江蘇省常州市橫山橋高級(jí)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

江蘇省常州市橫山橋高級(jí)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則下列說法中正確的是A.函數(shù)f(x)的最小正周期是2πB.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C.函數(shù)f(x)在單調(diào)遞增D.函數(shù)f(x)的圖象向右平移后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱參考答案：B【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2.B1、B2是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，O為橢圓中心，過左焦點(diǎn)F1作長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項(xiàng)，則的值是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)列與解析幾何的綜合．【分析】由題意可以先設(shè)出橢圓的方程，因?yàn)檫^左焦點(diǎn)F1作長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于P，所以可以利用橢圓的方程及左焦點(diǎn)F1求出|PF1|=，然后在有|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項(xiàng)得到方程進(jìn)而求出則的值．【解答】解：由題意設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），令x=﹣c得y2=，∴|PF1|=，∴==，又由|F1B2|2=|OF1|?|B1B2|得a2=2bc，∴a4=4b2（a2﹣b2）．∴（a2﹣2b2）2=0．∴a2=2b2．∴=．故選B．3.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是A．a(chǎn)＞c＞b

B．a(chǎn)＞b＞c

C．c＞a＞b

D．b＞c＞a

參考答案：A4.同時(shí)具有性質(zhì)①最小正周期是；②圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③在上是增函數(shù)的一個(gè)函數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期，單調(diào)性，對(duì)稱性．5.古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天織布多少？”根據(jù)上述已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則至少需要（

）A.6天

B.7天

C.8天

D.9天參考答案：C6.已知函數(shù)，若，f(x)的圖象恒在直線y=3的上方，則的取值范圍是(

)A. B. C. D.參考答案：C的圖象恒在直線的上方,即恒成立，當(dāng)k=0時(shí)，的取值范圍是.故答案為：C.

7.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)乘除和乘方【試題解析】

所以z的共軛復(fù)數(shù)為1+i，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（1，1）。

故答案為：A8.設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則

B．若，，則C．若，，則

D．若，，則參考答案：B略9.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：A10.某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備．該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)（

）年后需要更新設(shè)備.A.

10

B.11

C.13

D.

21參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足則的取值范圍是__________．

參考答案：略12.．已知全集,集合，，則∩__________．參考答案：13.模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)x，y，z滿足x+y+z≠0，則的值是

．參考答案：1【考點(diǎn)】A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】分別設(shè)x=cosα+isinα，y=cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ．利用復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出．【解答】解：分別設(shè)x=cosα+isinα，y=cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ．則xy+yz+zx=cos（α+β）+isin（α+β）+cos（γ+β）+isin（γ+β）+cos（α+γ）+isin（α+γ）∴|xy+yz+zx|=，其被開方數(shù)=3+2cos（α﹣β）+2cos（β﹣γ）+2cos（α﹣γ）．同理可得|x+y+z|=，其被開方數(shù)=3+2cos（α﹣β）+2cos（β﹣γ）+2cos（α﹣γ）．∴=1．故答案為：1．14.設(shè)數(shù)列(n＝1，2，3…)的前n項(xiàng)和滿足，且成等差數(shù)列．則參考答案：34由已知，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因?yàn)閍1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2n，15.已知函數(shù)，若，則=

.參考答案：816.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則=

.參考答案：無略17.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生l次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線E：x2=4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)．（1）若原點(diǎn)為O，求△OAB面積的最小值；（2）過A，B作拋物線E的切線，分別為l1，l2，若l1與l2交于點(diǎn)P，當(dāng)l變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．參考答案：【考點(diǎn)】KN：直線與拋物線的位置關(guān)系；K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由題意設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得△OAB面積的最小值；（2）求導(dǎo)，利用點(diǎn)斜式方程，求得求得切線l1，l2的方程，聯(lián)立求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得的值．【解答】解：（1）易知F（0，1）．由題意可知，直線AB的斜率存在，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，將直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣設(shè)A（x1，），B（x2，），則x1+x2=4k，x1x2=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴S△AOB=×丨OF丨|x1﹣x2|=×|x1﹣x2|=×=×≥2，當(dāng)k=0時(shí)，△AOB的面積最小，最小值為2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由x2=4y，得y=，則y′=，∴l(xiāng)1的方程為y﹣=（x﹣x1），即y=﹣．①同理可得l2的方程為y=﹣，②由①②得x==2k，y=﹣=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2k，﹣1），由k∈R，則P點(diǎn)的軌跡方程y=﹣1．19.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，期中，。(Ⅰ)若，求角A；(Ⅱ)求△ABC面積的最大值。參考答案：20.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為，曲線C的方程為，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．參考答案：解：因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為，所以曲線C的圓心為（2，0），直徑為4的圓．因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為，則直線l過A（4，0），傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn)．設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B，則∠OAB=．連結(jié)OB，因?yàn)镺A為直徑，從而∠OBA=，所以．因此，直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為．

21.(本小題滿分12分)已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，在、上分別存在異于點(diǎn)的點(diǎn)、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．參考答案：（I）依題意，可設(shè)橢圓的方程為．

由

∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則，解得∴橢圓的方程為 （II）聯(lián)立方程組，消去整理得 ∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，解得

① ∵原點(diǎn)在以為直徑的圓外，∴為銳角，即．而、分別在、上且異于點(diǎn)，即 設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則

解得

，

② 綜合①②可知： 22.若函數(shù)，.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).參考答案：（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值；（Ⅱ）證明見解析．

.……1分由解得.與在區(qū)間上的情況如下：所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；………………4分在處取得極小值.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上的最小值為.因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而.……8分考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單