天津?qū)幒涌h岳龍鄉(xiāng)岳會(huì)中心中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

天津?qū)幒涌h岳龍鄉(xiāng)岳會(huì)中心中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某校有高一學(xué)生n名，其中男生數(shù)與女生數(shù)之比為9:7，為了解學(xué)生的視力情況，現(xiàn)要求按分層抽樣抽取一個(gè)樣本容量為的樣本，若樣本中男生比女生多8人，則n=A.960 B.1000 C.1920 D.2000參考答案：A【分析】樣本中男生數(shù)為，女生數(shù)為，列出方程組，解得后可得樣本容量，從而得值.【詳解】設(shè)樣本中男生數(shù)為，女生數(shù)為，則，解得，所以樣本容量為，由，解得.選A.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.2.已知函數(shù)，則（

）A.必是偶函數(shù)

B.的最小值為C.當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.若，則在區(qū)間上是增函數(shù)

參考答案：D略3.

滿足“對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)，都有”的函數(shù)可以是

[

]A．

B．

C．

D．參考答案：C4.將一個(gè)骰子拋擲一次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4，事件C表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則（

）A．A與B是互斥而非對(duì)立事件

B．A與B是對(duì)立事件C．B與C是互斥而非對(duì)立事件

D．B與C是對(duì)立事件參考答案：B略5.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是A.B.C.D.參考答案：C試題分析：由題意可知，事件A與事件B是相互獨(dú)立的，而事件A、B中至少有一件發(fā)生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率為，故選C．6.已知函數(shù)，則（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.與圓相交于兩點(diǎn)，若，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：圓心（3,2）到直線的距離為，所以,即d2≤1，則，解得.考點(diǎn)：圓與直線的位置關(guān)系.8.（5分）如圖，等腰梯形中位線的長(zhǎng)和高都為x（x＞0），則它的面積表達(dá)式為（） A． S（x）=x2 B． S（x）=x2 C． S（x）=2x2 D． S（x）=x2參考答案：B考點(diǎn)： 函數(shù)解析式的求解及常用方法．專題： 計(jì)算題．分析： 利用梯形的面積等于中位線與高乘積直接求解．解答： ∵等腰梯形的中位線的長(zhǎng)為x，高為x，設(shè)梯形的上下底邊長(zhǎng)分別為a、b，∴等腰梯形的面積S（x）=×x=x2．故選B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了利用梯形的中位線定理及梯形的面積公式求函數(shù)的解析式．9.若函數(shù)在處取最小值，則a等于()A. B.1或3 C.3 D.4參考答案：C分析：根據(jù)基本不等式中等號(hào)成立的條件可得所求．詳解：∵，∴．∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立．∴．故選C．點(diǎn)睛：應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意不等式的使用條件“一正、二定、三相等”，若條件不滿足，則可根據(jù)“拼、湊”等方式進(jìn)行變形，使得滿足應(yīng)用不等式的條件，解題時(shí)特別要注意等號(hào)能否成立．10.如圖為一個(gè)半球挖去一個(gè)圓錐后的幾何體的三視圖，則剩余部分與挖去部分的體積之比為（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：2參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖；由三視圖求面積、體積．【分析】V=V半球﹣V圓錐，由三視圖可得球與圓錐內(nèi)的長(zhǎng)度．【解答】解：球的半徑為r，圓錐的半徑為r，高為r；V圓錐=?πr3，V半球=×πr3=πr3，∴V=V半球﹣V圓錐=πr3，∴剩余部分與挖去部分的體積之比為1：1，故選：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，為的面積，，則角

．參考答案：

12.函數(shù)

的值域?yàn)?參考答案：[-2,7]13.函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是__________.參考答案：[1,+∞)設(shè)t=x2+3x﹣4，由t≥0，可得（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞），則函數(shù)y=，由t=x2+3x﹣4在[1，+∞）遞增，故答案為:（1,+∞）（或?qū)懗蒣1,+∞））14.函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和等于

.

參考答案：815.關(guān)于x的不等式的解集中恰含有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值集合是

▲

．參考答案：16.當(dāng)時(shí)，函數(shù)

的值域是______________.參考答案：17.若且，則＝________。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分10分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖．

（Ⅰ）當(dāng)輸入n=5時(shí)，寫出輸出的a的值；

（Ⅱ）當(dāng)輸入n=100時(shí)，寫出輸出的T的值．參考答案：（Ⅰ）輸出的a分別是：1，2，3，4，5；-------------------5分（Ⅱ）------7分

---------------------10分

故輸出的T的值為．略19.（12分）若函數(shù)f（x）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足，則稱f（x）具有性質(zhì)M．（1）很明顯，函數(shù)（x∈（0，+∞）具有性質(zhì)M；請(qǐng)證明（x∈（0，+∞）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．（2）已知函數(shù)g（x）=|lnx|，點(diǎn)A（1，0），直線y=t（t＞0）與g（x）的圖象相交于B、C兩點(diǎn)（B在左邊），驗(yàn)證函數(shù)g（x）具有性質(zhì)M并證明|AB|＜|AC|．（3）已知函數(shù)，是否存在正數(shù)m，n，k，當(dāng)h（x）的定義域?yàn)閇m，n]時(shí)，其值域?yàn)閇km，kn]，若存在，求k的范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可，（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)利用作差法進(jìn)行判斷即可，（3）根據(jù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系建立方程，進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）∵f（）=+=x+=f（x），∴函數(shù)f（x）具有性質(zhì)M．任取x1、x2且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）?，若x1、x2∈（0，1），則0＜x1x2＜1，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．若x1、x2∈（1，+∞），則x1x2＞1，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．（2）∵，∴g（x）具有性質(zhì)M

（4分）由|lnx|=t得，lnx=﹣t或lnx=t，x=e﹣t或x=et，∵t＞0，∴e﹣t＜et，∴，∴，∴，∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣et）2=[2﹣（e﹣t+et）]（et﹣e﹣t）由（1）知，在x∈（0，+∞）上的最小值為1（其中x=1時(shí)）而，故2﹣（e﹣t+et）＜0，et﹣e﹣t＞0，|AB|＜|AC|（7分）（3）∵h(yuǎn)（1）=0，m，n，k均為正數(shù)，∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n（8分）當(dāng)0＜m＜n＜1時(shí)，0＜x＜1，=是減函數(shù)，值域?yàn)椋╤（n），h（m）），h（n）=km，h（m）=kn，∴，∴，∴1﹣n2=1﹣m2故不存在

（10分）當(dāng)1＜m＜n時(shí)，x＞1，=是增函數(shù)，∴h（m）=km，h（n）=kn，∴，∴（1﹣k）m2=1，（1﹣k）n2=1，，不存在綜合得，若不存在正數(shù)m，n，k滿足條件．

（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合新定義，以及利用函數(shù)與方程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．20.已知圓心在第二象限，半徑為2的圓C與兩坐標(biāo)軸都相切．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）求圓C關(guān)于直線x﹣y+2=0對(duì)稱的圓的方程．參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】（Ⅰ）由題意可得所求的圓在第二象限，圓心為（﹣2，2），半徑為2，可得所求的圓的方程．（Ⅱ）先求出圓x2+y2﹣2y=0的圓心和半徑；再利用兩點(diǎn)關(guān)于已知直線對(duì)稱所具有的結(jié)論，求出所求圓的圓心坐標(biāo)即可求出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得所求的圓在第二象限，圓心為（﹣2，2），半徑為2，∴圓的方程為（x+2）2+（y﹣2）2=4；（Ⅱ）設(shè)（﹣2，2）關(guān)于直線x﹣y+2=0對(duì)稱點(diǎn)為：（a，b）則有?a=b=0．故所求圓的圓心為：（0，0）．半徑為2．所以所求圓的方程為x2+y2=4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于會(huì)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，主要利用兩個(gè)結(jié)論：①兩點(diǎn)的連線和已知直線垂直；②兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上21.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).

（1）證明：PB//平面AEC;（2）設(shè)AP=1，AD=,三棱錐P-ABD的體積V=，求A到平面PBC的距離。參考答案：解：（1）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO.因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC,所以PB∥平面AEC.（2）由，可得.作交于。由題設(shè)知，所以。故，又

所以到平面的距離為