2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（福建卷含答案）

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（福建卷，含答案）第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題。每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項切合題目要求的。1．計算sin43cos13-sin13cos43的值等于（）A1B2【答案】A

3233CD22【解析】原式=sin(43-13)=sin30=1，應(yīng)選A。2【命題意圖】此題考察三角函數(shù)中兩角差的正弦公式以及特殊角的三角函數(shù)，考察基礎(chǔ)知識，屬保分題。2．以拋物線y24x的焦點為圓心,且過坐標(biāo)原點的圓的方程為Ax2+y2+2x=0Bx2+y2+x=0Cx2+y2-x=0Dx2+y2-2x=0【答案】D【解析】因為已知拋物線的焦點坐標(biāo)為（1，0），即所求圓的圓心，又圓過原點，所以圓的半徑為，故所求圓的方程為（x-1)2+y2=1，即x2-2x+y2=0，選D?！久}意圖】此題考察拋物線的幾何性質(zhì)以及圓的方程的求法，屬基礎(chǔ)題。3．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若a111,a4a66,則當(dāng)取最小值時,n等于.7C【答案】A【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為，則a4a62a18d2(11)8d6，解得d2，所以Sn11nn(n1)2n212n(n6)236，所以當(dāng)時，取最小值。2【命題意圖】此題考察等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的應(yīng)用，考察二次函數(shù)最值的求法及計算能力。4．函數(shù)（x)=x2+2x-3,x0的零點個數(shù)為f-2+lnx,x>0.1C【答案】C【解析】當(dāng)時，令x22x30解得x3；當(dāng)時，令2lnx0解得x100，所以已知函數(shù)有兩個零點，選C?！久}意圖】此題考察分段函數(shù)零點的求法，考察了分類議論的數(shù)學(xué)思想。5．閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的值等于（）.3C【答案】C【解析】由程序框圖可知，該框圖的功能是輸出使和S121222333i2i11時的的值加1，因為1212221011，12122233311，所以當(dāng)S11時，計算到，故輸出的是4，選C。【命題意圖】此題屬新課標(biāo)新增內(nèi)容，考察認(rèn)識程序框圖的基本能力。6．如圖,若是長方體ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后獲得的幾何體,其中E為線段上異于的點，F(xiàn)為線段上異于的點，且∥，則下列結(jié)論中不正確的是（）．．．A∥B四邊形EFGH是矩形C是棱柱D是棱臺【答案】D【解析】因為∥，∥，所以∥，又平面BCBC，11所以∥平面BCBC11，又平面EFGH，平面EFGH平面BCBC11=，所以∥，故∥∥，所以選項A、C正確；因為A1D1平面ABB1A1，∥，所以平面ABB1A1，又平面ABB1A1，故，所以選項B也正確，應(yīng)選D?！久}意圖】此題考察空間中直線與平面平行、垂直的判斷與性質(zhì)，考察同學(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力。7．若點O和點F(2,0)分別是雙曲線x2y21(a>0)的中心和左焦點,點a2OPFP[3-23,)[323,)[-7,)[7,)F(2,0)a214a2344x2y21(x0,y0)x02y021(x03)y02x021(x03)FP(x02,y)3330OP(x,y)OPFPx(x02)y2x(x2)x0214x022x01x030000003343OPFP4x1x03x03231323OPFP[323,)x-2y+303yx3x4y9028.45C123x4y903x4y9052|31419|a=14a,b,c,dS=a,b,c,dx,ySxySb2=1b+c+d-15c2=bCa=1,b=-1,c=i,d=-ib+c+d=-1+i+-i1h(x)=kx+b(k,b,存在相應(yīng)的x0D,使適當(dāng)xD且xx0時,0f(x)h(x)m則稱直線l:y=kx+b為曲線y=f(x)和總有h(x)g(x)<m,0y=g(x)的“分漸近線”給出定義域均為D=x|x>1的四組函數(shù)如下:①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3;x③f(x)=x2+1,g(x)=xlnx+1;④f(x)=2x2,g(x)=2（x-1-e-x)xlnxx+1其中,曲線y=f(x)和y=g(x)存在“分漸近線”的是A①④B②③C②④D③④【答案】C【解析】經(jīng)剖析容易得出②④正確，應(yīng)選C。【命題意圖】此題屬新題型，考察函數(shù)的有關(guān)知識。二、填空題：11．在等比數(shù)列中,若公比,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式【答案】【解析】由題意知a14a116a121，解得a11，所以通項。【命題意圖】此題考察等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。12．若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如下圖,則其表面積等于【答案】6+23【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為2，高為1的正三棱柱，所以底面積為3423，側(cè)面積為3216，所以其表面積為6+23。24【命題意圖】此題考察立體幾何中的三視圖，考察同學(xué)們識圖的能力、空間想象能力等基本能力。13．某次知識競賽規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪。假定某選手正確回答每個問題的概率都是，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰巧回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于。【答案】C542【解析】由題意知，所求概率為0.820.2=0.128?！久}意圖】此題考察獨立重復(fù)試驗的概率，考察基礎(chǔ)知識的同時，進一步考察同學(xué)們的剖析問題、解決問題的能力。14．已知函數(shù)f(x)=3sin(x-)(>0)和g(x)=2cos(2x+)+1的圖象的對稱軸完全相同。6若x[0,]，則的取值范圍是。2【答案】[-3,3]2【解析】由題意知，2，因為x[0,]，所以2x-[-,5]，由三角函數(shù)圖象知：2666的最小值為3sin(-)=-3，最大值為3sin=3，所以的取值范圍是[-3,3]。6222【命題意圖】此題考察三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考察了數(shù)形聯(lián)合的數(shù)學(xué)思想。15．已知定義域為（0，）的函數(shù)知足：①對隨意x（0，），恒有f(2x)=2f(x)建立；當(dāng)x（1，2]時，f(x)=2-x。給出如下結(jié)論：①對隨意mZ，有m[0，）f(2n+1)=9；②函數(shù)的值域為Z，使得；；③存在n④“函數(shù)在區(qū)間上單一遞減”的充要條件是“存在kZ，使得(a,b)(2k,2k1)”。其中所有正確結(jié)論的序號是。【答案】①②④【解析】對①，因為2m>0，所以f(2m)=0，故①正確；經(jīng)剖析，容易得出②④也正確?！久}意圖】此題考察函數(shù)的性質(zhì)與充要條件，嫻熟基礎(chǔ)知識是解答好此題的重點。三、解答題：16．（本小題滿分13分）設(shè)是不等式

x2

x6

0的解集，整數(shù)

m,n

S

。（1）記使得“

m

n

0建立的有序數(shù)組

(m,n)

”為事件

A，試列舉

A包含的基本事件；（2）設(shè)m2，求的散布列及其數(shù)學(xué)希望?！久}意圖】本小題主要考察概率與統(tǒng)計、不等式等基礎(chǔ)知識，考察運算求解能力、應(yīng)用意識，考察分類與整合思想、必定與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)變思想?！窘馕觥浚?）由x2x60得2x3，即S=x|-2x3，由于整數(shù)m,nS且mn0，所以A包含的基本事件為(2,2）,(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0)。（2）由于的所有不同取值為2,-1,0,1,2,3,所以m2的所有不同取值為0,1,4,9，且有P(=0)=1，P(=1)=2=1，P(=4)=2=1，P(=9)=1，663636故的散布列為014911116336011141119x2y2c=2c=291(a>0,b>0)22'a=463366ab2a=|AF|+|AF|=3+5=8y=3x+ta2=b2+c2b212x2y21y=321612x+t222x+y=116123x2+3tx+t2-12=0（3t)2-43(t2-12)043t43|t|=4t=213213[43,43]ABC-A1B1C11A1ACC1B1BCC1ABC-A1B1C1A1ACC1B1OC(0<90)BCACAA1AA1ACC1BCB1BCC1A1ACC1B1BCC1AA1=2rABC-A1B1C1V1=1ACBC2r2ACBCrAC2BC2=AB2=4r2ACBCAC2+BC2AC=BC=2rV12r32V=r22r=2r3V12r33=1,AC=BC=2rOCAB1OCABO-xyzV2rA1ACC1BC=(r,-r,0)A1ACC1B1OCn=(x,y,z)nOC得rx0x0nOB1ry2rz0y2zB1OCn=(0,-2,1)0<90cos|cosn,BC|=nBC2r10|n||BC|52r5某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時OC103,AC=10,故OC>AC,且關(guān)于線段AC上隨意點P,有OPOC>AC，COD=(0<<90),則在RtCOD中，CD103tan103t10103tancos30t10310103tan103v153,又v30,故sin(+30)3vcos30vcos2sin(+30)30<90,由于30時，tan取得最小330時，t10103tan23303OABOAOBAB20f(x)=x3-x其圖象記為曲線CP1(x1,f(x1))P2(x2,f(x2))P2(x2,f(x2))P3(x3,f(x3))PP,PP與曲線C所圍成關(guān)閉圖形的面積分別記為S,S,則S1為定值；122312S2g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),請給出近似于f(x)=x3-xf'(x)=3x2-13(x-3)(x+3)33x(-,-3)（3，）f'(x)>0x(-3,3)f'(x)<0(-,-3)（3，）333333(-3,32-1)(x-x1)+x32-1)x-2x3,由y(3x12-1)x-2x133-x=3)y=(3x11-x1,即y=(3x11y=x3-xx32-1)x-2x32x=x1或x2x1,故x22x1(3x11(x-x1)（x+2x1)=0S1(x3-3x12x+2x13)dx=27x14x2xS2=27x24x2x02x1x1432421S2=2716x140,S1=1g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)bP1(x1,g(x1))P2(x2,g(x2))4S2163aP2(x2,g(x2))P3(x3,g(x3))P1P2,P2P3與曲線C'所圍成關(guān)閉圖形的面積分別記為S1,S2,則S1為定值.y=g(x)S2（b，g(b))g(x)=ax3+hx(x0)S1=27x14S2=2716x140,S1=11ab13a3a44S216c220x32t,NMNy3x225sin(3,5)0d2a,b,c,d0y52t2f(x)|xa|f(x)3x|1x5f(x)f(x5)m的取值范圍。1）選修4-2：矩陣與變換【命題意圖】本小題主要考察矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考察運算求解能力。c02a1【解析】（Ⅰ）由題設(shè)得2ad0，解得b1；bc02c22bd0d2（Ⅱ）因為矩陣M所對應(yīng)的線性變換將直線變成直線（或點），所以可取直線y3x上的兩（0，0），（1，3），11001112由，得：點（0，0），（1，3）在矩陣M所對應(yīng)11110032的線性變換下的像是（0，0），（-2，2），進而直線y3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像的方程為yx。（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程【命題意圖】本小題主要考察直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程、直線與圓的地點關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考察運算求解能力?！窘馕觥浚á瘢┯?5sin得x2y225y0,即x2(y5)25.（Ⅱ）將的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得(32t)2(2t)25，22即t232t40,由于(32)24420，故可設(shè)是上述方程的兩實根，所以t1t232,又直線l過點P(3,5),故由上式及t的幾