遼寧省丹東市錦山中學高三數學理期末試卷含解析

遼寧省丹東市錦山中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）=xn+1（n∈N*）的圖象與直線x=1交于點P，若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則log2014x1+log2014x2+…+log2014x2013的值為（） A．﹣1 B． 1﹣log20142013 C． ﹣log20142013 D． 1參考答案：A2.已知邊長為2的等邊三角形，為的中點，以為折痕，將折成直二面角，則過，，，四點的球的表面積為（

）A．3π B．4π C．5π D．6π參考答案：C3.設集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，則A∪B=(

)A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}參考答案：B【考點】并集及其運算．【專題】計算題．【分析】把集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，得到集合A∪B．由此根據集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故選B．【點評】本題考查集合的并集的定義及其運算，解題時要認真審題，仔細解答，注意并集中相同的元素只寫一個．4.若，則下列不等式中成立的是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C5.點P在邊長為1的正方形ABCD內部運動，則點P到此正方形中心點的距離均不超過的概率為()A.

B.

C.

D．π參考答案：C6.設向量=（1.）與=（-1，2）垂直，則等于（

）A

B

C.0

D.-17.參考答案：C.

，故選C.7.已知函數,定義函數給出下列命題:①;②函數是奇函數;③當時,若,,總有成立,其中所有正確命題的序號是（）A．② B．①② C．③ D．②③參考答案：D8.已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，則M∩N=（）A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，4}D．?參考答案：A考點：交集及其運算．專題：集合．分析：由M與N，求出兩集合的交集即可．解答：解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}．故選：A．點評：此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．9.等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，,則的虛軸為（

）A.

B.

C.4

D.8參考答案：B10.讀兩段程序：

對甲、乙程序和輸出結果判斷正確的是（

）A.程序不同，結果不同

B.程序不同，結果相同C.程序相同，結果不同

D.程序相同，結果相同參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線經過點，且，則當

時，取得最小值．參考答案：由直線經過點，得，即，所以．又由，得，即．由柯西不等式，得，由此可得．等號成立的條件為且，即，，，所以．故填．【解題探究】本題考查柯西不等式在求解三元條件最值上的應用．先由直線過定點可得，然后再思考系數的匹配，構造柯西不等式的形式，可求出的最小值，最后由柯西不等式等號成立求出，，，可得的值．12.已知非零向量，，滿足||=||=||，＜＞=，則的最大值為．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【專題】平面向量及應用．【分析】設，=，則=．非零向量，，滿足||=||=||，可得△OAB是等邊三角形．設=，則=，=．由＜＞=，可得點C在△ABC的外接圓上，則當OC為△ABC的外接圓的直徑時，取得最大值．【解答】解：設，=，則=．∵非零向量，，滿足||=||=||，∴△OAB是等邊三角形．設=，則=，=．∵＜＞=，∴點C在△ABC的外接圓上，則當OC為△ABC的外接圓的直徑時，取得最大值==．故答案為：．【點評】本題考查了向量的三角形法則、等邊三角形的性質、三角形外接圓的性質、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．13.已知向量，設向，則

▲

。參考答案：-14.設x，y滿足約束條件，若x2+9y2≥a恒成立，則實數a的最大值為

．參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】根據不等式恒成立轉化為求出z=x2+9y2的最小值即可，作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用數形結合進行求解即可．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：設z=x2+9y2，則z＞0，即=1，則對應的曲線是焦點在x軸上的橢圓，由圖象知當直線x+y=1與橢圓相切時，z最小，將y=1﹣x代入z=x2+9y2，整理得10x2﹣18x﹣9﹣z=0，則判別式△=182﹣4×10（9﹣z）=0，解得z=，即z的最小值為，則a≤，則a的最大值為，故答案為：15.已知正態(tài)分布的密度曲線是，給出以下四個命題：①對任意，成立；②如果隨機變量服從，且，那么是R上的增函數；③如果隨機變量服從，那么的期望是108，標準差是100；④隨機變量服從，，，則；其中，真命題的序號是

________

．（寫出所有真命題序號）參考答案：①②④16.古希臘亞歷山大時期的數學家怕普斯(Pappus,約300~約350)在《數學匯編》第3卷中記載著一個定理:“如果同一平面內的一個閉合圖形的內部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉一周所得到的旋轉體的體積等于閉合圖形面積乘以重心旋轉所得周長的積”如圖，半圓O的直徑AB=6cm，點D是該半圓弧的中點，那么運用帕普斯的上述定理可以求得，半圓弧與直徑所圍成的半圓面(陰影部分個含邊界)的重心G位于對稱軸OD上，且滿足OG=

．參考答案：17.已知菱形ABCD邊長為2，，點P滿足=λ，λ∈R，若=﹣3，則λ的值為．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【分析】用，表示出，列出方程解出λ．【解答】解：∵=λ，∴=﹣=（λ﹣1）．∴=﹣=（λ﹣1）﹣．∵==．∴=[（λ﹣1）﹣]?（）=（1﹣λ）﹣+λ=﹣3．∵，=2×=﹣2．∴4（1﹣λ）﹣4﹣2λ=﹣3．解得．故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相同的單位長度，已知直線l的參數方程是（t為參數），曲線C的極坐標方程是ρcos2θ=2sinθ．（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，點M為AB的中點，點P的極坐標為，求|PM|的值．參考答案：【考點】QH：參數方程化成普通方程．【分析】（1）消去參數t得直線l的普通方程，利用極坐標與直角坐標互化方法求曲線C的直角坐標方程；（2）求出M，P的直角坐標，即可求|PM|的值．【解答】解：（1）因為直線的參數方程是（t為參數），消去參數t得直線l的普通方程為x﹣y+3=0…（2分）由曲線C的極坐標方程ρcos2θ=2sinθ，得ρ2cos2θ=2ρsinθ，…（3分）所以曲線C的直角坐標方程為x2=2y．…（2）由，消去y得x2﹣2x﹣6=0…（6分）設A（x1，y1），B（x2，y2），則AB的中點．因為x1+x2=2，∴M（1，4）…（8分）又點P的直角坐標為（1，1），…（9分）所以…（10分）【點評】本題考查了直角坐標方程化為參數方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與拋物線的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19.（本題滿分14分）已知橢圓的焦距為2，且過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設橢圓C的左右焦點分別為，，過點的直線與橢圓C交于兩點.（1）當直線的傾斜角為時，求的長；（2）求的內切圓的面積的最大值，并求出當的內切圓的面積取最大值時直線的方程.參考答案：20.等腰△ABC的底邊，高CD=3，點E是線段BD上異于點B，D的動點．點F在BC邊上，且EF⊥AB．現沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．（Ⅰ）證明EF⊥平面PAE；（Ⅱ）記BE=x，V（x）表示四棱錐P﹣ACFE的體積，求V（x）的最值．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）證明EF⊥PE，而AB∩PE=E，EF⊥AB，即可證明EF⊥平面PAE；（Ⅱ）記BE=x，V（x）表示四棱錐P﹣ACFE的體積，求出底面面積，可得體積，即可求V（x）的最值．【解答】（Ⅰ）證明：∵EF⊥AB，∴∠BEF=∠PEF=90°，故EF⊥PE，而AB∩PE=E，所以EF⊥平面PAE．（Ⅱ）解：∵PE⊥AE，PE⊥EF，∴PE⊥平面ABC，即PE為四棱錐P﹣ACFE的高．由高線CD及EF⊥AB得EF∥CD，∴，由題意知∴=．而PE=EB=x，∴，∴當x=6時V（x）max=V（6）=．21.已知數列{an}是公差不為0的等差數列，首項，且成等比數列.（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設數列{bn}滿足，求數列{bn}的前n項和為Tn.參考答案：（Ⅰ）由題設，得，即化簡，的又，.

………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

……12分22.已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．（Ⅰ）設，試求函數的表達式；（Ⅱ）是否存在，使得、與三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數，在區(qū)間內總存在個實數，，使得不等式成立，求的最大值．參考答案：（Ⅰ）設、兩點的橫坐標分別為、，，∴切線的方程為：，又切線過點，有，即，

（1）同理，由切線也過點，得．（2）由（1）、（2），可得是方程的兩根，

（*），把（*）式代入,得,因此，函數的表達