狀態(tài)空間表達(dá)式的解

關(guān)于狀態(tài)空間表達(dá)式的解控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解第1頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解(見(jiàn)第三章和第四章)第2頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解第3頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解第4頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解第5頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解§2-1線性定常齊次狀態(tài)方程的解----自由解

所謂齊次方程解，也就是系統(tǒng)的自由解，是系統(tǒng)在沒(méi)有控制輸入的情況下，由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動(dòng)，其狀態(tài)方程為：其唯一確定的解為:若t0=0,則有eAt為一矩陣指數(shù)函數(shù)，它是一個(gè)n×n的方陣第6頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解矩陣指數(shù)函數(shù):§2-2矩陣指數(shù)函數(shù)----狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣從可看出:形式上是一個(gè)矩陣指數(shù)函數(shù)，且也是一個(gè)各元素隨時(shí)間t變化的n×n矩陣。但本質(zhì)上，它的作用是將時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)矢量轉(zhuǎn)移到t時(shí)刻的狀態(tài)矢量也就是說(shuō)它起到了系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的作用，所以我們稱之為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(TheStateTransitionMatrix)，并記：……

由此若已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和初始狀態(tài),即可求的任意時(shí)刻的狀態(tài).第7頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解***狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)****性質(zhì)1：組合性質(zhì)

性質(zhì)2：性質(zhì)3：轉(zhuǎn)移矩陣的逆意味著時(shí)間的逆轉(zhuǎn)第8頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解性質(zhì)4：性質(zhì)5：對(duì)于n階方陣A和B,當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA:即A,B可交換時(shí),有:、

證明過(guò)程見(jiàn)現(xiàn)代2--P6證明過(guò)程見(jiàn)現(xiàn)代2--P6可用來(lái)從給定的矩陣中求出系統(tǒng)矩陣A

第9頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解***幾個(gè)特殊的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣****1.若A為對(duì)角陣2.若A能夠通過(guò)非奇異變換對(duì)角化,即:存在T使則則證明過(guò)程見(jiàn)現(xiàn)代2—P8證明過(guò)程見(jiàn)現(xiàn)代2—P9第10頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解3.若A為Jordan矩陣.即:則證明過(guò)程見(jiàn)現(xiàn)代2—P9第11頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解***狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算****1.根據(jù)定義直接計(jì)算:2.利用拉普拉斯反變換對(duì)兩邊取拉氏變換，得：拉氏反變換，得：第12頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解3.變換A為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型(1)A的特征根互異:存在非奇異變換陣T使A成為對(duì)角陣第13頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解(2)A的特征根有重根:存在非奇異變換陣T使A成為Jordan型第14頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解4.應(yīng)用凱萊-哈密爾頓定理(Cayley－Hamilton)求eAT考慮nXn維矩陣A及其特征方程:凱萊-哈密爾頓定理指出:矩陣A滿足其自身的特征方程,即:由此可得:其中αi(t)可計(jì)算如下:第15頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解(1)A的特征值互異時(shí):第16頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解(2)A的特征值為重根時(shí):第17頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解Example:1.Example:2.第18頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解§2-3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解線性定常非齊次狀態(tài)方程為：從物理意義上看，系統(tǒng)從時(shí)刻的初始狀態(tài)開(kāi)始，在外界控制的作用下運(yùn)動(dòng)。要求系統(tǒng)在任意采用類似于齊次標(biāo)量定常微分方程的解法，上式可寫成：時(shí)刻的狀態(tài),則必須求解上述微分方程。第19頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解兩邊同時(shí)左乘，得：根據(jù)矩陣微積分知識(shí)，上式進(jìn)一步有：兩邊同時(shí)在區(qū)間積分，得：兩邊同時(shí)左乘并整理得：即：

第20頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解，當(dāng)初始時(shí)刻為t0=0時(shí),初始狀態(tài)x(t0)=x(0)時(shí),其解為:當(dāng)初始時(shí)刻為t0時(shí),初始狀態(tài)x(t0)時(shí),其解為:第一部分是在初始狀態(tài)作用下的自由運(yùn)動(dòng)，的作用下的強(qiáng)制運(yùn)動(dòng)。第二部分為在系統(tǒng)輸入第21頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解在特定控制作用下,如脈沖函數(shù),階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)的激勵(lì)下,系統(tǒng)的全響應(yīng)解可以簡(jiǎn)化為一些公式:1.脈沖函數(shù)2.階躍函數(shù)3.斜坡函數(shù)第22頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解1脈沖信號(hào)輸入，即：時(shí)即：第23頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解2階躍信號(hào)輸入，即

……

第24頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解【例2－8】求下列狀態(tài)方程在單位階躍函數(shù)作用下的輸出：解：根據(jù)上面的式子其中，K=1第25頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解在例2－6中已求的：第26頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解其狀態(tài)軌跡圖可以MABLAB方便地繪出，如圖所示：%ExampleExample2-8grid;xlabel('時(shí)間軸');ylabel('x代表x1，----*代表x2');t=0:0.1:10;x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);x2=exp(-t)-exp(-2*t);plot(t,x1,'x',t,x2,'*')end第27頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解§2-4線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性時(shí)變系統(tǒng):1.齊次方程的解:2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì):一般不可交換第28頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解3.線性時(shí)變系統(tǒng)非齊次方程的解若的A(t)和B(t)的各元素在時(shí)間區(qū)間內(nèi)分段連續(xù),則有:4.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算:第29頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解第30頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解§2-5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解離散時(shí)間狀態(tài)方程求解一般有兩種方法：遞推法（迭代法）和Z變換法。前者對(duì)定常、時(shí)變系統(tǒng)都適用，而后者只適用于定常系統(tǒng)。我們只介紹遞推法。對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程：依次取得：第31頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解當(dāng)初始時(shí)刻為h時(shí)，同理可推出：或:離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:第32頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解例2-11:離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:我們可以在MATLAB中，直接通過(guò)遞推法求出各值X=[1;1];U=1;G=[01;-0.16-1];H=[1;1];fork=0:400X=G*X+H*Uplot(X(1),X(2),'o');end第33頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解§2-6連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化

數(shù)字計(jì)算機(jī)處理的是時(shí)間上離散的數(shù)字量，如果要采用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行控制，就必須將連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化。另外，在最優(yōu)控制理論中，我們經(jīng)常要用離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃法對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化控制，同樣也需要先進(jìn)行離散化。設(shè)連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：系統(tǒng)離散化的原則是：在每個(gè)采樣時(shí)刻，其中T為采樣周期）系統(tǒng)離散化前后的保持不變。而采樣的方法是在t=kT時(shí)刻對(duì)U(t)值采樣得U(kT)，并通過(guò)零階保持器，使的值在時(shí)間段保持不變。第34頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解根據(jù)上述離散化原則，我們有離散化后的動(dòng)態(tài)方程為：上述輸出方程應(yīng)該很容易理解，它表示kT時(shí)刻離散系統(tǒng)的輸出Y(kT)和輸入U(xiǎn)(kT)及其系統(tǒng)狀態(tài)量X(kT)的關(guān)系，它應(yīng)該與離散化前的關(guān)系一樣。下面我們根據(jù)離散化原理求出離散系統(tǒng)狀態(tài)方程，即求出

其中：近似計(jì)算:T<0.1τ時(shí):G=TA+I;H=TB第35頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解【例2－13】試將下列狀態(tài)方程離散化解：第36頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解

第37頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解在MATLAB中，語(yǔ)句C2D可直接求出連續(xù)系統(tǒng)的離散化方程。%Example3-8ContinuoustodiscretesystemA=[01;0-2];B=[0;1];T=0.01[G,H]=c2d(A,B,T)end運(yùn)行結(jié)果為：G=1.00000.009900.9802H=

0.00000.0099第38頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解應(yīng)掌握的內(nèi)容：矩陣指數(shù)函數(shù)的定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義及性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法由定義計(jì)算使用約旦標(biāo)準(zhǔn)型拉氏變換使用凱萊-哈密爾頓定理線性定常非齊次狀態(tài)方程