直線與圓錐曲線(五)(垂直問題)

F2,01F2,01直線與圓錐曲線（五）（垂直問題）．已知橢圓的兩個焦點分別為

6.1（）橢圓的準(zhǔn)方程2）已知過點

且斜率為1的線交橢圓于A、兩點，試探究原點是否在以線段AB

為直徑的圓上.．圓

xy（2

）的左、右焦點分別為

12

，過橢圓中心的弦PQ滿，Q2

0

，且

2

的面積為1.（）橢圓的程；（）線

l

不經(jīng)過點

M,N

兩點，若以

MN

為直徑的圓經(jīng)過點

，求證：直線l過點，并求出該定點的坐.2xy．已知離心率為的圓C:0)過F分別2a22為橢圓的左、焦點，過的直線l1

與C交于B兩點，且S

ABF

435

.（）求橢圓的程；（2）求證以為直徑的圓坐標(biāo)原點.已橢圓

C

：

x2b2

的左焦點為

程為

.（）橢圓

C

的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線

l

交橢圓

C

于A

兩點.①若直線l經(jīng)橢圓的焦點F，軸于點，滿足AF

，BF

求證：

為定值；②若OB（為原點），求面的取值范圍．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中已知橢圓

x220)2

過點(2，，心率為

．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直l:y

與橢圓相交于兩點異點A，線段BC被y平分，且

，求直線l的方程．答案第1頁，總21

．知橢圓

C

x2

，其離心率

63

，橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為

3

.

程；

且斜率為直線l與圓交于不同兩點B,

O

為坐標(biāo)原點，若

為銳角，求直線l斜的取值范圍．經(jīng)過原點的直線與橢:

x2a交A、兩，P為橢圓上2不同于、B的點，直線PA、的率均存在，直線PA、PB的率之積為1.4（）求橢圓的心率；（）設(shè)、分別為橢圓的左、右焦點，斜率為k的線l經(jīng)過橢圓的右點，且1與橢圓交于、N兩.若點在MN為直徑的內(nèi)部，求的值范圍.1已點P點、別為橢圓是等腰直角三角形，且.

的左右頂點直線

交于點，（Ⅰ求的程Ⅱ設(shè)過點的直線與相交于、兩點當(dāng)標(biāo)原點位于以直徑的圓外時，求直線斜的取值范.

為．如圖所示，橢圓E的心為坐標(biāo)原點，焦點

1

在

軸上，且

1

在拋物線

y

的準(zhǔn)線上，點

是橢圓E上的個動點，

PFF12

面積的最大值為

.（Ⅰ）求橢圓E的程；（Ⅱ）過焦點

,12

作兩條平行直線分別交橢圓E于,C,

四個點①試判斷四邊形

能否是菱形，并說明理由；

2222②求四邊形面的最大.．如圖，在平面直角標(biāo)系

中，橢圓

E:

x2

的焦距為

，且過點

62

（）橢圓E

的方程；（點,B

分別是橢圓E

的左右頂點線l經(jīng)點B

且垂直于

軸，點P是圓上異于AB的意一點，直線AP交l點M.①設(shè)直線

OM

的斜率為

k1

，直線BP

的斜率為

k2

，求證：

kk12

為定值；②設(shè)過點M

垂直于PB

的直線為

m

，求證：直線

m

過定點，并求出定點的坐.．已知

F、F1

是橢圓

E:

x2

的左、右焦點，橢圓E

的離心率為，的方程；過原點O的線交橢圓于C、D兩，若四邊形（1求橢圓E

1

的面積最大值為．（2若直線l與圓E

交于,且OAOB，證：原點到直線l的離為定值．12已知直線l

：ykx與軸交點是橢圓C：

y2m

m0)的一個焦點(1)求橢C的程；(2)若直線l

與橢圓交于A、B兩，是否存在k

使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O？存在，求出

的值；若不存，請說明理由．13已知橢圓

x2b2

的離心率

，左右焦點分別為

,1

是橢圓在第一象限上的一個動點

C

與

A1

的延長線，

12

的延長線以及線段

AF2

都相切，M

為一個切點（）橢圓方程；（）設(shè)

,0

，過

2

且不垂直于坐標(biāo)軸的動點直線

l

交橢圓于P

兩點，若以NPNQ

為鄰邊的平行四邊形是菱形，求直線l方.答案第3頁，總21

2AB2222222AB22222214在平面直角坐標(biāo)，已知橢圓(的焦點為F(，經(jīng)ab過點(1，)．

y

B（1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

F（2）已知橢圓的弦過，且與軸不垂直A若為上的一點，DA，求的．DF

Dx變設(shè)線（m0與雙曲線-＝1(ab兩條漸近線分別交于點A，若點（-m，0）滿足，該雙曲線的漸近線方為_

x615已橢圓C＋＝a＞b＞0)的兩個焦點分別為F(－F離心率為.b23過點的直線l(斜率不為0)與橢圓交B兩點段的點為DO為標(biāo)原點，2直線OD交圓于，兩．(1)求橢圓C的程；(2)當(dāng)四邊形NF為形時，求直線l的程．12

22參答．（1）

9

2

；（2）見解析【解析】試題分析（）據(jù)c2,2a

，焦點在

軸得到橢圓方程；）線

的方程為x

與橢圓方程練了練，若滿足條件，有

xy1

，代入根與系數(shù)的關(guān)系，看是否滿足

OA

試題解析：1）根據(jù)題意得：∴橢圓方程為y.9

，，以b，（）

A1

2

，直線AB

的方程為yx

，2由{得

0

，x

則

x2

1827，xx510

，∴

OAxy22121

273655

，∴原點

不在以線段AB

為直徑的圓.【點睛】本題考查了求橢圓方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系解決幾何問題，利ab,e的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，本題的難點是如何將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)法解決的問題，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析.．（1）

2

2

1（）點0,3【解析】試題分析：（1）PF2

PFQF1

為矩形

FFc1

，

PFF

PFQ

21

，又

PF1

，得

b2

，由此即可求出橢圓的方程；（2）{

，得到韋達定理，可得

·12

，可得

m2m答案第5頁，總21

2221122211又直線不經(jīng)過試題解析：

結(jié)果.（）2

PFQF12

為矩形

FFc1

PFF

PFQ

21又

PF1

，得

2

2

橢圓方程：

2

2

（）{

km2,xxk2k2AM·AN3m2m0又直線不經(jīng)過．（Ⅰ）2

，（Ⅱ）見解析

13

1，定點0,3

.【解析】試題分析：(1)利用離心率結(jié)合橢圓所過的點得到關(guān)系b的方程組解方程組即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)分類討論，當(dāng)斜率不存在的時候單獨考查，當(dāng)斜率存在的時候設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達定理和平面向量的結(jié)論證得試題解析：

即可.（Ⅰ）點F，分別為橢圓左右焦點，橢圓的方程1

x；22由離心率為

22

得：

2；

1212112k321212112k32過點

11；222所以，a2，b

；橢圓方程為

2

2

；（Ⅱ）由（）y121；當(dāng)直線l的斜率不存在，直線方程為l:

By2

；此時，S

ABF

2，不滿足；設(shè)直線方程為ly代入橢圓方程：

2

k

2

2

k

4

2

k2韋達定理：x，x·2

k2

；所以，x

2k

，y＝k12

2

－k(x＋x＋＝；＋k所以，x12

k2

；點到直線l的離為d

k

；所以，由

ABF

5

得：

；kxy1OA所以，以為直徑的圓過坐標(biāo)原點．(1)

2

;(2)證明見解析；②.

,

.【解析】試題分析：（）根左焦點坐標(biāo)得

，根據(jù)

左準(zhǔn)線方程得

a

，解方程答案第7頁，總21

212212組a

2

，

2

，（2）①以算代證：即利用

11

By22

坐標(biāo)表示

根據(jù)直線l

的

方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理化簡

定值，②AOB的面積

2

，因此根據(jù)直線OAl的方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理及弦長公式（OA斜率表示），同理可得代入面積公式化簡可得S

.最后利用二次函數(shù)方法求值域討斜率不存在的情形試題解析：解：1）由題設(shè)知c，

a2

，a22

，

2

2，

2

a

2

2

，C：.2（）由題設(shè)知直線

l

的斜率存在，設(shè)直線

l

的方程為

y

.設(shè)

y11

By22

，直線

l

代入橢圓得

2

k

2

，整理得，2x

2

，

12

2k

2

，

1

2k12

.由

AF

，BF知1，，112

xx1x112

2421k122211k1k2

（定值）.②當(dāng)直線，OB分與坐標(biāo)軸重合時，易AOB面積，當(dāng)直線，OB的率均存在且不為零時，設(shè)：y，：

y

1k

x

，設(shè)

y112

，將y代入橢圓C得

2

k2x

2

，

2

k2k22，y2，理x，2，k222

13231323AOB

的面積

S

OA

.令t

S

t2

1tt

，令

ut

12

.綜上所述，

2S,

.點睛點值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么定值”是多少或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題證明該式是恒定的.定點值問題同證明問題類似在求定點值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn)．（1）

x22

（）

y【解析】試題分析：（）離率知e

ca2

，橢圓過點，，入橢圓方程41a2

，可解得b

.(2)由題意可得直線BC一定過點，即m=0,設(shè)B

，代入橢圓方程得

x

81

，又ABAC，

代入坐標(biāo)運算可解得k.試題解析：（Ⅰ）由條件知橢圓

xy0)2b2

離心率為

2

，所以

b

14

a

．又點(2，1)在橢圓

x220)2

上，答案第9頁，總21

2323所以

41a2b

，

解得

{

所以，所求橢圓的方程為

xy2

．（Ⅱ）將

y，

2

，整理，得m2

．①由線段被軸分，得

xB

81k

，因為，以m因為當(dāng)

時，B關(guān)原點對稱，設(shè)

B

，由方程①，得

x2

81k

，又因為所

以

，，，

2

2

，所以

k

12

．由于

k

111時，直線x過(2，1)，故不合題設(shè)．22所以，此時直線l的程

y

12

x

．．（1）

3

2

3939（2）【解析】試題分析：1）由橢的第一定義可知

a3

，再由離心率

ca

，可求得ab

。

222233（（得橢圓方程

3

2

設(shè)直線l的程為，Ay1122

由

為銳角，得

>0且平行，即

xy121

>0,所以讓直線方程與橢圓方程組方程組，消去得于x的程，由韋達定理及判別式范圍，可解得k范圍。試題解析：

3

2

程kx

，

A122

聯(lián)立

{

kx3

，得

2

2

則

xx2

129xx0解得k3k3kOA,yOBx12

xy121121解得

213k23

k2

kk1

133

，即

3939,．（1）

47;（）471【解析】試題分:先用差法由直線PAPB斜率之積為得a之關(guān),4再解出離心,(2)點在以MN為直徑的圓內(nèi)部價F11111可轉(zhuǎn)化為

、

兩點橫坐標(biāo)和與積的關(guān)系.將線

l

方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去y得關(guān)于

的一元二次方程，利用韋達定理得

、

兩點橫坐標(biāo)和與積關(guān)于

k

的關(guān)系式，代入

·N1

，解不等式可得

k

的取值范圍試題解析（）設(shè)A1

10

、、P

三點均在橢圓，答案第11，21頁

ck22ck22∴

xy200，b2ab

，∴作差得

x10

x10

y1

y1

，∴·kPA

PB

yyyyb22·xx2a10

，3∴e.2（）設(shè)F12

，直線l

的方程為yy34

∵e

32

，∴a

2

2

,

2

2，聯(lián)立{

4

得

2

ck

2

c

2

2

2

，

，∴{

x3

2324c2k2c2k2b22

2

，當(dāng)點在以MN為徑的圓內(nèi)部時，F(xiàn)MFN11134∴3

3

2，4得

4c2k

解得.47．(Ⅰ);Ⅱ）【解析】試題分析:（）由

為等腰直角三角形得，

可得坐，代入橢圓方程得

，進而得的程；（2）可設(shè)直的方，聯(lián)立，根與系數(shù)的關(guān)系

可得

的值，因為在

外，得參數(shù)的取值范圍。（Ⅰ）由

是等腰直角三角形，得

，，設(shè)，則由

，得，代入橢圓方程得

，所以的方程為，（Ⅱ）依題意得，直線的率存在，方程設(shè)為

，聯(lián)立

消去并理得：（），因直線與有個交點，即方程*有不等的兩實根，故，得，設(shè)，，根與系的關(guān)系得由坐標(biāo)原點位以為直徑的圓外，又由解得，綜上可得，或.則滿足條件的斜率的取值范圍為.

，

，答案第13，總21頁

．（Ⅰ）

x2

；（Ⅱ(i)

ABCD

不能為菱形；ii），取ABCD大值【解析】試題分析：（Ⅰ）待定系數(shù)法，利用焦點在已知拋物線的準(zhǔn)線上，可

值，再由點P

在短軸頂點時

F1

面積的最大得由,,

關(guān)系得a可求得標(biāo)準(zhǔn)程）易判斷函數(shù)不可能平行于

x

軸計算方便可令方程為xmy

橢圓方程聯(lián)立消去

x

，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得A

兩點縱坐標(biāo)間的關(guān)系，①四邊形ABCD為形，對角線互相垂直，則

O

，轉(zhuǎn)化為關(guān)于方程，無線，可證四邊形不是菱形．②同樣利用標(biāo)和面積公式，用m表示出四邊形的面．再利用函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值．試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2b2焦點在物線1

2

x的線x

上，c當(dāng)點

在短軸頂點時

12

面積最大，此時

S

PF

1=2b3,a

2

2

2

橢方程為

xy23（Ⅱ）(i)由I）知

1

（-1，）直線AB不平行于軸所以設(shè)直線AB的程為my設(shè)

A1由{y43

得

my2

6my32m2連結(jié)OA,，若ABCD為形，則OA，xy1

又x111122

3

2

顯然方程無解，所以ABCD不為菱形（）知四邊形

為平行四邊形，則

S

，而

S

12

OFy12又因為

OF1

，

S

OF

y2

yy2

2

24

m2

24

m

設(shè)t，則t

11tt

在

上是增函數(shù)，所以，當(dāng)時S

取最大值6，此時

2

即點睛：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性,直線與橢圓的位置關(guān),基本不等式,及韋達定理的應(yīng)用.解幾何大題的一問一般都是確定曲線的方程常見有求參數(shù)確定方程和求軌跡確定方程,第二一般為直線與橢圓的位置關(guān)系,解決類問題一般需要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想化給出的條件,可將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系,從建立方程或者不等式來解決.10（）

xy3

；（2）見解析.【解析】試題分析：1）根據(jù)條件列方程組

，解得b32

，（2）①設(shè)

00

，則可由直線交點得

M

4yx

，再根據(jù)斜率公式化簡

kk12

，最后利用點P在圓上得定值先求點為

再根據(jù)點斜式寫出直線方最后令y=0答案第15，總21頁

yx22myx22m解得x=-1.試題解析：1）由題意橢圓

xyE:a22

的焦距為2，且過點

2,

62

，所以2

，解得a3

，所以橢圓E的準(zhǔn)方程為

x2

.（）設(shè)

Py00

AP

的方程為0x0

，令

x

得

4M

，因為1

20，因為k0xx0

，所以

kk12

y0x0

，因為

Py00

所

xy00

，所以

k

32

為定值，y②直線BP斜率為k，線斜率為k1，x11則直線

m

x的方程為y1

0

21y1

4x1xy11

，所以直線

過定點

.點睛：求值問題常見的方法有兩種(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．2．定點的探索與證明問題(1)探直線過定點時，可設(shè)出直線方程為y

，然后利用條件建立,b

等量關(guān)系進行消元，借助于直線系的思想找出定點．(2)從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關(guān)．．（）

x2

（）解析【解析】試題分析：1）四邊形

12

面積最大值為

，所以根據(jù)a,b,c的程組解出

（先

lAy12

利用直線方程與橢圓方程聯(lián)

11立方程組，結(jié)合韋達定理以及

，得

127

直線距離公式可得

d

1

2217

驗斜率不存在的情.試題解析解1由圓的離率為

1c知，,a∴b22

2

a

2

2

2

，∴c

，又四邊形

1

面積最大值為

23

，∴

c

2

，∴a

，所以橢圓E

的方程為

x2

；（2當(dāng)直線

l

的斜率

k

存在時，設(shè)

l:yy12

，由{

ykxx

得

2

2

kmxm

2

，所以

x1

2,x3k2

，因為

OA

，所以

，即xy122

2

228km271?2k32

2

，所以

m

127

O

到直線

l

的距離

d

m1

2217

；當(dāng)直線

l

的斜率不存在時，設(shè)直線

l

的方程為

x

，則

32

,Bm

32

2

，由

得m

2

，解得

m

2，所以此時原點到線l的離為．7綜上可知，原點

到直線

l

的距離為定值

．12（）

24

2

（）

答案第17，總21頁

1313【解析】【試題分析】（１）依據(jù)題設(shè)條件先焦半距即可獲解；（２）借助題設(shè)及直線與橢圓的位置關(guān)系，運用向量的數(shù)量積公式建立方程分析求解：（Ⅰ）因為直l：3與y軸交點坐標(biāo)為F所以橢圓：

y2m

m0)的一個焦點坐標(biāo)為F，所以橢圓的焦距c3，以m，故所求的方程為

4

2

．(

將直線l的方程y3代入

24

2并整理得

2

.設(shè)點112

，則1

231，xxkk

．假設(shè)以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過標(biāo)原點OA

xx122

．又yyxx12

2k2，解得k2

112

，經(jīng)檢驗知：此（）式

，適合題意故存在k

112

，使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)點O．13（）

4

2

（）y

【解析】試題分析：（1）為角形AF12

內(nèi)切圓，由內(nèi)切圓性質(zhì)及橢圓定義得由c

，可知cb

（）NQ

為鄰邊的平行四邊形是菱形以

NQ·PQ設(shè)xy,,122

，

l

方程為yx3

則可得坐標(biāo)之間關(guān)系，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理代入坐標(biāo)關(guān)系化簡可得

k

2xyyx122xxy3,2222xyyx122xxy3,222AB92試題解析：解：1）設(shè)圓

C

與

A1

的延長線切于點

，與線段

AF

2

切于點D

，則,DFFM,AFAFa,AFADDF2111

，F(xiàn)MF2a,MFMF12

，故

，由c

，可知cb

，橢圓方程為

4

2

.（）

l

方程為

y

，代入橢圓方程可得

2

2

2

k

2

，

設(shè)

Px1

1

，y則2k3k11

，以

為鄰邊的平行四邊形是菱形，

33NQPQNPNQ,y831k

1k

，

的方向向量為

，832，l方程為21k21k22

.14．平面直角坐標(biāo)系xOy中已知橢圓(的焦點為F(，經(jīng)ab過點(1，)．

y

B（1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

F（2）已知橢圓的弦過，且與軸不垂直A若為上的一點，DA，求的．DF

D（第17題）【解】（）方法一：由題意，得解得

4b，

??3分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．?答案第19，總21頁

2x，x2k0