2023年中考數(shù)學知識點總結完整版

中考數(shù)學總復習資料代數(shù)部分第一章：實數(shù)基礎知識點：一、實數(shù)的分類：1、有理數(shù)：任何一個有理數(shù)總可以寫成的形式，其中p、q是互質的整數(shù)，這是有理數(shù)的重要特性。2、無理數(shù)：初中碰到的無理數(shù)有三種：開不盡的方根，如、；特定結構的不限環(huán)無限小數(shù)，如1.001……；特定意義的數(shù)，如π、°等。3、判斷一個實數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺，往往要通過整理化簡后才下結論。二、實數(shù)中的幾個概念1、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。（1）實數(shù)a的相反數(shù)是-a；（2）a和b互為相反數(shù)a+b=02、倒數(shù)：（1）實數(shù)a（a≠0）的倒數(shù)是；（2）a和b互為倒數(shù)；（3）注意0沒有倒數(shù)3、絕對值：（1）一個數(shù)a的絕對值有以下三種情況：（2）實數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)，從數(shù)軸上看，一個實數(shù)的絕對值，就是數(shù)軸上表達這個數(shù)的點到原點的距離。（3）去掉絕對值符號（化簡）必須要對絕對值符號里面的實數(shù)進行數(shù)性（正、負）確認，再去掉絕對值符號。4、n次方根（1）平方根，算術平方根：設a≥0，稱叫a的平方根，叫a的算術平方根。（2）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。（3）立方根：叫實數(shù)a的立方根。（4）一個正數(shù)有一個正的立方根；0的立方根是0；一個負數(shù)有一個負的立方根。三、實數(shù)與數(shù)軸1、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數(shù)軸。原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素。2、數(shù)軸上的點和實數(shù)的相應關系：數(shù)軸上的每一個點都表達一個實數(shù)，而每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的唯一的點來表達。實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一相應的關系。四、實數(shù)大小的比較1、在數(shù)軸上表達兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。2、正數(shù)大于0；負數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)絕對值大的反而小。五、實數(shù)的運算1、加法：（1）同號兩數(shù)相加，取本來的符號，并把它們的絕對值相加；（2）異號兩數(shù)相加，取絕對值大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。可使用加法互換律、結合律。2、減法：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。3、乘法：（1）兩數(shù)相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。（2）n個實數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0；若n個非0的實數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當負因數(shù)為奇數(shù)個時，積為負。（3）乘法可使用乘法互換律、乘法結合律、乘法分派律。4、除法：（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（2）除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。（3）0除以任何數(shù)都等于0，0不能做被除數(shù)。5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。6、實數(shù)的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，加、減是一級運算，假如沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算低檔的運算，有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，都要注意先定符號后運算。六、有效數(shù)字和科學記數(shù)法1、科學記數(shù)法：設N＞0，則N=a×（其中1≤a＜10，n為整數(shù)）。2、有效數(shù)字：一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）保存幾個有效數(shù)字。例題：例1、已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的相應點的位置如圖所示，且。化簡：分析：從數(shù)軸上a、b兩點的位置可以看到：a＜0，b＞0且所以可得：解：例2、若，比較a、b、c的大小。分析：；；c＞0；所以容易得出：a＜b＜c。解：略例3、若互為相反數(shù)，求a+b的值分析：由絕對值非負特性，可知，又由題意可知：所以只能是：a–2=0，b+2=0，即a=2，b=–2，所以a+b=0解：略例4、已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對值是1，求的值。解：原式=例5、計算：（1）（2）解：（1）原式=（2）原式==代數(shù)部分第二章：代數(shù)式基礎知識點：一、代數(shù)式1、代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表達數(shù)的字母連結而成的式子，叫代數(shù)式。單獨一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式。2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計算后得到的結果叫做代數(shù)式的值。3、代數(shù)式的分類：二、整式的有關概念及運算1、概念（1）單項式：像x、7、，這種數(shù)與字母的積叫做單項式。單獨一個數(shù)或字母也是單項式。單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)叫做這個單項式的次數(shù)。單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)。（2）多項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式具有幾項，就叫幾項式。多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。不含字母的項叫常數(shù)項。升（降）冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┑捻樞蚺帕衅饋恚凶霭讯囗検桨催@個字母升（降）冪排列。（3）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。2、運算（1）整式的加減：合并同類項：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變。去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變；括號前面是“–”號，把括號和它前面的“–”號去掉，括號里的各項都變號。添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是“–”號，括到括號里的各項都變號。整式的加減事實上就是合并同類項，在運算時，假如碰到括號，先去括號，再合并同類項。（2）整式的乘除：冪的運算法則：其中m、n都是正整數(shù)同底數(shù)冪相乘：；同底數(shù)冪相除：；冪的乘方：積的乘方：。單項式乘以單項式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個字母的指數(shù)；對于只在一個單項式里具有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。單項除單項式：把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里具有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商相加。乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：，三、因式分解1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：（2）運用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：（4）分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。（5）運用求根公式法：若的兩個根是、，則有：3、因式分解的一般環(huán)節(jié)：（1）假如多項式的各項有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；（3）對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考慮用分組分解法。四、分式1、分式定義：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中具有字母。（1）分式無意義：B=0時，分式無意義；B≠0時，分式故意義。（2）分式的值為0：A=0，B≠0時，分式的值等于0。（3）分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。（4）最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。分式運算的最終結果若是分式，一定要化為最簡分式。（5）通分：把幾個異分母的分式分別化成與本來分式相等的同分母分式的過程，叫做分式的通分。（6）最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次冪的積。（7）有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。2、分式的基本性質：（1）；（2）（3）分式的變號法則：分式的分子，分母與分式自身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。3、分式的運算：（1）加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通提成同分母的分式再相加減。（2）乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。（3）除：除以一個分式等于乘上它的倒數(shù)式。（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。五、二次根式1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。（1）最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。（2）同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式。（3）分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。（4）有理化因式：把兩個具有二次根式的代數(shù)式相乘，假如它們的積不具有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式（常用的有理化因式有：與；與）2、二次根式的性質：（1）；（2）；（3）（a≥0，b≥0）；（4）3、運算：（1）二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。（2）二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）。（3）二次根式的除法：二次根式運算的最終結果假如是根式，要化成最簡二次根式。例題：一、因式分解：1、提公因式法：例1、分析：先提公因式，后用平方差公式解：略[規(guī)律總結]因式分解本著先提取，后公式等，但應把第一個因式都分解到不能再分解為止，往往需要對分解后的每一個因式進行最后的審查，假如還能分解，應繼續(xù)分解。2、十字相乘法：例2、（1）；（2）分析：可當作是和(x+y)的二次三項式，先用十字相乘法，初步分解。解：略[規(guī)律總結]應用十字相乘法時，注意某一項可是單項的一字母，也可是某個多項式或整式，有時還需要連續(xù)用十字相乘法。3、分組分解法：例3、分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，后提取，再公式。解：略[規(guī)律總結]對多項式適當分組轉化成基本方法因式分組，分組的目的是為了用提公因式，十字相乘法或公式法解題。4、求根公式法：例4、解：略二、式的運算巧用公式例5、計算：分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡樸化。解：略[規(guī)律總結]抓住三個乘法公式的特性，靈活運用，特別要掌握公式的幾種變形，公式的逆用，掌握運用公式的技巧，使運算簡便準確。2、化簡求值：例6、先化簡，再求值：，其中x=–1y=解：略[規(guī)律總結]一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號的法則。3、分式的計算：例7、化簡分析：–可當作解：略[規(guī)律總結]分式計算過程中：（1）除法轉化為乘法時，要倒轉分子、分母；（2）注意負號4、根式計算例8、已知最簡二次根式和是同類二次根式，求b的值。分析：根據(jù)同類二次根式定義可得：2b+1=7–b。解：略[規(guī)律總結]二次根式的性質和運算是中考必考內容，特別是二次根式的化簡、求值及性質的運用是中考的重要考察內容。代數(shù)部分第三章：方程和方程組基礎知識點：一、方程有關概念1、方程：具有未知數(shù)的等式叫做方程。2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，具有一個未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。4、方程的增根：在方程變形時，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的標準形式：ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a≠0）（2）一玩一次方程的最簡形式：ax=b（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a≠0）（3）解一元一次方程的一般環(huán)節(jié)：去分母、去括號、移項、合并同類項和系數(shù)化為1。（4）一元一次方程有唯一的一個解。2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知數(shù)，a、b、c是已知數(shù)，a≠0）（2）一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，假如沒有規(guī)定，一般不用配方法。（4）一元二次方程的根的判別式：當Δ＞0時方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ=0時方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ<0時方程沒有實數(shù)根，無解；當Δ≥0時方程有兩個實數(shù)根（5）一元二次方程根與系數(shù)的關系：若是一元二次方程的兩個根，那么：，（6）以兩個數(shù)為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是：三、分式方程（1）定義：分母中具有未知數(shù)的方程叫做分式方程。（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。特殊方法：換元法。（3）檢查方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的就是原方程的根；使得最簡公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入原方程檢查。四、方程組1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做解方程組3、一次方程組：（1）二元一次方程組：一般形式：（不全為0）解法：代入消遠法和加減消元法解的個數(shù)：有唯一的解，或無解，當兩個方程相同時有無數(shù)的解。（2）三元一次方程組：解法：代入消元法和加減消元法4、二元二次方程組：（1）定義：由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組以及由兩個二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。（2）解法：消元，轉化為解一元二次方程，或者降次，轉化為二元一次方程組?？键c與命題趨向分析例題：一、一元二次方程的解法例1、解下列方程：（1）；（2）；（3）分析：（1）用直接開方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法解：略[規(guī)律總結]假如一元二次方程形如，就可以用直接開方法來解；運用公式法可以解任何一個有解的一元二次方程，運用公式法解一元二次方程時，一定要把方程化成一般形式。例2、解下列方程：（1）；（2）分析：（1）先化為一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。解：略[規(guī)律總結]對于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒有什么區(qū)別，在用公式法時要注意判斷△的正負。二、分式方程的解法：例3、解下列方程：（2）；（2）分析：（1）用去分母的方法；（2）用換元法解：略[規(guī)律總結]一般的分式方程用去分母法來解，一些具有特殊關系如：有平方關系，倒數(shù)關系等的分式方程，可采用換元法來解。三、根的判別式及根與系數(shù)的關系例4、已知關于x的方程：有兩個相等的實數(shù)根，求p的值。分析：由題意可得=0，把各系數(shù)代入=0中就可求出p，但要先化為一般形式。解：略[規(guī)律總結]對于根的判別式的三種情況要很純熟，尚有要特別留意二次項系數(shù)不能為0例5、已知a、b是方程的兩個根，求下列各式的值：（1）；（2）分析：先算出a+b和ab的值，再代入把（1）（2）變形后的式子就可求出解。[規(guī)律總結]此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，再把規(guī)定的式子變形成具有兩根之和和兩根之積的形式，再代入計算。但要注意檢查一下方程是否有解。例6、求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別比方程的兩個根小3分析：先出求原方程的兩根之和和兩根之積再代入求出和的值，所求的方程也就容易寫出來。解：略[規(guī)律總結]此類題目可以先解出第一方程的兩個解，但有時這樣又太復雜，用根與系數(shù)的關系就比較簡樸。三、方程組例7、解下列方程組：（1）；（2）分析：（1）用加減消元法消x較簡樸；（2）應當先用加減消元法消去y，變成二元一次方程組，較易求解。解：略[規(guī)律總結]加減消元法是最常用的消元方法，消元時那個未知數(shù)的系數(shù)最簡樸就先消那個未知數(shù)。例8、解下列方程組：（1）；（2）分析：（1）可用代入消遠法，也可用根與系數(shù)的關系來求解；（2）要先把第一個方程因式分解化成兩個二元一次方程，再與第二個方程分別組成兩個方程組來解。解：略[規(guī)律總結]對于一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組一般用代入消元法，對于兩個二元二次方程組成的方程組，一定要先把其中一個方程因式分解化為兩個一次方程再和第二個方程組成兩個方程組來求解。代數(shù)部分第四章：列方程（組）解應用題知識點：一、列方程（組）解應用題的一般環(huán)節(jié)1、審題：2、設未知數(shù)；3、找出相等關系，列方程（組）；4、解方程（組）；5、檢查，作答；二、列方程（組）解應用題常見類型題及其等量關系；1、工程問題（1）基本工作量的關系：工作量=工作效率×工作時間（2）常見的等量關系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量（3）注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問題2、行程問題（1）基本量之間的關系：路程=速度×時間（2）常見等量關系：相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及問題（設甲速度快）：同時不同地：甲的時間=乙的時間；甲走的路程–乙走的路程=本來甲、乙相距路程同地不同時：甲的時間=乙的時間–時間差；甲的路程=乙的路程3、水中航行問題：順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；逆流速度=船在靜水中的速度–水流速度4、增長率問題：常見等量關系：增長后的量=本來的量+增長的量；增長的量=本來的量×（1+增長率）；5、數(shù)字問題：基本量之間的關系：三位數(shù)=個位上的數(shù)+十位上的數(shù)×10+百位上的數(shù)×100三、列方程解應用題的常用方法1、譯式法：就是將題目中的關鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間的關系譯成代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內在聯(lián)系找出等量關系。2、線示法：就是用同一直線上的線段表達應用題中的數(shù)量關系，然后根據(jù)線段長度的內在聯(lián)系，找出等量關系。3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間的關系。4、圖示法：就是運用圖表達題中的數(shù)量關系，它可以使量與量之間的關系更為直觀，這種方法能幫助我們更好地理解題意。例題：例1、甲、乙兩組工人合作完畢一項工程，合作5天后，甲組另有任務，由乙組再單獨工作1天就可完畢，若單獨完畢這項工程乙組比甲組多用2天，求甲、乙兩組單獨完畢這項工程各需幾天？分析：設工作總量為1，設甲組單獨完畢工程需要x天，則乙組完畢工程需要(x+2)天，等量關系是甲組5天的工作量+乙組6天的工作量=工作總量解：略例2、某部隊奉命派甲連跑步前往90千米外的A地，1小時45分后，因任務需要，又增派乙連乘車前往支援，已知乙連比甲連每小時快28千米，恰好在全程的處追上甲連。求乙連的行進速度及追上甲連的時間分析：設乙連的速度為v千米/小時，追上甲連的時間為t小時，則甲連的速度為（v–28）千米/小時，這時乙連行了小時，其等量關系為：甲走的路程=乙走的路程=30解：略例3、某工廠原計劃在規(guī)定期限內生產(chǎn)通訊設備60臺支援抗洪，由于改善了操作技術；天天生產(chǎn)的臺數(shù)比原計劃多50%，結果提前2天完畢任務，求改善操作技術后天天生產(chǎn)通訊設備多少臺？分析：設原計劃天天生產(chǎn)通訊設備x臺，則改善操作技術后天天生產(chǎn)x（1+0.5）臺，等量關系為：原計劃所用時間–改善技術后所用時間=2天解：略例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬元，二月份由于種種因素，經(jīng)營不善，銷售額下降10%，以后經(jīng)加強管理，又使月銷售額上升，到四月份銷售額增長到96萬元，求三、四月份平均每月增長的百分率是多少？分析：設三、四月份平均每月增長率為x%，二月份的銷售額為60（1–10%）萬元，三月份的銷售額為二月份的（1+x）倍，四月份的銷售額又是三月份的（1+x）倍，所以四月份的銷售額為二月份的（1+x）2倍，等量關系為：四月份銷售額為=96萬元。解：略例5、一年期定期儲蓄年利率為2.25%，所得利息要交納20%的利息稅，例如存入一年期100元，到期儲戶納稅后所得到利息的計算公式為：稅后利息=已知某儲戶存下一筆一年期定期儲蓄到期納稅后得到利息是450元，問該儲戶存入了多少本金？分析：設存入x元本金，則一年期定期儲蓄到期納稅后利息為2.25%(1-20%)x元，方程容易得出。例6、某商場銷售一批名牌襯衫，平均天天售出20件，每件賺錢40元，為了擴大銷售，增長賺錢，減少庫存，商場決定采用適當?shù)臏p少成本措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，假如每件襯衫每降價1元，商場平均天天可多售出2件。若商場平均天天要賺錢1200元，每件襯衫應降價多少元？分析：設每件襯衫應當降價x元，則每件襯衫的利潤為（40-x）元，平均天天的銷售量為（20+2x）件，由關系式：總利潤=每件的利潤×售出商品的叫量，可列出方程解：略代數(shù)部分第五章：不等式及不等式組知識點：一、不等式與不等式的性質1、不等式：表達不等關系的式子。（表達不等關系的常用符號：≠，＜，＞）。2、不等式的性質：（l）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)，不等號方向不改變，如a＞b，c為實數(shù)a＋c＞b＋c（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變，如a＞b，c＞0ac＞bc。（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號方向改變，如a＞b，c＜0ac＜bc.注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個實數(shù)時，一定要養(yǎng)成好的習慣、就是先擬定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，零，負數(shù)）再擬定不等號方向是否改變，不能像應用等式的性質那樣隨便，以防犯錯。3、任意兩個實數(shù)a，b的大小關系（三種）：（1）a–b＞0a＞b（2）a–b=0a=b（3）a–b＜0a＜b4、（1）a＞b＞0（2）a＞b＞0二、不等式（組）的解、解集、解不等式1、能使一個不等式（組）成立的未知數(shù)的一個值叫做這個不等式（組）的一個解。不等式的所有解的集合，叫做這個不等式的解集。不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。2．求不等式（組）的解集的過程叫做解不等式（組）。三、不等式（組）的類型及解法1、一元一次不等式：（l）概念：具有一個未知數(shù)并且含未知數(shù)的項的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式。（2）解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意當不等式的兩邊同乘以（或除以）一個負數(shù)時，不等號方向要改變。2、一元一次不等式組：（l）概念：具有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。（2）解法：先求出各不等式的解集，再擬定解集的公共部分。注：求不等式組的解集一般借助數(shù)軸求解較方便。例題：方法1：運用不等式的基本性質1、判斷正誤：（1）若a＞b，c為實數(shù)，則＞；（2）若＞，則a＞b分析：在（l）中，若c=0，則=；在（2）中，由于”＞”，所以。C≠0，否則應有=故a＞b解：略［規(guī)律總結］將不等式對的變形的關鍵是牢記不等式的三條基本性質，不等式的兩邊都乘以或除以具有字母的式子時，要對字母進行討論。方法2：特殊值法例2、若a＜b＜0，那么下列各式成立的是（）A、B、ab＜0C、D、分析：使用直接解法解答經(jīng)常費時間，又由于答案在一般情況下成立，當然特殊情況也成立，因此采用特殊值法。解：根據(jù)a＜b＜0的條件，可取a=–2，b=–l，代入檢查，易知，所以選D[規(guī)律總結］此種方法常用于解選擇題，學生知識有限，不能直接解答時使用特殊值法，既快，又能找到符合條件的答案。方法3：類比法例3、解下列一元一次不等式，并把解集在數(shù)軸上表達出來。（1）8–2（x＋2）＜4x–2；（2）分析：解一元一次不等式的環(huán)節(jié)與解一元一次方程類似，重要環(huán)節(jié)有去分母，去括號、移項、合并同類項，把系數(shù)化成1，需要注意的是，不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)，不等號要改變方向。解：略[規(guī)律總結］解一元一次不等式與解一元一次方程的環(huán)節(jié)類似，但要注意當不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)時，不等號的方向必須改變，類比法解題，使學生容易理解新知識和掌握新知識。方法4：數(shù)形結合法例4、求不等式組：的非負整數(shù)解分析：規(guī)定一個不等式組的非負整數(shù)解，就應先求出不等式組的解集，再從解集中找出其中的非負整數(shù)解。解：略方法5：逆向思考法例5、已知關于x的不等式的解集是x＞3，求a的值。分析：由于關于x的不等式的解集為x＞3，與原不等式的不等號同向，所以有a–2>0，即原不等式的解集為，解此方程求出a的值。解：略[規(guī)律總結]此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求成立的條件，此種類型題都采用逆向思考法來解。代數(shù)部分第六章：函數(shù)及其圖像知識點：一、平面直角坐標系1、平面內有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸，構成平面直角坐標系。在平面直角坐標系內的點和有序實數(shù)對之間建立了—一相應的關系。2、不同位置點的坐標的特性：（1）各象限內點的坐標有如下特性：點P（x,y）在第一象限x＞0，y＞0；點P（x,y）在第二象限x＜0，y＞0；點P（x,y）在第三象限x＜0，y＜0；點P（x,y）在第四象限x＞0，y＜0。（2）坐標軸上的點有如下特性：點P（x,y）在x軸上y為0，x為任意實數(shù)。點P（x，y）在y軸上x為0，y為任意實數(shù)。3．點P（x,y）坐標的幾何意義：（1）點P（x,y）到x軸的距離是|y|；（2）點P（x,y）到y(tǒng)袖的距離是|x|；（3）點P（x,y）到原點的距離是4．關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特性：（1）點P（a,b）關于x軸的對稱點是；（2）點P（a,b）關于x軸的對稱點是；（3）點P（a,b）關于原點的對稱點是；二、函數(shù)的概念1、常量和變量：在某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量叫做變量；保持數(shù)值不變的量叫做常量。2、函數(shù)：一般地，設在某一變化過程中有兩個變量x和y，假如對于x的每一個值，y都有唯一的值與它相應，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。（1）自變量取值范圍的確是：①解析式是只具有一個自變量的整式的函數(shù)，自變量取值范圍是全體實數(shù)。②解析式是只具有一個自變量的分式的函數(shù)，自變量取值范圍是使分母不為0的實數(shù)。③解析式是只具有一個自變量的偶次根式的函數(shù)，自變量取值范圍是使被開方數(shù)非負的實數(shù)。注意：在擬定函數(shù)中自變量的取值范圍時，假如碰到實際問題，還必須使實際問題故意義。（2）函數(shù)值：給自變量在取值范圍內的一個值所求得的函數(shù)的相應值。（3）函數(shù)的表達方法：①解析法；②列表法；③圖像法（4）由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像，一般環(huán)節(jié)是：①列表；②描點；③連線三、幾種特殊的函數(shù)1、一次函數(shù)直線位置與k，b的關系：（1）k＞0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為銳角；（2）k＜0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為鈍角；（3）b＞0直線與y軸交點在x軸的上方；（4）b＝0直線過原點；（5）b＜0直線與y軸交點在x軸的下方；2、二次函數(shù)拋物線位置與a，b，c的關系：（1）a決定拋物線的開口方向（2）c決定拋物線與y軸交點的位置：c>0圖像與y軸交點在x軸上方；c=0圖像過原點；c<0圖像與y軸交點在x軸下方；（3）a，b決定拋物線對稱軸的位置：a，b同號，對稱軸在y軸左側；b＝0，對稱軸是y軸；a，b異號。對稱軸在y軸右側；3、反比例函數(shù)：4、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對照表：例題：例1、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象都通過點P（m，4），已知點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍.⑴求點P的坐標.；⑵求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式。分析：由點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可知：2|m|=4，易求出點P的坐標，再運用待定系數(shù)法可求出這正、反比例函數(shù)的解析式。解：略例2、已知a，b是常數(shù)，且y+b與x+a成正比例.求證：y是x的一次函數(shù).分析：應寫出y+b與x+a成正比例的表達式，然后判斷所得結果是否符合一次函數(shù)定義.證明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中k≠0.整理，得y=kx+(ka－b).①由于k≠0且ka－b是常數(shù)，故y=kx+(ka－b)是x的一次函數(shù)式.例3、填空：假如直線方程ax+by+c=0中，a＜0，b＜0且bc＜0，則此直線通過第________象限.分析：先把ax+by+c=0化為.由于a＜0，b＜0，所以，又bc＜0，即＜0，故－＞0.相稱于在一次函數(shù)y=kx+l中，k=－＜0，l=－＞0，此直線與y軸的交點(0，－)在x軸上方.且此直線的向上方向與x軸正方向所成角是鈍角，所以此直線過第一、二、四象限.例4、把反比例函數(shù)y=與二次函數(shù)y=kx2(k≠0)畫在同一個坐標系里，對的的是().答：選(D).這兩個函數(shù)式中的k的正、負號應相同(圖13－110).例5、畫出二次函數(shù)y=x2-6x+7的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）當x=-1，1，3時y的值是多少？（2）當y=2時，相應的x值是多少？（3）當x＞3時，隨x值的增大y的值如何變化？（4）當x的值由3增長1時，相應的y值增長多少？分析：要畫出這個二次函數(shù)的圖象，一方面用配方法把y=x2-6x+7變形為y=（x-3）2-2，擬定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，然后列表、描點、畫圖．解：圖象略．例6、拖拉機開始工作時，油箱有油45升，假如每小時耗油6升．（1）求油箱中的余油量Q（升）與工作時間t（時）之間的函數(shù)關系式；（2）畫出函數(shù)的圖象．答：（1）Q=45-6t．（2）圖象略．注意：這是實際問題，圖象只能由自變量t的取值范圍0≤t≤7.5決定是一條線段，而不是直線．代數(shù)部分第七章：記錄初步知識點：一、總體和樣本：在記錄時，我們把所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一考察對象叫做個體。從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。二、反映數(shù)據(jù)集中趨勢的特性數(shù)1、平均數(shù)（1）的平均數(shù)，（2）加權平均數(shù)：假如n個數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，……，出現(xiàn)次（這里），則（3）平均數(shù)的簡化計算：當一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)的數(shù)值較大，并且都與常數(shù)a接近時，設的平均數(shù)為則：。2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)接從小到大的順序排列，處在最中間位置上的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，假如數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)中位數(shù)就是處在中間位置上兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)。3、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)也許不止一個。三、反映數(shù)據(jù)波動大小的特性數(shù)：1、方差：（l）的方差，（2）簡化計算公式：（為較小的整數(shù)時用這個公式要比較方便）（3）記的方差為，設a為常數(shù)，的方差為，則=。注：當各數(shù)據(jù)較大而常數(shù)a較接近時，用該法計算方差較簡便。2、標準差：方差（）的算術平方根叫做標準差（S）。注：通常由方差求標準差。四、頻率分布1、有關概念（1）分組：將一組數(shù)據(jù)按照統(tǒng)一的標準提成若干組稱為分組，當數(shù)據(jù)在100個以內時，通常提成5－12組。（2）頻數(shù)：每個小組內的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做該組的頻數(shù)。各個小組的頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)n。（3）頻率：每個小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)n的比值叫做這一小組的頻率，各小組頻率之和為l。（4）頻率分布表：將一組數(shù)據(jù)的分組及各組相應的頻數(shù)、頻率所列成的表格叫做頻率分布表。（5）頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結果，繪制成的，以數(shù)據(jù)的各分點為橫坐標，以頻率除以組距為縱坐標的直方圖，叫做頻率分布直方圖。圖中每個小長方形的高等于該組的頻率除以組距。每個小長方形的面積等于該組的頻率。所有小長方形的面積之和等于各組頻率之和等于1。樣本的頻率分布反映樣本中各數(shù)據(jù)的個數(shù)分別占樣本容量n的比例的大小，總體分布反映總體中各組數(shù)據(jù)的個數(shù)分別在總體中所占比例的大小，一般是用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布。2、研究頻率分布的方法；得到一數(shù)據(jù)的頻率分布和方法，通常是先整理數(shù)據(jù)，后畫出頻率分布直方圖，其環(huán)節(jié)是：（1）計算最大值與最小值的差；（2）決定組距與組數(shù)；（3）決定分點；（4）列領率分布表；（5）繪頻率分布直方圖。例題：例1、某養(yǎng)魚戶搞池塘養(yǎng)魚，放養(yǎng)鱔魚苗20230尾，其成活率為70％，隨意撈出10尾魚，稱得每尾的重量如下（單位：公斤）0．8、0．9、1．2、1．3、0．8、1．l、1．0、1．2、0．8、0．9根據(jù)樣本平均數(shù)估計這塘魚的總產(chǎn)量是多少公斤？分析：先算出樣本的平均數(shù)，以樣本平均數(shù)乘以20230，再乘以70%。解：略［規(guī)律總結］求平均數(shù)有三種方法，即當所給數(shù)據(jù)比較分散時，一般用平均數(shù)的概念來求；著所給數(shù)據(jù)較大且都在某一數(shù)a上下波動時，通常采用簡化公式；若所給教據(jù)反復出現(xiàn)時，通常采用加權平均數(shù)公式來計算。例2、一次科技知識競賽，兩次學生成績記錄如下已經(jīng)算得兩個組的人均分都是80分，請根據(jù)你所學過的記錄知識進一步判斷這兩個組成績誰優(yōu)誰次，并說明理由解：（l）甲組成績的眾數(shù)90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從眾數(shù)比較看，甲組成績好些。（2）算得=172，所以甲組成績較乙組波動要小。（3）甲、乙兩組成績的中位數(shù)都是80分，甲組成績在中位數(shù)以上的有33人，乙組成績在中位數(shù)以上的有26人，從這一角度看甲組的成績總體要好。（4）從成績登記表看，甲組成績高于80分的人數(shù)為20人，乙組成績高于80分的人數(shù)為24人，所以，乙組成績集中在高分段的人數(shù)多，同時，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人，從這一角度看，乙組的成績較好。[規(guī)律總結］明確方差或標準差是衡量一組數(shù)據(jù)的波動的大小的，恰當選用方差的三個計算公式，應抓住三個公式的特性，根據(jù)題中數(shù)據(jù)的特點選用計算公式。例3、到從某學校3600人中抽出50名男生，取得他們的身高（單位cm），數(shù)據(jù)如下：181181179177177177176175175175175174174174174173173173173172172172172172171171171170170169l69168167167167166l66l661661661651651651631631621611601581571、計算頻率，并畫出頻率分布直方圖2、上指出身高在哪一組內的男學生人數(shù)所占的比最大3．請估計這些初三男學生身高在166．5cm以下的約有多少人？解：1、各組頻率依次是：0.08，0.22，0.22，0.36，0.122、從頻率分布表（或圖）中，可見身高在171.5—176.5組內男學生人數(shù)所占的比最大。3、這個地方男學生身高166.5側以下的約為900（人）[規(guī)律總結］要掌握獲得一組數(shù)據(jù)的頻率分布的五大環(huán)節(jié)，掌握整理數(shù)據(jù)的環(huán)節(jié)和方法。會對數(shù)據(jù)進行合理的分組。幾何部分第一章：線段、角、相交線、平行線知識點：一、直線：直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的兩大特性是“直”和“向兩方無限延伸”。二、直線的性質：通過兩點有一條直線，并且只有一條直線，直線的這條性質是以公理的形式給出的，可簡述為：過兩點有且只有一條直線，兩直線相交，只有一個交點。三、射線：1、射線的定義：直線上一點和它們的一旁的部分叫做射線。2．射線的特性：“向一方無限延伸，它有一個端點?！彼?、線段：1、線段的定義：直線上兩點和它之間的部分叫做線段，這兩點叫做線段的端點。2、線段的性質（公理）：所有連接兩點的線中，線段最短。五、線段的中點：1、定義如圖1一1中，點B把線段AC提成兩條相等的線段，點B叫做線段圖1－1AC的中點。2、表達法：∵AB＝BC∴點B為AC的中點或∵AB＝MAC∴點B為AC的中點，或∵AC＝2AB，∴點B為AC的中點反之也成立∵點B為AC的中點，∴AB＝BC或∵點B為AC的中點，∴AB=AC或∵點B為AC的中點，∴AC=2BC六、角1、角的兩種定義：一種是有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角。要弄清定義中的兩個重點①角是由兩條射線組成的圖形；=2\*GB3②這兩條射線必須有一個公共端點。另一種是一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。可以看出在起始位置的射線與終止位置的射線就形成了一個角。2．角的平分線定義：一條射線把一個角提成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。表達法有三種：如圖1—2（1）∠AOC＝∠BOC（2）∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB（3）∠AOC＝∠COB=∠AOB七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作為度量單位。把一個圓周提成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。八、角的分類：（1）銳角：小于直角的角叫做銳角（2）直角：平角的一半叫做直角（3）鈍角：大于直角而小于平角的角（4）平角：把一條射線，繞著它的端點順著一個方向旋轉，當終止位置和起始位置成一直線時，所成的角叫做平角。（5）周角：把一條射線，繞著它的端點順著一個方向旋轉，當終邊和始邊重合時，所成的角叫做周角。（6）周角、平角、直角的關系是：l周角=2平角=4直角=360°九、相關的角：1、對頂角：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。2、互為補角：假如兩個角的和是一個平角，這兩個角做互為補角。3、互為余角：假如兩個角的和是一個直角，這兩個角叫做互為余角。4、鄰補角：有公共頂點，一條公共邊，另兩條邊互為反向延長線的兩個角做互為鄰補角。注意：互余、互補是指兩個角的數(shù)量關系，與兩個角的位置無關，而互為鄰補角則規(guī)定兩個角有特殊的位置關系。十、角的性質1、對頂角相等。2、同角或等角的余角相等。3、同角或等角的補角相等。十一、相交線1、斜線：兩條直線相交不成直角時，其中一條直線叫做另一條直線的斜線。它們的交點叫做斜足。2、兩條直線互相垂直：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。3、垂線：當兩條直線互相垂直時，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。4、垂線的性質（l）過一點有且只有一條直線與己知直線垂直。（2）直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短。簡樸說：垂線段最短。十二、距離1、兩點的距離：連結兩點的線段的長度叫做兩點的距離。2、從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離。3、兩條平行線的距離：兩條直線平行，從一條直線上的任意一點向另一條直線引垂線，垂線段的長度，叫做兩條平行線的距離。說明：點到直線的距離和平行線的距離事實上是兩個特殊點之間的距離，它們與點到直線的垂線段是分不開的。十三、平行線1、定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。2、平行公理：通過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。3、平行公理的推論：假如兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。說明：也可以說兩條射線或兩條線段平行，這事實上是指它們所在的直線平行。4、平行線的鑒定：（1）同位角相等，兩直線平行。（2）內錯角相等，兩直線平行。（3）同旁內角互補，兩直線平行。5、平行線的性質（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內錯角相等。（3）兩直線平行，同旁內角互補。說明：要證明兩條直線平行，用鑒定公理（或定理）在已知條件中有兩條直線平行時，則應用性質定理。6、假如一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。注意：當角的兩邊平行且方向相同（或相反）時，這兩個角相等。當角的兩邊平行且一邊方向相同另一方向相反時，這兩個角互補。例題：方法1：運用特殊“點”和線段的長例1、已知：如圖1－3，C是線段AB的中點，D是線段CB的中點，BD＝1.2cm。求：AD的長。[思緒分析]由D是CB中點，DB已知可求出CB，再由C點是AB中點可求出AB長，用AB減減去DB可求AD。解：略[規(guī)律總結]運用線段的特殊點如“中點”“比例點”求線段的長的方法是較為簡便的解法。方法2：如何辨別角的個數(shù)與線段條數(shù)。例2、如圖1－4在線段AE上共有5個點A、B、C、D、E如何才數(shù)出所有線段，[思緒分析]本問題如不認真審題會誤認為有4點恰有4個空就是4條線段即AB、BC、CD、ED；而假如從一個端點出發(fā)、再找出另一個端點擬定線段，就會發(fā)現(xiàn)有10條線段：即：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10條。[規(guī)律總結]此類型題假如做到不重不漏，最佳方法是先從一個端點出發(fā)，再找出另一個端點擬定線段。例3、如圖1一5指出圖形中直線AB上方角的個數(shù)（不含平角）[思緒分析]此題有些同學不認真分析誤認為就4個角，其實共有9個角。即：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB共9個角。[規(guī)律總結]從一個頂點引出多條射線時．為了擬定角的個數(shù)，一般按邊順序分類記錄，避免既不反復又不漏掉。方法3：用代數(shù)法求角度例4、已知一個銳角的余角，是這個銳角的補角的，求這個角。[思緒分析]本題涉及到的角是銳角同它的余角及補角。根據(jù)互為余角，互為補角的概念，考慮它們在數(shù)量上有什么關系？設銳角為x，則它的余角為90–x。，它的補角為180–x，這就可以列方程了。解：略[規(guī)律總結］有關余角、補角的問題，一般都用代數(shù)方法先設未知數(shù)，再依題意列出方程，求出結果。方法4：添加輔助線平移角例5、已知：如圖l—6，AB∥ED求證：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°[思緒分析]我們知道只有周角是等于360°，而圖中又出現(xiàn)了與∠BCD相關的以C為頂點的周角，若能把∠B、∠D移到與∠BCD相鄰且以C為頂點的位置，即可把∠B、∠BCD和∠D三個角組成一分周角，則可推出結論。證時：略規(guī)律總結]此題雖是三種證法但思想是同樣的，都是通過加輔助線，平移角達成目的，這種解決方法在幾何中經(jīng)常用到。幾何部分第二章：三角形知識點：一、關于三角形的一些概念由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內角，簡稱三角形的角。1、三角形的角平分線。三角形的角平分線是一條線段（頂點與內角平分線和對邊交線間的距離）2、三角形的中線三角形的中線也是一條線段（頂點到對邊中點間的距離）3．三角形的高三角形的高線也是一條線段（頂點到對邊的距離）注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內。如圖2－l，AD、BE、CF都是么ABC的角平分線，它們都在△ABC內如圖2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中線，它們都在△ABC內而圖2－3，說明高線不一定在△ABC內，圖2—3—（1）圖2—3—（2）圖2－3一（3）圖2－3—（1），中三條高線都在△ABC內，圖2－3－（2），中高線CD在△ABC內，而高線AC與BC是三角形的邊；圖2－3一（3），中高線BE在△ABC內，而高線AD、CF在△ABC外。三、三角形三條邊的關系三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項角。三角形接邊相等關系來分類：三角形用集合表達，見圖2－4推論三角形兩邊的差小于第三邊。不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。例如三條線段長分別為5，6，1人由于5＋6＜12，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。三、三角形的內角和定理三角形三個內角的和等于180°由定理可知，三角形的二個角已知，那么第三角可以由定理求得。如已知△ABC的兩個角為∠A＝90°，∠B＝40°，則∠C＝180°–90°–40°＝50°由定理可以知道，三角形的三個內角中，只也許有一個內角是直角或鈍角。推論1：直角三角形的兩個銳角互余。三角形按角分類：用集合表達，見圖三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角。推論2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。推論3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。例如圖2—6中∠1＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。四、全等三角形可以完全重合的兩個圖形叫全等形。兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫相應頂點，互相重合的邊叫相應邊，互相重合的角叫相應角。全等用符號“≌”表達△ABC≌△A`B`C`表達A和A`，B和B`，C和C`是相應點。全等三角形的相應邊相等；全等三角形的相應角相等。如圖2—7，△ABC≌△A`B`C`，則有A、B、C的相應點A`、B`、C`；AB、BC、CA的相應邊是A`B`、B`C`、C`A`?！螦，∠B，∠C的相應角是∠A`、∠B`、∠C`?！郃B＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠B＝∠B`，∠C＝∠C`五、全等三角形的鑒定1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角相應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊相應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角“或“ASA”）3、推論有兩角和其中一角的對邊相應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊’域“AAS”）4、邊邊邊公理有三邊相應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質：三角形的穩(wěn)定性。除了上面的鑒定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個三角形全等。5、直角三角形全等的鑒定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊相應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊，直角邊”或“HL”）六、角的平分線定理1、在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。定理2、一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。可以證明三角形內存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點（交于一點）在兩個命題中，假如第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互為逆命題，假如把其中的一個做原命題，那么另一個叫它的逆命題。假如一個定理的逆命題通過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫互逆定理，其中一個叫另一個的逆定理。例如：“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。一個定理不一定有逆定理，例如定理：“對頂角相等”就沒逆定理，由于“相等的角是對頂角”這是一個假命顆。七、基本作圖限定用直尺和圓規(guī)來畫圖，稱為尺規(guī)作網(wǎng)＿最基本、最常用的尺規(guī)作圖．通常稱為基本作圖，例如做一條線段等于己知線段。1、作一個角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），從而得到相應角相等；2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．從而得到相應角相等。3、通過一點作已知直線的垂線：（1）若點在已知直線上，可看作是平分已知角平角；（2）若點在已知直線外，可用類似平分已知角的方法去做：已知點C為圓心，適當長為半徑作弧交已知真線于A、B兩點，再以A、B為圓心，用相同的長為半徑分別作弧交于D點，連結CD即為所求垂線。4、作線段的垂直平分線：線段的垂直平分線也叫中垂線。做法的實質仍是全等三角形（SSS）。也可以用這個方法作線段的中點。八、作圖題舉例重要解決求作三角形的問題1、已知兩邊一夾角，求作三角形．2、已知底邊上的高，求作等腰三角形九、等腰三角形的性質定理等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°例如：等腰三角形底邊中線上的任一點到兩腰的距離相等，由于等腰三角形底邊中線就是頂角的角平分線、而角平分線上的點到角的兩邊距離相等n十、等腰三角形的鑒定定理：假如一個三角形有兩個角相，那這兩個角所對的兩條邊也相等。（簡寫成“等角對等動”）。推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形推論3：在直角三角形中，假如一個銳角等于3O°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。十一、線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。就是說：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。十二、軸對稱和軸對稱圖形把一個圖形沿著某一條直線折疊二假如可以與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線軸對稱，兩個圖形中的相應點叫關于這條直線的對稱點，這條直線叫對稱軸。兩個圖形關于直線對稱也叫軸對稱。定理1：關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。定理2：假如兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是相應點連線的垂直平分線。定理3：兩個圖形關于某條直線對稱，假如它們的相應線段或延長相交。那么交點在對稱軸上。逆定理：假如兩個圖形的相應點連線被一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。假如一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分可以互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對稱軸，而等腰三角形是軸對稱圖形。十三、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方：勾股定理的逆定理：假如三角形的三邊長a、b、c有下面關系：那么這個三角形是直角三角形例題：例1、已知：AB、CD相交于點O，AC∥DB，OC=OD,E、F為AB上兩點，且AE=BF.求證：CE=DF分析：要證CE=DF，可證△ACE≌△BDF，但由已知條件直接證不出全等，這時由已知條件可先證出△AOC≌△BOD，得出AC=BD，從而證出△ACE≌△BDF.證明：略例2、已知：如圖，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上兩點，且AE=CF。求證：BF=DE分析：觀測圖形，BF和DE分別在△CFB和△AED（或△ABF和△CDE）中，由已知條件不能直接證明這兩個三角形全等。這時可由已知條件先證明△ABC≌△CDA,由此得∠1=∠2，從而證出△CFB≌△AED。證明：略例3、已知：∠CAE是三角形ABC的外角,∠1=∠2，AD∥BC。求證：AB=AC證明：略例4、已知：如圖3－89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于C，ED⊥OB于D．求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．分析：證明第（1）題時，運用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再運用角平分線的性質定理得到OC＝OD．這樣解決，可避免證明兩個三角形全等．證明：略幾何部分第三章：四邊形知識點：一、多邊形1、多邊形：由一些線段首尾順次連結組成的圖形，叫做多邊形。2、多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。3、多邊形的頂點：多邊形每相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點。4、多邊形的對角線：連結多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。5、多邊形的周長：多邊形各邊的長度和叫做多邊形的周長。6、凸多邊形：把多邊形的任何一條邊向兩方延長，假如多邊形的其他各邊都在延長線所得直線的問旁，這樣的多邊形叫凸多邊形。說明：一個多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形；有四條邊的叫做四邊形；有幾條邊的叫做幾邊形。此后所說的多邊形，假如不特別聲明，都是指凸多邊形。7、多邊形的角：多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內角，簡稱多邊形的角。8、多邊形的外角：多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做多邊形的外角。注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點的內角的鄰補角。9、n邊形的對角線共有條。說明：運用上述公式，可以由一個多邊形的邊數(shù)計算出它的對角線的條數(shù)，也可以由一個多邊形的對角線的條數(shù)求出它的邊數(shù)。10、多邊形內角和定理：n邊形內角和等于（n－2）180°。11、多邊形內角和定理的推論：n邊形的外角和等于360°。說明：多邊形的外角和是一個常數(shù)（與邊數(shù)無關），運用它解決有關計算題比運用多邊形內角和公式及對角線求法公式簡樸。無論用哪個公式解決有關計算，都要與解方程聯(lián)系起來，掌握計算方法。二、平行四邊形1、平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形性質定理1：平行四邊形的對角相等。3、平行四邊形性質定理2：平行四邊形的對邊相等。4、平行四邊形性質定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。5、平行四邊形性質定理3：平行四邊形的對角線互相平分。6、平行四邊形鑒定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。7、平行四邊形鑒定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。8、平行四邊形鑒定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。9、平行四邊形鑒定定理4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。說明：（1）平行四邊形的定義、性質和鑒定是研究特殊平行四邊形的基礎。同時又是證明線段相等，角相等或兩條直線互相平行的重要方法。（2）平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個性質，又是平行四邊形的一個鑒定方法。三、矩形矩形是特殊的平行四邊形，從運動變化的觀點來看，當平行四邊形的一個內角變?yōu)?0°時，其它的邊、角位置也都隨之變化。因此矩形的性質是在平行四邊形的基礎上擴充的。1、矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做短形（通常也叫做長方形）2、矩形性質定理1：矩形的四個角都是直角。3．矩形性質定理2：矩形的對角線相等。4、矩形鑒定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。說明：由于四邊形的內角和等于360度，已知有三個角都是直角，那么第四個角必然是直角。5、矩形鑒定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。說明：要鑒定四邊形是矩形的方法是：法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個直角（這是用定義證明）法二：先證明出是平行四邊形，再證出對角線相等（這是鑒定定理1）法三：只需證出三個角都是直角。（這是鑒定定理2）四、菱形菱形也是特殊的平行四邊形，當平行四邊形的兩個鄰邊發(fā)生變化時，即當兩個鄰邊相等時，平行四邊形變成了菱形。1、菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2、菱形的性質1：菱形的四條邊相等。3、菱形的性質2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。4、菱形鑒定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。5、菱形鑒定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。說明：要鑒定四邊形是菱形的方法是：法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。（這是鑒定定理2）法三：只需證出四邊都相等。（這是鑒定定理1）（五）正方形正方形是特殊的平行四邊形，當鄰邊和內角同時運動時，又能使平行四邊形的一個內角為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。1、正方形：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形性質定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。3、正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。4、正方形鑒定定理互：兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。5、正方形鑒定定理2：兩條對角線相等的菱形是正方形。注意：要鑒定四邊形是正方形的方法有方法一：第一步證出有一組鄰邊相等；第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用定義證明）方法二：第一步證出對角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是鑒定定理1）方法三：第一步證出對角線相等；第二步證出是菱形。（這是鑒定定理2）六、梯形1、梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。2、梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長的邊叫做下底）3、梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。4、梯形的高：梯形有兩底的距離叫做梯形的高。5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。6、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。7、等腰梯形性質定理1：等腰梯形在同一底上的兩個角相等。8、等腰梯形性質定理2：等腰梯形的兩條對角線相等。9、等腰梯形的鑒定定理l。：在同一個底上鉤兩個角相等的梯形是等腰梯形。10、等腰梯形的鑒定定理2：對角線相等的梯形是等腰梯形。研究等腰梯形常用的方法有：化為一個等腰三角形和一個平行四邊形；或兩個全等的直角三角形和一矩形；或作對角線的平行線交下底的延長線于一點；或延長兩腰交于一點。七、中位線1、三角形的中位線連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。說明：三角形的中位線與三角形的中線不同。2、梯形的中位線：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形中位線。3、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。4、梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。八、多邊形的面積說明：多邊形的面積常用的求法有：（1）將任意一個平面圖形劃分為若干部分再通過求部分的面積的和，求出本來圖形的面積這種方法叫做分割法。如圖3－l，作六邊形的最長的一條對角線，從其它各頂點向這條對角線引垂線，把六邊形提成四個直角三角形和兩個直角梯形，計算它們的面積再相加。（2）將一個平面圖形的某一部分割下來移放在另一個適當?shù)奈恢蒙?，從而改變本來圖形的形狀。運用計算變形后的圖形的面積來求原圖形的面積的這種方法。叫做割補法?！?）將一個平面圖形通過拼補某一圖形，使它變?yōu)榱硪粋€圖形，運用新的圖形減去所補充圖形的面積，來求出本來圖形面積的這種方法叫做拼湊法。注意：兩個圖形全等，它們的面積相等。等底等高的三角面積相等。一個圖形的面積等于它的各部分面積的和。例題：例1、如圖41-2，求∠B+∠C+∠D的度數(shù)和。例2、一個多邊形的每一個外角都等于45°，那么這個多邊形的內角和是多少度。分析：用多邊形外角和公式就可以求解。例3、已知：如圖43-1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm。求□ABCD內角的度數(shù)與邊長。例4、如圖45-4，在□ABCD中，對角線AC、BD交于O點，EF過O分別交BC、AD于點E、F，且AE⊥BC，求證：四邊形AECF是矩形。例5、如圖48-3，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分別為CD、AB的中點，且MN⊥AB。求證：梯形ABCD是等腰梯形。圖48-3例6、已知：如圖49-2，梯形ABCD中，AB⊥BC，DE=EC。求證：AE=EB。幾何部分第四章：相似形知識點：一、比例線段1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：b＝m：n（或）2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如4、比例外項：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項。5、比例內項：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內項。6、第四比例項：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項。7、比例中項：假如比例中兩個比例內項相等，即比例為（或a:b=b:c時，我們把b叫做a和d的比例中項。8、比例線段：在四條線段中，假如其中兩條線段的比等于此外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。9、比例的基本性質：假如a：b＝c：d那么ad＝bc逆命題也成立，即假如ad＝bc，那么a：b＝c：d10、比例的基本性質推論：假如a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是假如b2=ad那么a：b=b：c。說明：兩個論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。11、合比性質：假如，那么12．等比性質：假如，（），那么說明：應用等比性質解題時常采用設已知條件為k，這種方法思緒單一，方法簡樸不易犯錯。13、黃金分割把一條線段提成兩條線段，使較長的線段是原線段與較小的線段的比例中項，叫做把這條線段黃金分割。說明：把一條線段黃金分割的點，叫做這條線段的黃金分割點，在線段AB上截取這條線段的倍得到點C，則點C就是AB的黃金分割點。二、平行線分線段成比例1、平行線等分線段定理：假如一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。格式：假如直線L1∥L2∥L3，AB＝BC，那么：A1B1＝B1C1，如圖4－l說明：由此定理可知推論1和推論2推論1：通過梯形一腰的中點與底平行的直線必平分另一腰。格式：假如梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC推論2：通過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。格式，假如△ABC中，D是AB的中點，DE∥BC，那么AE＝EC，如圖4—32、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的相應線段成比例。說明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問定理的特殊情況。3．平行線分線段成比例定