對泛函的理解

作業(yè)一：基于有限變量集與無限變量集的概念，統(tǒng)一微分和變分的定義，重寫1-4.2?1-4.5的內(nèi)容。為了統(tǒng)一微分與變分的定義，以微分形式表述能量原理，我們引入無限變量集與有限變量集的概念。結(jié)構(gòu)中每一點的撓度可構(gòu)成撓度場，即v(x)，表示坐標x=x對應(yīng)i的撓度集合，顯然v(x)是一個無限變量集。我們在計算時將這無限個撓度值離散，得到有限變量集V、V、V……V。當i趨于無窮時，離1 2 3 i散后的撓度值仍為無限變量集。而后，以受分布荷載的簡支梁為例，將其勢能的變分表達式改寫為微分表達式。首先，給出變分的勢能表達式與勢能一階表達式。其勢能表達式為:2-qvdx直接利用變分法求泛函得其一階變分為:sn=f16p0EIv''22-qvsn=f16p0EIv''22_0而后，進行微分改寫。若我們將該簡支梁受力后形成的撓度場v(x)離散，可得離散后的撓度：v、v、vv，將v(i=1、2、3 n)看作自變量，dv為TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 n i iv發(fā)生微小變化時的變化量，dv"為v"發(fā)生微小變化時的變化量。i i i在此，值得說明的是，就v”來講，v”表示x=x時，函數(shù)v(x)的二i i i階導(dǎo)數(shù)。對于離散前的v(x)的二階導(dǎo)，其可構(gòu)成平滑的曲線。當v''(x)

發(fā)生變化時，變化量可表示為v''(x)-v''(x)(其中v''(x),v''(x)分別表示變2112化前、后的v”(x))。因此，我們關(guān)注的是v”整體的變化，而非x的變化,i亦或是過分關(guān)注其導(dǎo)數(shù)的含義。又根據(jù)定積分的數(shù)學(xué)定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的有界，在［a,b］中任意插入若干個分點a二x<x<x<???<x二b把區(qū)間［a,b］分成nTOC\o"1-5"\h\z0 12 n個小區(qū)間，各區(qū)間的長度依次為Ax二x-x,(i二1,2,…)，在各區(qū)間上取ii i-1—點g(gwAx)，作乘積f(g)Ax(i二1,2,…)，令九二maxlAx,Ax，…,Ax］，那iii ii 1 2 n么在區(qū)間［a,b］上的定積分可記為Jbf(x)dx=lim工f(g)Ax。iia 「0i=1n=fEIAx+fEIAx+fEI )Ax+...fEI )——v"2--qv——v"2--qv——v"2-qv...+——v"2-qvpI211丿1I222丿2L23 3丿3L2n n丿簡支梁的勢能表達式可改寫為:Axn由新的表達式，我們可以得到:n的一階微分：pdn=(EIv"dv"-qdv)Ax+(Elv”dv"-qdv)Ax+(Elv”dv"-qdv)Axp 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3+ +(EIv”dv"-qdv)Axnn nn右取Ax=Ax=???=Ax=Ax，則上式可表示為：1 2 n-工on了pdv-工on了pdv+Ov iii=1on了

pdv”O(jiān)v” iiAx

丿將該式與直接利用變分法求得的泛函一階變分表達式做對比可知，式中的積分號與求和號相對應(yīng)，積分號與求和號后的運算完全是等價的。另外，在能量法近似求解時，我們對撓曲函數(shù)進行整體插值，即v(x)=工a0(x)。簡支梁的勢能表達式為:iin=AEI(工a -q工a?dxp0 2(ii丿 iiL'i' i」從這個角度，我們依然可以看出，能量表達式由以前的泛函形式轉(zhuǎn)化成了函數(shù)表達式。既然n已變?yōu)楹瘮?shù)，那么勢能極值問題可根據(jù)函數(shù)極值條件求p解，即：TOC\o"1-5"\h\zon on onp=0,p=0, —p=0Oa Oa Oa1 2 n由上述兩種離散方式，我們可以知道當結(jié)構(gòu)有無限個自由度離散成有限個自由度時，能量表達式的泛函形式隨之可轉(zhuǎn)換為函數(shù)形式，那么原來求泛函極值的問題也將轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極值的問題。能量函數(shù)的極值條件我們都知道函數(shù)f(x)在x=x0處為極小值的條件為：f'(x)=0f"(x)>0(在x=x處)那么，泛函n[v(x)]取極小值的條件是否為：sn=062n>0(在v(x)=v(x)處)0在此，給出數(shù)學(xué)證明如下：我們考察最簡泛函n!vl=11F(x,v,v，》x0式中F(x,v,vJ具有二階連續(xù)偏導(dǎo)。應(yīng)用多元函數(shù)的泰勒公式，被積函數(shù)F(x,v,vJ在v=vC)上的增量

可寫成如下形式AF=F(x,v+5v,v'+5vJ-F(x,v,vJ=

(F5v+F5v')+F(5v》+2F5v5v'+F(5v'》v v 2vv vv vvvvvvvvVv 1值，0<0<1，0<0<1。且F=F+￡,F=F+vvvvvvVv 1值，0<0<1，0<0<1。且F=F+￡,F=F+￡,F=F1 2 vv vv1vvv vvv 2vfv'為無窮小量。vvvv'vvr因此,記為5f，即上式右端的第一項稱為函數(shù)F(x,v記為5f，即5F=F5v+F5v'記為5記為52f，即"Gv》+2F5v5v+Fvv vv vv上式右端的第二項稱為函數(shù)F(x,v,vJ的二階變分,52F=12于是AF=5F+52F+R2其中R為高階無窮小量。2由此，泛函口打的變化量可表示為：An=flIf(x,v+5v,vv+5vv)-F(x,v,vv)dx0如果泛函nlv]=f1F(x,v,v:dx在v=v(x)上取極值，對于v=v6)和任000意固定的5v，甬(x)+￡5v]=①G)，其中①G)是變量￡的函數(shù)，當￡=0時,0甬]=甬(x)]，即nlv]取得極值，相應(yīng)的函數(shù)①Q(mào)在此時取得極值，因0此，①v(0)=0。①v(￡)=J1If(x,v+￡5v,vv+￡5vvbv+F(x,v+￡5v,v'+￡5v'bv']x0v『①'(0)=J1If(x,v,v'bv+F(x,v,v'bv']x=00v v'易知，sn=o'(0)=0由此可見，5n=0為必要條件。那么泛函的變量An化簡為:An=fl《2F+Rh=J1S2Fdx+R020積分J1s2Fdx稱為泛函nL]在極值曲線上的二階變分，記為s2nS2nJ1SFdx=-J1F(5v》+2FSvSvf+F6"]x2f ff“ 0vv vv vv對2J1FSvS