北師大數(shù)學(xué)必修二講義第一章立體幾何初步71

7.1簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.通過(guò)幾何體的側(cè)面的展開(kāi)過(guò)程，感知幾何體的形狀．2.通過(guò)對(duì)柱、錐、臺(tái)體的研究，會(huì)用公式求柱、錐、臺(tái)體的側(cè)面積和表面積．3.會(huì)區(qū)別側(cè)棱、高、斜高等概念，熟悉臺(tái)體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.【主干自填】1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式幾何體側(cè)面展開(kāi)圖的形狀側(cè)面積公式圓柱矩形S圓柱側(cè)＝eq\o(□,\s\up3(01))2πrl圓錐扇形S圓錐側(cè)＝eq\o(□,\s\up3(02))πrl圓臺(tái)扇環(huán)S圓臺(tái)側(cè)＝eq\o(□,\s\up3(03))π(r1＋r2)l其中r為底面半徑，l為側(cè)面母線(xiàn)長(zhǎng)，r1，r2分別為圓臺(tái)的上、下底面半徑．2．直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積幾何體側(cè)面積公式直棱柱S直棱柱側(cè)＝eq\o(□,\s\up3(04))ch正棱錐S正棱錐側(cè)＝eq\o(□,\s\up3(05))eq\f(1,2)ch′正棱臺(tái)S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\o(□,\s\up3(06))eq\f(1,2)(c＋c′)h′其中c′，c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表示高，h′表示斜高．【即時(shí)小測(cè)】1．思考下列問(wèn)題(1)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是什么圖形？如果圓柱的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，那么圓柱的側(cè)面積公式是什么？提示：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，S圓柱側(cè)＝2πrl.(2)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么圖形？如果圓錐的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，那么圓錐的側(cè)面積公式是什么？提示：如下圖，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，扇形的面積即為圓錐的側(cè)面積，所以S圓錐側(cè)＝eq\f(1,2)×2πr×l＝πrl.(3)正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖如下圖，設(shè)正棱錐底面周長(zhǎng)為c，斜高為h′，如何求正棱錐的側(cè)面積？提示：正棱錐的側(cè)面積就是展開(kāi)圖中各個(gè)等腰三角形面積之和，不難得到S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′.2．已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為5，則此棱錐的側(cè)面積為()A．6B．12C．24D．48提示：D正四棱錐的斜高h(yuǎn)′＝eq\r(52－32)＝4，S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×6×4＝48.3．矩形的邊長(zhǎng)分別為1和2，分別以這兩邊為軸旋轉(zhuǎn)，所形成的幾何體的側(cè)面積之比為()A．1∶2B．1∶1C．1∶4D．4∶1提示：B以邊長(zhǎng)為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱的側(cè)面積S1＝2π×2×1＝4π，以邊長(zhǎng)為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱的側(cè)面積S2＝2π×1×2＝4π，∴S1∶S2＝4π∶4π＝1∶1.4．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為R的半圓，則圓錐的高是________．提示：eq\f(\r(3),2)R設(shè)底面半徑是r，則2πr＝πR，∴r＝eq\f(R,2)，∴圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(R2－r2)＝eq\f(\r(3),2)R.例1圓錐的高和底面半徑相等，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等．求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比．[解]如圖，設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑分別為r、R，圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為l，則有eq\f(r,R)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(r,R)＝eq\f(1,2).∴R＝2r，l＝eq\r(2)R.∴eq\f(S圓柱表,S圓錐表)＝eq\f(2πr2＋2πr2,πR·\r(2)R＋πR2)＝eq\f(4πr2,4\r(2)πr2＋4πr2)＝eq\f(4πr2,4\r(2)＋1πr2)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.類(lèi)題通法在解與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常需要畫(huà)出其軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練1])圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為6π和4π的矩形，則圓柱的全面積為()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)答案C解析圓柱的側(cè)面積S側(cè)＝6π×4π＝24π2.①以邊長(zhǎng)為6π的邊為軸時(shí)，4π為圓柱底面周長(zhǎng)，則2πr＝4π，即r＝2，∴S底＝4π，S全＝S側(cè)＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以邊長(zhǎng)為4π的邊為軸時(shí)，6π為圓柱底面周長(zhǎng)，則2πr＝6π，即r＝3，∴S底＝9π，∴S全＝S側(cè)＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3).例2正三棱錐S－ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．[解]設(shè)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a，斜高為h′，如圖所示，過(guò)O作OE⊥AB，連接SE，則SE⊥AB，且SE＝h′.因?yàn)镾側(cè)＝2S底，所以eq\f(1,2)×3a×h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.所以a＝eq\r(3)h′.因?yàn)镾O⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.所以32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.所以h′＝2eq\r(3).所以a＝eq\r(3)h′＝6.所以S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3).所以S側(cè)＝2S底＝18eq\r(3).則S表＝S側(cè)＋S底＝27eq\r(3).類(lèi)題通法1正棱錐和正棱臺(tái)的側(cè)面分別是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清相對(duì)應(yīng)的元素求解很簡(jiǎn)單.2多面體的表面積等于各側(cè)面與底面的面積之和，對(duì)正棱錐中的計(jì)算問(wèn)題往往要構(gòu)造直角三角形求解，對(duì)正棱臺(tái)則需要構(gòu)造直角梯形或等腰梯形求解.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練2])五棱臺(tái)的上、下底面均是正五邊形，邊長(zhǎng)分別是8cm和18cm，側(cè)面是全等的等腰梯形，側(cè)棱長(zhǎng)是13cm，求它的側(cè)面積．解如圖是五棱臺(tái)的其中一個(gè)側(cè)面，它是一個(gè)上底、下底分別為8cm和18cm，腰長(zhǎng)為13cm的等腰梯形，由點(diǎn)A向BC作垂線(xiàn)，設(shè)垂足為E，由點(diǎn)D向BC作垂線(xiàn)，設(shè)垂足為F，易知BE＝CF.∵BE＋EF＋FC＝2BF－AD＝BC，∴BF＝eq\f(BC＋AD,2)＝eq\f(18＋8,2)＝13.∴BE＝BF－AD＝13－8＝5.又AB＝13，∴AE＝12.∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)(AD＋BC)·AE＝eq\f(1,2)×(18＋8)×12＝156(cm2)．故其側(cè)面積為156×5＝780(cm2).例3已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R，高為H，在其內(nèi)部有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱．(1)求圓柱的側(cè)面積；(2)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？[解]如圖是圓錐及內(nèi)接圓柱的軸截面圖．(1)設(shè)所求圓柱的底面半徑為r，則eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，∴r＝R－eq\f(R,H)x，∴S圓柱側(cè)＝2πrx＝2πRx－eq\f(2πR,H)·x2(x∈(0，H))．(2)∵S圓柱側(cè)是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴當(dāng)x＝－eq\f(2πR,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2πR,H))))＝eq\f(H,2)時(shí)，S圓柱側(cè)有最大值，即當(dāng)圓柱的高是圓錐的高的一半時(shí)，它的側(cè)面積最大．類(lèi)題通法求組合體表面積的方法解決組合體的表面積問(wèn)題，要充分考慮組合體各部分的量之間的關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題進(jìn)行求解．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練3])已知底面半徑為eq\r(3)cm，母線(xiàn)長(zhǎng)為eq\r(6)cm的圓柱，挖去一個(gè)以圓柱上底面圓心為頂點(diǎn)，下底面為底面的圓錐，求所得幾何體的表面積．解如圖，由題意易知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為3cm.則S＝S底＋S柱側(cè)＋S圓錐側(cè)＝π×(eq\r(3))2＋2π×eq\r(3)×eq\r(6)＋π×eq\r(3)×3＝(3＋6eq\r(2)＋3eq\r(3))π(cm2)．易錯(cuò)點(diǎn)?對(duì)幾何體的表面積考慮不全致錯(cuò)[典例]如圖所示，從底面半徑為2a，高為eq\r(3)a的圓柱中，挖去一個(gè)底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐，求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比．[錯(cuò)解]由題意，知S1＝2π·2a·eq\r(3)a＋2π·(2a)2＝(4eq\r(3)＋8)πa2，S2＝S1－πa2＝(4eq\r(3)＋7)πa2.故S1∶S2＝(4eq\r(3)＋8)∶(4eq\r(3)＋7)．[錯(cuò)因分析]挖去圓錐的幾何體的表面積去掉了一個(gè)半徑為a的圓的面積，但同時(shí)增加了一個(gè)圓錐的側(cè)面的面積，錯(cuò)解中未考慮到增加的部分．[正解]由題意，知S1＝2π·2a·eq\r(3)a＋2π·(2a)2＝(4eq\r(3)＋8)πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4eq\r(3)＋9)πa2.故S1∶S2＝(4eq\r(3)＋8)∶(4eq\r(3)＋9)．課堂小結(jié)1.多面體的表面積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之和．棱柱的表面積等于它的側(cè)面積加底面積；棱錐的表面積等于它的側(cè)面積加底面積；棱臺(tái)的表面積等于它的側(cè)面積加兩個(gè)底的面積.2.有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計(jì)算要充分利用其軸截面，就是說(shuō)將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解．而對(duì)于圓臺(tái)有時(shí)需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識(shí)求解.3.S圓柱表＝2πr(r＋l)；S圓錐表＝πr(r＋l)；S圓臺(tái)表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).1．若圓錐的正視圖是正三角形，則它的側(cè)面積是底面積的()A.eq\r(2)倍B．3倍C．2倍D．5倍答案C解析設(shè)底面半徑為r，則S側(cè)＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.故選C.2．長(zhǎng)方體的高為1，底面積為2，垂直于底的對(duì)角面的面積是eq\r(5)，則長(zhǎng)方體的側(cè)面積等于()A．2eq\r(7)B．4eq\r(3)C．6D．3答案C解析設(shè)底面邊長(zhǎng)分別為a和b，則ab＝2且a2＋b2＝5，解得a＝1，b＝2，或a＝2，b＝1，故側(cè)面積為6.3．圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是()A．4πSB．2πSC．πSD.eq\f(2\r(3),3)πS答案A解析設(shè)底面半徑為r，故S＝πr2.由側(cè)面展開(kāi)圖為正方形，則高h(yuǎn)＝2πr，則圓柱的側(cè)面積為2πrh＝4π(πr2)＝4πS，故選A.4．底面是菱形的直棱柱，它的兩條體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為9和15，高是5，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是