲的動佛力系嗎數]當干擾惱力不作董用在質崗點上時能，應重壤新建立琴并求解偵質點的滔運動微虹分方程揮（柔度鏈法和剛蔑度法）盾及方程祝的解和薦慣性力宗。計算簡動內力辜和動位膽移幅值斤時，將北慣性力樣幅值作酒用于質辛點，干沾擾力幅搬值作用藏于結構輔，按靜惱力計算晉。此時寇動彎矩嚼幅值圖攻可按下么式：令仍是位移動力系數不是內力動力系數運動方樓程穩(wěn)態(tài)解[動荷舉載不兵作用恰于質召點時啊的計晴算——結構沒恢有一個捏統(tǒng)一的起動力系土數][列幅值問方程求他內力幅零值]解:例:求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖.已知同頻同宜步變化動彎醉矩幅舍值圖解:例:求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖.已知解:例:求圖示奔體系右拘端的質鐘點振幅同頻同爪步變化強迫振心動方程慚的解——一般荷餐載（1）一般荷坊載作用挑下的動親力反應擠可利用寸瞬時沖尚量的動快力反應到來推導斯。1、瞬時潑沖量的墊動力反總應瞬時壤沖量S引起的槽振動可很視為由咽初始條作件引起販的自由留振動。由動量偏定理：強迫展振動拴方程破的解——一般咸荷載喜（2）2、任意蔽荷載P(t)的動提力反辱應τ時刻的觸微分沖勿量對t瞬時(t>拿τ)引起怕的動械力反響應:初始蔬靜止廊狀態(tài)僅的單督自由阻度體丸系在鼻任意榴荷載造作用勻下的捎位移紅公式:Duh技ame奧l積分強迫絲式振動己方程睬的解——一般荷擦載（3）初始勉靜止商狀態(tài)虧的單壞自由盜度體斑系在棄任意逆荷載緒作用天下的微位移土公式:Duh打ame僅l積分初始位疼移y0和初始右速度v0不為未零在貍任意捧荷載歲作用巨下的挪位移載公式:幾種照典型泥荷載叢的動反力反每應（1）1）突窯加荷粒載質點圍家繞靜力鄉(xiāng)豐平衡位騙置作簡諧稿振動幾種席典型燒荷載被的動細力反走應（2）2）短時燙荷載階段Ⅰ(0<t<u)：與突營加荷顫載相淚同。階段Ⅱ(t>u)：無察荷載興，體渴系以t=u時刻桌的位狹移和速度為初始械條件作膀自由振勒動。幾種典我型荷載距的動力玩反應（3）2）短時者荷載或者料直接炭由Duh述ame紋l積分稅作最大動餐反應1）當u>T/2最大激動位燃移發(fā)襖生在毫階段Ⅰ幾種典唐型荷載傷的動力區(qū)反應（4）2）當u<T/2最大炒動位肥移發(fā)蕉生在賀階段Ⅱ幾種饞典型椒荷載穴的動聾力反籠應（5）3）線性探漸增荷求載這種倘荷載訊引起銅的動膝力反木應同粒樣可咱由Du更ha蠟me惹l積分來品求解:幾種六典型快荷載貌的動述力反膛應（6）動力調系數通的反占應譜瘡如下首：動力系數β介于1與2之間。如果升載很短，tr<T/4,則β接近于2,即相當于突加荷載情況。如果升載很長，tr>4T,則β接近于1,即相當于靜荷載情況。常取外包虛線作為設計的依據。有阻尼禮強迫振蔑動方程引入計：單自由流度有阻蓮尼體系摘的強迫刺振動方毅程：有阻尼削強迫振賽動方程撇的解（1）①單獨由v0引起較的自趣由振雞動：②瞬時湖沖量ds=港Pdt=m葬v0所引楚起的置振動棍，可江視為臺以v0=Pdt/挺m，y0=0為初臭始條峰件的給自由變振動稈：有阻尼早強迫振迷動方程嗽的解（2）③將荷載P(t)的加筑載過捎程看絹作一漂系列恭瞬時蜻沖量輩：④總反奏應幾種菠典型引荷載棟的動買力反獸應（1）（1）突加荷屆載P0具有臭阻尼莫的體泥系在突加查荷載儉作用引下，最初所泳引起的譜最大位移接廣近于靜苗位移yst=P0/mω2的兩暮倍，然后逐伍漸衰減犧，最后停留堂在靜力焰平衡位置。幾種首典型境荷載蛾的動燦力反神應（2）（2）簡諧荷旨載P(t)=Fsinθt設特宣解為月：y=Asinθt躺+Bcosθt齊次解馳加特解炸得到通些解：+{Asi足nθt+Bco柱sθt}自由振淋動，因書阻尼作拍用，逐漸題衰減費、消佩失。純強迫綿振動，鮮平穩(wěn)振侍動，振幅和作周期不查隨時間務而變化傅。幾種典炕型荷載挺的動力棍反應（3）（2）簡諧燃荷載P(t)=Fsinθt+{Asi柿nθt+Bcosθt}結論殲：在爐簡諧圓荷載連作用確下，原無論誰是否想計入腥阻尼防的作起用，靜純強迫振顧動部分煩總是穩(wěn)彼定的周蘭期運動似，稱為速平穩(wěn)振姻動。y=淚Asi冰nθt+Bco把sθt=yPsi歉n(θt－α)動力系賄數β與頻策率比η=θ/疏ω和阻鍬尼比ξ有關幾點敞注意反：①隨ξ增大β曲線漸啞趨平緩舟，葵特別是藝在θ/ω思=1附近β的峰朱值下框降的稱最為鏟顯著李。②當θ接近ω時，β增加很挽快，ξ對β的數牧值影睜響也全很大論。在0.船75委<黑θ/極ω貪<1襯.2表5(共振區(qū))內，阻喂尼大大私減小了鍬受迫振彼動的位煉移，因踩此,為了絡研究牛共振戶時的怪動力扭反映,阻尼潛的影棉響是猾不容尋忽略隸。③βma賠x并不酒發(fā)生壟在共劫振θ/惜ω=1時，蛋而發(fā)兔生在還，但因ξ很小，返可近似峰地認為左：動力獵系數掘在工吉程抗床震中樂的應固用（1）基礎騎隔震賠結構猜：通炸過隔參震層也的變倒形來勞吸收貼地震熄能量跪，控己制上僻部結貼構地繭震作奴用效藏應和從隔震祥部位貝的變靜形，絲式從而殲減小楚結構家的地貫震響突應，東提高醒建筑乓結構躲的抗綁震可貧靠性緊。動力系尋數在工役程抗震座中的應粥用（2）消能減譜震結構默：通過樣指在房彼屋結構提中設置抗消能裝耐置，通閣過其局忙部變形懇提供附鈔加阻尼袍，以消攔耗輸入扯上部結失構的地僚震能量豪，達到搶預期設摸防要求趕。粘彈席性阻額尼器粘滯流倘體阻尼伙器屈曲脹約束鉗耗能屯支撐運動微分方程振動方程振幅初相角運動微分方程穩(wěn)態(tài)解動力放大系數振幅單自由度體系自由振動單自由度體系強迫振動第10章稅結構動壩力學§1偽0-踢0結構唯動力廈學概欲述§1接0-縣1動力補計算我的特抖點和無動力煤自由螞度§10階-2單自豈由度鋸體系統(tǒng)的自定由振派動§1壓0-蛙3單自由個度體系陽的強迫酒振動§10沫-4兩自桂由度洗體系贊的振見動自由振場動方程譯的建立——剛度擊法（1）1、剛造度法K1和K2是質黎點m1和m2與結構救之間的雜相互作船用力。自由振日動方程遺的建立——剛度盡法（2）1、堤剛度蝦法兩自由繁度體系擁自由振瞎動微分沸方程自由振抄動方程輝的解——剛度剖法（1）設解為=常數1）在振體動過程獎中，兩緒個質點摔具有相杏同的頻角率和相株同的相等位角；2）在振誓動過程匆中，兩級個質點損的位移沖在數值怖上隨時淺間而變鐵化，但核其比值飾始終保聰持不變們。振動過程中，結構位移形狀保持不變的振動形式，稱為主振型。當然Y1=Y2=0為其解幅，為了猛求得不禾全為零柱的解，咳令特征方舊程頻率標方程自由振隨動方程區(qū)的解——剛度法翻（2）振幅方控程最小情圓頻橋率稱面為第間一(基本)圓頻率兇；第二圓富頻率（1）主振會型第一振布型/基本振爆型第二辮振型自由瓦振動朵方程憶的解——剛度巷法（3）多自由歡度體系厚如果按鼓某個主幸振型自柿由振動刑，其振惕動形式腎保持不墨變，此艇時，多尋自由度破體系實怠際上是栗像一個鍛單自由亂度體系窗在振動隔。（2）按戶主振杠型振劇動的逮條件?。撼跤灰崎e或初榨速度勵與此孝振型古相對須應；筋實際犯上，鹽多自沙由度蕩體系彼在零碼時刻羞的初規(guī)位移隸或初房誠速度砌通常朽不能慌完全哨與某瘡一振叛型相什對應談。自由辛振動辨方程景的解——剛度務法（4）（3）一料般振弦動兩自濟由度芽體系晌自由就振動濃是兩壞種頻傻率及區(qū)其主鏟振型腰的組千合振便動多自窩由度租體系正自由軍振動耗的振駝型分碎解例：設昨圖示剛懸架橫梁草剛度為彎無限大概，層間縣側移剛王度分別說為k1和k2，試求仆剛架水唱平振動仆時的自貫由振動弊頻率和鑰主振型仇。自由振給動方程轎的解——剛度丘法（5）解：（1）求頻料率方程罰中的剛鐘度系數k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（2）求頻稿率自由訓振動甲方程求的解——剛度借法（6）若有（3）求柱主振豬型自由計振動偉方程浙的解——剛度供法（7）若有（3）求主欄振型若n=9而0則第待一振巧型和徹第二書振型岸分別費為：自由鏡振動銷方程械的解——剛度法陵（8）建筑火結構斃抗震惹設計絲式中，折將這蛋種因減頂端皮質點樓質量高和剛歇度突吐變，農而導控致頂玻端巨弊大反裹應的略現象耳，稱籠為鞭工梢效音應。對于n個自由慨度的體公系，用連矩陣形賭式表示移的運動萍方程為：式中——動力體系的質量矩陣——動力體系的剛度矩陣自由深振動她方程站的解——剛度法蠅（9）令則為得到{Y}的非零繳解,必有系述數行列宅式的值殃等于零倍，即上式開為頻蛋率方粱程，津可以篩求體縱系的糧自振乏頻率當。將及伴的載表達寶式代攜入運況動方奏程，宏得到從：自由振掀動方程倦的解——剛度抬法（10）上式棕可以求體系辰的主振扛型。在主振差型向量中，通滿常只能鉤確定各構分量的島相對值績，而不納能確定愈各分量褲的絕對戲值。將代入運動方程，得到：自由振斷動方程鼻的解——剛度沸法（11）（1）多沒自由賊度體撒系自泊由振元動問叨題中粗，主戴要問蠢題是南確定號體系折的全脫部自間振頻電率及著其相懷應的頸主振娃型；（2）多自聽由度體夾系自振展頻率的鄙個數與義自由度列個數相敲等，自蘇振頻率童可由特前征方程曬求出；（3）每個手自振頻尾率有自透己相應而的主振酸型。主日振型就猜是多自刑由度體蹤蝶系能夠熟按單自斥由度振貞動時所井具有的師特定形存式；（4）多高自由服度體蟻系的裁自振群頻率恭和主械振型個是體蹈系本吊身的榜固有奮性質錯，只菠有體帶系本杠身的虛剛度準和質乎量分哄布有灰關，丘而與趕外荷援載無焰關。自由弱振動革方程若的解——剛度法道（12）自由煤振動夫方程爭的建臥立——柔度道法2、適柔度嫂法在自眼由振攻動過庫程中菌任意克時刻t，質桶量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)應當等朋于體系映在當時斗慣性力腰作用下救的靜力鬼位移。兩自由蘋度體系梨自由振根動微分拳方程自由沾振動鼓方程產的解——柔度法型（1）設解偽為此時休慣性抱力幅值主振暢型的來位移何幅值吼等于宿主振喂型慣炮性力暢幅值林作用丑下產登生的顯靜力柳位移蜘。自由振佳動方程扎的解——柔度林法（2）當然幟解Y1=Y2=0，為了銹求得綠不全慮為零鼻的解犧，令令自由慣振動調方程悼的解——柔度床法（3）主振型自由糟振動咳方程桿的解——柔度法攝（4）解：禮（1）計受算頻努率（2）計雕算振耽型例:求圖示欄結構的澤自振頻劫率和主律振型。m2=2maaam1=mEIEI解：1)

作、圖求柔度系數。2)求自振饅頻率3)求主件振型第一主振型第一主振型10.3052m1m24)畫主音振型繭圖第二主振型第二主振型m1m211.6384例3求圖示糾體系的甲頻率、典振型解令對稱乎體系聰的振肉型分賞成兩也組:一組腫為對槽稱振考型一組垮為反批對稱肢振型對稱性襪利用⑴振動賊體系那的對器稱性妨是指蓋：結網構對黃稱，魔質量暗分布握對稱暗或動秒荷載欣對稱判。⑵對稱孕體系的棟自由振殖動或強裹迫振動執(zhí)計算都恢可利用臘對稱性畜而得到賭簡化：①將體邪系的自討由振動啊視為對責稱振動眾與反對纏稱振動載的疊加奏，對兩淘種振動巾分別取壓半結構碼進行計章算；②對于畏體系的痰強迫振惕動，則借宜將荷脅載分解業(yè)為對稱駁與反對鐮稱兩組凳。對稱失荷載作經用時，霧振動形召式為對玻稱的；園反對稱榜荷載作擋用時，葬振動形雞式為反舊對稱的鑰，可蜜分別取匙半結構飲計算。說明蛙：按對稱陽振型振暖動按反注對稱析振型浸振動對稱秒體系駛的振沈型分成兩經組:一組為投對稱振骨型一組為普反對稱蒜振型若結構門對稱，使質量分怪布也對錄稱，則筒該體系芝的主振劉型也是正對稱叉或反府對稱棍的。跟因此訪，可取半部結構分別計臭算正對唱稱振型衫和反對鵝稱振型對宣應的固曬有頻率。例題止：利用對魔稱性簡瞎化圖示秧結構柔堵度系數起的求解程。利用對置稱性簡特化計算因為結喝構和質弓量分布救均對稱郵，其振遞動可殘分為諷正對谷稱振蓋動和端反對爬稱振歌動,其振探型可分為廚正對稱和害反對稱珠的，分蝴別取半叔邊結構計算吐。解：mmmaaaaaaEIEIEI求正對稱振型求反對稱振型m2=m/2m1=maaaaaaEIEIEIEIm1=mm2=m/2以求正對稱綁振型咬為例，說明[δ]中系數的求解餓。首先禍求出半部結構院在集事中質環(huán)量上晶分別升作用有單位取集中力古產生的腥彎矩圖部。b)

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