2022年湖北省黃石市第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022年湖北省黃石市第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知命題p：函數(shù)在（0，1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；命題q：函數(shù)在上是減函數(shù)，若p且為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．

B．a(chǎn)≤2

C．1<a≤2

D．a(chǎn)≤l或a>2參考答案：C2.已知集合，，則M∩N=A．{－1,0,1,2} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{0,1}

參考答案：C據(jù)題意得：，，.【點(diǎn)睛】先解不等式，化簡(jiǎn)集合M，N，從而可判定集合的包含關(guān)系．

本題以集合為載體，考查集合之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是解不等式化簡(jiǎn)集合．3.已知M（x0，y0）是函數(shù)C：+y2=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若?＜0，則x0的取值范圍是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）參考答案：C【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由橢圓方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合橢圓的方程，即可求出x0的取值范圍．【解答】解：橢圓C：+y2=1，的焦點(diǎn)坐標(biāo)F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），=（﹣﹣x0，﹣y0），=（﹣x0，﹣y0）則?=x02﹣3+y02=﹣2，∵?＜0，∴﹣2＜0，解得：﹣＜x0＜，故答案選：C．4.現(xiàn)有10名學(xué)生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法共有（

）種。A. B. C. D.參考答案：D【分析】采用捆綁法和插空法,將3個(gè)男生看成一個(gè)整體方法數(shù)是種，再排列6個(gè)女生，最后讓所有男生插孔即可.【詳解】采用捆綁法和插空法；從4名男生中選擇3名，進(jìn)而將3個(gè)相鄰的男生捆在一起，看成1個(gè)男生，方法數(shù)是種，這樣與第4個(gè)男生看成是2個(gè)男生；然后6個(gè)女生任意排的方法數(shù)是種；最后在6個(gè)女生形成的7個(gè)空隙中，插入2個(gè)男生，方法數(shù)是種。綜上所述，不同的排法共有種.故選D.【點(diǎn)睛】解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．5.已知銳角滿足，則（

）A． B． C． D．參考答案：C∵銳角滿足，∴也是銳角，由三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得，則，故選C．6.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象與性質(zhì)C4∵將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=cos2（x-）=y=cos(2x-)

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)左加右減，看出三角函數(shù)的圖象平移的方向，再根據(jù)平移的大小確定函數(shù)式中平移的單位，這里的平移的大小，是針對(duì)于x的系數(shù)是1來說的．7.設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對(duì)任意的正數(shù)a，下面不等式恒成立的是

A．

B．

C．

D．參考答案：B8.已知集合，，則A.

B.C.

D.參考答案：C可得，由可知，則為，故選C.9.已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣與垂直，則||=（） A． B． C．2 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角． 【專題】平面向量及應(yīng)用． 【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算先求出，然后根據(jù)向量垂直的條件列式求出x的值，最后運(yùn)用求模公式求||． 【解答】解∵，， ∴2=（3，x），由?3×（﹣1）+x2=0，解得x=﹣，或x=， ∴或，∴||=，或||=． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了運(yùn)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，若，，則?x1x2+y1y2=0． 10.下列函數(shù)中，最小值為4的是()A．y＝x＋

B．y＝sinx＋(0<x<π)

C．y＝4ex＋e－x

D．y＝log3x＋logx3(0<x<1)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為f′（x），若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函數(shù)，則不等式f（x）＜ex的解集為．參考答案：（0，+∞）【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)令g（x）=，由求導(dǎo)公式和法則求出g′（x），根據(jù)條件判斷出g′（x）的符號(hào)，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再由奇函數(shù)的結(jié)論：f（0）=0求出g（0）的值，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，利用g（x）的單調(diào)性可求出不等式的解集．【解答】解：由題意令g（x）=，則=，∵f（x）＞f′（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，∵y=f（x）﹣1為奇函數(shù)，∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，g（0）=1，則不等式f（x）＜ex等價(jià)為＜1=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集為（0，+∞），故答案為：（0，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，奇函數(shù)的結(jié)論的靈活應(yīng)用，以及利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的解題構(gòu)造能力和轉(zhuǎn)化思想．12.運(yùn)行如圖的算法，則輸出的結(jié)果是

參考答案：2513.數(shù)列滿足，且，則首項(xiàng)=___，前項(xiàng)和=_______．參考答案：,.14.設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a5+2a10=0，則的值是．參考答案：考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：設(shè)出等比數(shù)列的公比，由已知求得，代入的展開式后得答案．解答：解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），由a5+2a10=0，得，∵a1≠0，∴．則===．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．15.在中，角所對(duì)的邊分別為，向量與向量相互垂直。若，則的值為

參考答案：16.以40km/h向北偏東30°航行的科學(xué)探測(cè)船上釋放了一個(gè)探測(cè)氣球，氣球順風(fēng)向正東飄去，3min后氣球上升到1km處，從探測(cè)船上觀察氣球，仰角為30°，求氣球的水平飄移速度是km/h．參考答案：20【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】如圖，船從A航行到C處，氣球飄到D處．由題知，BD=1千米，AC=2千米，利用余弦定理求出AB，即可求氣球的水平飄移速度．【解答】解：如圖，船從A航行到C處，氣球飄到D處．由題知，BD=1千米，AC=2千米，∵∠BCD=30°，∴BC=千米，設(shè)AB=x千米，∵∠BAC=90°﹣30°=60°，∴由余弦定理得22+x2﹣2×2xcos60°=（）2，∴x2﹣2x+1=0，∴x=1．∴氣球水平飄移速度為=20（千米/時(shí)）．故答案為20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．17.(09年石景山區(qū)統(tǒng)一測(cè)試)已知函數(shù)和在的圖象如下所示：

給出下列四個(gè)命題：

①方程有且僅有6個(gè)根

②方程有且僅有3個(gè)根

③方程有且僅有5個(gè)根

④方程有且僅有4個(gè)根

其中正確的命題是．（將所有正確的命題序號(hào)填在橫線上）參考答案：①③④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.正項(xiàng)數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足：.

（Ⅰ）求與；

（Ⅱ）令,數(shù)列{}的前項(xiàng)和為.證明:對(duì)于任意的,都有.參考答案：解:（Ⅰ）由,得.由于是正項(xiàng)數(shù)列,所以.

于是，當(dāng)時(shí),.

所以（）

又，

綜上,數(shù)列的通項(xiàng).

（Ⅱ）證明:由于，

則當(dāng)時(shí)，有，

所以，當(dāng)時(shí)，有

又時(shí)，

所以，對(duì)于任意的,都有.

略19.（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D為AC上的動(dòng)點(diǎn)。（I）求五面體A－BCC1B1的體積；（II）當(dāng)D在何處時(shí)，AB1∥平面BDC1，請(qǐng)說明理由；（III）當(dāng)AB1∥平面BDC1時(shí)，求證：平面BDC1⊥平面ACC1A1。參考答案：（Ⅰ）如圖可知五面體是四棱錐，∵側(cè)面垂直于底面，∴正三角形的高就是這個(gè)四棱錐的高，又，．于是．…4分（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D為AC中點(diǎn)時(shí)，∥平面．連結(jié)連結(jié)，∵四邊形是矩形，∴為中點(diǎn)，∵∥平面，平面平面＝DO，∴DO∥AB1，∴D為AC的中點(diǎn)．

……8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知當(dāng)∥平面時(shí)，D為AC的中點(diǎn)．∵△ABC為正三角形，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，由CC1⊥平面ABC，∴，又，∴⊥平面，又平面，∴平面⊥平面．

……12分20.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值；（2）令，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明：.參考答案：（1）

函數(shù)在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，……………3分所以．

……4分（2）因?yàn)?，所以?/p>

……5分因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以在（0，3）上有實(shí)數(shù)解，且無重根，由，有=，（）

……6分又當(dāng)時(shí)，有重根，

……7分綜上

……8分（3）∵，又有兩個(gè)實(shí)根，∴，兩式相減，得，∴,

……10分于是．

……11分．要證：，只需證：只需證：．(*)

……12分令，∴(*)化為，只證即可．在（0，1）上單調(diào)遞增，，即．∴

．……14分21.選修4—1：幾何證明選講已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，連結(jié)DB、DE、OC。若AD＝2，AE＝1，求CD的長(zhǎng)。參考答案：A）解：AD2=AE·AB，AB=4，EB=3

……4分△ADE∽△ACO，

…………