2022年湖南省岳陽市汨羅磊石中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2022年湖南省岳陽市汨羅磊石中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，,則（

） （A）｛0｝ （B）｛-1，,0｝

（C）{0，1}

（D）｛-1，,0，1}參考答案：A2.點(diǎn)P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，其左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線PF1與以原點(diǎn)O為圓心，a為半徑的圓相切于A點(diǎn)，線段PF1的垂直平分線恰好過點(diǎn)F2，則離心率的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理可得|PF2|=|F1F2|=2c，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，由中位線定理可得|MF2|=2a，再由勾股定理和雙曲線的定義可得4b﹣2c=2a，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得a，c的關(guān)系，即可得到雙曲線的離心率．【解答】解：由線段PF1的垂直平分線恰好過點(diǎn)F2，可得|PF2|=|F1F2|=2c，由直線PF1與以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、a為半徑的圓相切于點(diǎn)A，可得|OA|=a，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，由中位線定理可得|MF2|=2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|==2b，即有|PF1|=4b，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a，即2b=a+c，即有4b2=（a+c）2，即4（c2﹣a2）=（a+c）2，可得a=c，所以e==．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查平面幾何中垂直平分線定理和中位線定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．3.如圖，I是全集，M、P、S是I的子集，則陰影部分所表示的集合是A．（M∩P）∩S

B．（M∩P）∪SC．（M∩P）∩（CIS）

D．（M∩P）∪（CIS）參考答案：C略4.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是A. B. C. D.參考答案：A略5.方程的根的個數(shù)為（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個參考答案：C略6.對于任意,函數(shù)表示中的較大者，則的最小值是（

）A2

B3

C8

D參考答案：A略7.定義：“回文”是指正讀反讀都能讀通的句子，它是古今中外都有的一種修辭方式和文字游戲，如“我為人人，人人為我”等．在數(shù)學(xué)中也有這樣一類數(shù)字有這樣的特征，稱為回文數(shù)．設(shè)n是一任意自然數(shù)．若將n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)n1與n相等，則稱n為一回文數(shù)．例如，若n=1234321，則稱n為一回文數(shù)；但若n=1234567，則n不是回文數(shù)．則下列數(shù)中不是回文數(shù)的是（）A．187×16 B．1112 C．45×42 D．2304×21參考答案：C【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡單的合情推理．【分析】分別求出結(jié)果，利用回文數(shù)的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：在A中，187×16=2992，是回文數(shù)；在B中，1112=12321，是回文數(shù)；在C中，45×42=1890，不是回文數(shù)；在D中，2304×21=48384，是回文數(shù)．故選：C．8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)B，設(shè)直線OB與x軸正半軸所成的最小正角為，則等于(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為，由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值，依題有,則，利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，所以依題有,則，所以，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.9.若非零向量的夾角為，且，則的夾角為

（

）

A．0

B．

C．

D．參考答案：D10.已知內(nèi)一點(diǎn)滿足關(guān)系式，則的面積與的面積之比為

（A）

（B） （C）

（D）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對于，將n表示為,當(dāng)時，當(dāng)時為0或1，定義如下：在的上述表示中，當(dāng)，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；（2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項(xiàng)與第m+1個為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù)，則cm的最大值是___.參考答案：（1）3；（2）2.（1）觀察知；；一次類推；；；，，，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值為２.【點(diǎn)評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運(yùn)算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問題.12.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)

．參考答案：

結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則有：.13.已知不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.參考答案：-3<m<5略14.設(shè)函數(shù)，對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.參考答案：略15.里氏震級M的計(jì)算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅，假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍．參考答案：16.圓內(nèi)的曲線與軸圍成的陰影部分區(qū)域記為（如圖），隨機(jī)往圓內(nèi)投擲一個點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域的概率為_________________.參考答案：17.已知平面向量且與的夾角為150°，則（t∈R）的取值范圍是．參考答案：[，+∞）【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】設(shè)=，=，則=﹣，△OAB為等腰三角形，且∠AOB=120°，∠OAB=∠OBA=30°，求得=??cos120°=﹣，再根據(jù)=，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的范圍．【解答】解：∵平面向量且與的夾角為150°，如圖，設(shè)=，=，則=﹣，∴△OAB為等腰三角形，且∠AOB=120°，∠OAB=∠OBA=30°，∴=??cos120°=﹣，∴=====≥，故答案為：[，+∞）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范圍.參考答案：

19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（其中為正常數(shù)，）的最小正周期為．（1）求的值；（2）在△中，若，且，求．參考答案：（1）∵．

………4分來而的最小正周期為，為正常數(shù)，∴，解之，得．

………6分（2）由（1）得．若是三角形的內(nèi)角，則，∴．令，得，∴或，解之，得或．由已知，是△的內(nèi)角，且，∴，，

∴．

…………10分又由正弦定理，得．…………12分20.已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個不同的極值點(diǎn)，，且.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求的最小值，并指出此時的值.參考答案：解：（Ⅰ）∵函數(shù)恰有兩個不同的極值點(diǎn)，，即有兩個零點(diǎn)，∴方程有兩個不同的零點(diǎn)，

……………2分令．，

……………4分當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)，……6分∴在時取得最小值．∴．

…………………7分（Ⅱ）∵，即，∴

…………………9分于是，∴

…………11分∵，∴．∴當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)……………12分∴在上的最小值為，此時.…13分

略21.在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C（，），半徑r=．（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦長|AB|的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；J9：直線與圓的位置關(guān)系；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）先利用圓心坐標(biāo)與半徑求得圓的直角坐標(biāo)方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進(jìn)行代換即得圓C的極坐標(biāo)方程．（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|AB|=|t1﹣t2|，化為關(guān)于α的三角函數(shù)求解．【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐標(biāo)為（1，1），∴圓C的直角坐標(biāo)方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化為極坐標(biāo)方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0

…（Ⅱ）將代入圓C的直角坐標(biāo)方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1?t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦長|AB|的取值范圍是[2，2）…（10分）【點(diǎn)評】本題考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，直線與圓的位置關(guān)系．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進(jìn)行代換即可．22.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且有,點(diǎn)在直線上.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）試比較與的大小,并加以證明.參考答案：（1）；（2）見解析

【知識點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．D1D4解析：(1)當(dāng)時,，解得：

…………………1分

當(dāng)時,，則有，即：∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

……3分∴.

…………………4分(2)∵點(diǎn)在直線上∴.

…………………5分因?yàn)棰?所以②.由①-