河南省鶴壁市淇濱高級中學2023年高三調(diào)研測試(二)數(shù)學試題理試題_第1頁
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文檔簡介

河南省鶴壁市淇濱高級中學2023年高三調(diào)研測試(二)數(shù)學試題理試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z滿足(其中i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z的虛部是()A. B.1 C. D.i2.已知數(shù)列對任意的有成立,若,則等于()A. B. C. D.3.在復平面內(nèi),復數(shù)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.函數(shù)(),當時,的值域為,則的范圍為()A. B. C. D.5.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.若點(2,k)到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或7.設全集,集合,,則()A. B. C. D.8.在中,點為中點,過點的直線與,所在直線分別交于點,,若,,則的最小值為()A. B.2 C.3 D.9.橢圓是日常生活中常見的圖形,在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水,將杯體傾斜一個角度,水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米,底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯,且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略不計),在玻璃杯傾斜的過程中(杯中的水不能溢出),杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.10.函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點,則a的值為()A.3 B.-3 C.2 D.-211.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.復數(shù)的共軛復數(shù)是C. D.12.函數(shù)()的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若變量,滿足約束條件則的最大值是______.14.某四棱錐的三視圖如圖所示,那么此四棱錐的體積為______.15.某班有學生52人,現(xiàn)將所有學生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學生在樣本中,則樣本中還有一個學生的編號是__________.16.已知,是互相垂直的單位向量,若與λ的夾角為60°,則實數(shù)λ的值是__.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐的底面ABCD是正方形,為等邊三角形,M,N分別是AB,AD的中點,且平面平面ABCD.(1)證明:平面PNB;(2)問棱PA上是否存在一點E,使平面DEM,求的值18.(12分)已知函數(shù)(1)若,試討論的單調(diào)性;(2)若,實數(shù)為方程的兩不等實根,求證:.19.(12分)設函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個零點,().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.20.(12分)如圖,點為圓:上一動點,過點分別作軸,軸的垂線,垂足分別為,,連接延長至點,使得,點的軌跡記為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點,分別位于軸與軸的正半軸上,直線與曲線相交于,兩點,且,試問在曲線上是否存在點,使得四邊形為平行四邊形,若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.21.(12分)如圖,在正三棱柱中,,,分別為,的中點.(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成二面角銳角的余弦值.22.(10分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實數(shù),使得,求證:

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)可得,則答案可求.【詳解】解:∵,∴,,則化為,∴z的虛部為.故選:A.【點睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)、復數(shù)的概念,屬于基礎題.2、B【解析】

觀察已知條件,對進行化簡,運用累加法和裂項法求出結(jié)果.【詳解】已知,則,所以有,,,,兩邊同時相加得,又因為,所以.故選:【點睛】本題考查了求數(shù)列某一項的值,運用了累加法和裂項法,遇到形如時就可以采用裂項法進行求和,需要掌握數(shù)列中的方法,并能熟練運用對應方法求解.3、B【解析】

化簡復數(shù)為的形式,然后判斷復數(shù)的對應點所在象限,即可求得答案.【詳解】對應的點的坐標為在第二象限故選:B.【點睛】本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎題.4、B【解析】

首先由,可得的范圍,結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像,可求的關(guān)于實數(shù)的不等式,解不等式即可求得范圍.【詳解】因為,所以,若值域為,所以只需,∴.故選:B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域,熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).5、D【解析】

通過列舉法可求解,如兩角分別為時【詳解】當時,,但,故充分條件推不出;當時,,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應用,屬于基礎題6、D【解析】

由題得,解方程即得k的值.【詳解】由題得,解方程即得k=-3或.故答案為:D【點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式,意在考查學生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點到直線的距離.7、D【解析】

求解不等式,得到集合A,B,利用交集、補集運算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選:D【點睛】本題考查了集合的交集和補集混合運算,考查了學生概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.8、B【解析】

由,,三點共線,可得,轉(zhuǎn)化,利用均值不等式,即得解.【詳解】因為點為中點,所以,又因為,,所以.因為,,三點共線,所以,所以,當且僅當即時等號成立,所以的最小值為1.故選:B【點睛】本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.9、C【解析】

根據(jù)題意可知當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時,水面邊界所形成橢圓的離心率最大,由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時橢圓的離心率,進而確定離心率的取值范圍.【詳解】當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時,水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時橢圓長軸長為,短軸長為6,所以橢圓離心率,所以.故選:C【點睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡單應用,屬于基礎題.10、A【解析】

求出,對分類討論,求出單調(diào)區(qū)間和極值點,結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征,即可求解.【詳解】,若,,在單調(diào)遞增,且,在不存在零點;若,,在內(nèi)有且只有一個零點,.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)的零點、導數(shù)的應用,考查分類討論思想,熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.11、D【解析】

首先求得,然后根據(jù)復數(shù)乘法運算、共軛復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)除法運算對選項逐一分析,由此確定正確選項.【詳解】由題意知復數(shù),則,所以A選項不正確;復數(shù)的共軛復數(shù)是,所以B選項不正確;,所以C選項不正確;,所以D選項正確.故選:D【點睛】本小題考查復數(shù)的幾何意義,共軛復數(shù),復數(shù)的模,復數(shù)的乘法和除法運算等基礎知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想.12、C【解析】

對x分類討論,去掉絕對值,即可作出圖象.【詳解】故選C.【點睛】識圖常用的方法(1)定性分析法:通過對問題進行定性的分析,從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢,利用這一特征分析解決問題;(2)定量計算法:通過定量的計算來分析解決問題;(3)函數(shù)模型法:由所提供的圖象特征,聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型,利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、9【解析】

做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形,即可求出的最大值.【詳解】做出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,目標函數(shù)過點時取得最大值,聯(lián)立,解得,即,所以最大值為9.故答案為:9.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標函數(shù)的最值,屬于基礎題.14、【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀,然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖:此四棱錐的高為,底面是長為,寬為2的矩形,所以體積.所以本題答案為.【點睛】本題考查幾何體與三視圖的對應關(guān)系,幾何體體積的求法,考查空間想象能力與計算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準確理解幾何體的定義,真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在幾何模型中進行判斷.15、18【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【詳解】解:根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡單題.16、【解析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義,列出方程解方程即可求出λ的值.【詳解】解:由題意,設(1,0),(0,1),則(,﹣1),λ(1,λ);又夾角為60°,∴()?(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【點睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運算問題,是中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)存在,.【解析】

(1)根據(jù)題意證出,,再由線面垂直的判定定理即可證出.(2)連接AC交DM于點Q,連接EQ,利用線面平行的性質(zhì)定理可得,從而可得,在正方形ABCD中,由即可求解.【詳解】(1)證明:在正方形ABCD中,M,N分別是AB,AD的中點,∴,,.∴.∴.又,∴,∴.∵為等邊三角形,N是AD的中點,∴.又平面平面ABCD,平面PAD,平面平面,∴平面ABCD.又平面ABCD,∴.∵平面PNB,,∴平面PNB.(2)解:存在.如圖,連接AC交DM于點Q,連接EQ.∵平面DEM,平面PAC,平面平面,∴.∴.在正方形ABCD中,,且.∴,∴.故.所以棱PA上存在點E,使平面DEM,此時,E是棱A的靠近點A的三等分點.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理,考查了學生的推理能力以及空間想象能力,屬于空間幾何中的基礎題.18、(1)答案不唯一,具體見解析(2)證明見解析【解析】

(1)根據(jù)題意得,分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性;(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),得,參變分離得,分析不等式,即轉(zhuǎn)化為,設,再構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)得單調(diào)性,進而得證.【詳解】(1)依題意,當時,,①當時,恒成立,此時在定義域上單調(diào)遞增;②當時,若,;若,;故此時的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)方法1:由得令,則,依題意有,即,要證,只需證(不妨設),即證,令,設,則,在單調(diào)遞減,即,從而有.方法2:由得令,則,當時,時,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,不妨設,則,要證,只需證,易知,故只需證,即證令,(),則==,(也可代入后再求導)在上單調(diào)遞減,,故對于時,總有.由此得【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.19、(1)見解析;(2)(i)(ii)證明見解析【解析】

(1)求出導函數(shù),分類討論即可求解;(2)(i)結(jié)合(1)的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點求解參數(shù)取值范圍;(ii)設,通過轉(zhuǎn)化,討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】(1)因為,所以當時,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,當時,的解集為,的解集為,所以的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為;(2)(i)由(1)可知,當時,在上單調(diào)遞增,至多一個零點,不符題意,當時,因為有兩個零點,所以,解得,因為,且,所以存在,使得,又因為,設,則,所以單調(diào)遞增,所以,即,因為,所以存在,使得,綜上,;(ii)因為,所以,因為,所以,設,則,所以,解得,所以,所以,設,則,設,則,所以單調(diào)遞增,所以,所以,即,所以單調(diào)遞增,即隨著的增大而增大,所以隨著的增大而增大,命題得證.【點睛】此題考查利用導函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,通過等價轉(zhuǎn)化證明與零點相關(guān)的命題.20、(1)(2)不存在;詳見解析【解析】

(1)設,,,通過,即為的中點,轉(zhuǎn)化求解,點的軌跡的方程.(2)設直線的方程為,先根據(jù),可得,①,再根據(jù)韋達定理,點在橢圓上可得,②,將①代入②可得,該方程無解,問題得以解決【詳解】(1)設,,則,,由題意知,所以為中點,由中點坐標公式得,即,又點在圓:上,故滿足,得.曲線的方程.(2)由題意知直線的斜率存在且不為零,設直線的方程為,因為,故,即①,聯(lián)立,消去得:,設,,,,,因為四邊形為平行四邊形,故,點在橢圓上,故,整理得②,將①代入②,得,該方程無解,故這樣的直線不存在.【點睛】本題考查點的軌跡方程的求法、滿足條件的點是否存在的判斷與直線方程的求法,考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.21、(1)證明見詳解;(2).【解析】

(1)取中

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