高二數(shù)學人教A必修5練習：1.1.2 余弦定理 Word版含解析

課時訓練2余弦定理一、利用余弦定理解三角形1.在△ABC中,a=1,B=60°,c=2,則b等于()A.1 B.2 C.3 D.3答案:C解析:b2=a2+c2-2accosB=1+4-2×1×2×12=3,故b=32.在△ABC中,c2-a2-b2=3ab,則角C為()A.60° B.45°或135°C.150° D.30°答案:C解析:∵cosC=a2+b2-c23.在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,則此三角形的最大內角的度數(shù)等于.

答案:120°解析:由正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7,不妨設a=3,b=5,c=7,則c邊最大,∴角C最大.∴cosC=a2+b∵0°<C<180°,∴C=120°.4.(2015河南鄭州高二期末,15)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sinA=3sinC,B=30°,b=2,則邊c=.

答案:2解析:∵在△ABC中,sinA=3sinC,∴a=3c.又B=30°,由余弦定理,得cosB=cos30°=32=a2+二、判斷三角形形狀5.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b+c=2ccos2A2,則△ABC是(A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形答案:A解析:∵b+c=2ccos2A2,且2cos2A2=1+cos∴b+c=c(1+cosA),即b=ccosA.由余弦定理得b=c·b2化簡得a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.6.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC的形狀是()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.不能確定答案:A解析:由sin2A+sin2B<sin2C,得a2+b2<c2,所以cosC=a2+所以∠C為鈍角,即△ABC為鈍角三角形.7.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若a=2bcosC,試判斷△ABC的形狀.解法一:∵cosC=a2+b2-c22ab得a=2b·a2∴a2=a2+b2-c2,即b2-c2=0.∴b=c.∴△ABC為等腰三角形.解法二:根據(jù)正弦定理asinA=b得a=2RsinA,b=2RsinB,代入已知條件得2RsinA=4RsinBcosC,即sinA=2sinBcosC,∵A=π-(B+C),∴sinA=sin(B+C).∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.∴sinBcosC-cosBsinC=0.∴sin(B-C)=0.又-π<B-C<π,∴B-C=0,即B=C.∴△ABC是等腰三角形.三、正弦定理、余弦定理的綜合應用8.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知b-c=14a,2sinB=3sinC,則cosA的值為(A.-14 B.14 C.12 D答案:A解析:∵2sinB=3sinC,∴2b=3c.又b-c=a4,∴a=2c,b=32∴cosA=b2+c9.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,則A=.

答案:π解析:∵sinC=23sinB,∴由正弦定理得c=23b.∵a2-b2=3bc,∴cosA=b=23∴A=π610.(2015山東威海高二期中,17)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c且滿足4acosB-bcosC=ccosB.(1)求cosB的值;(2)若ac=12,b=32,求a,c.解:(1)已知等式4acosB-bcosC=ccosB,利用正弦定理,得4sinAcosB-sinBcosC=sinCcosB,整理,得4sinAcosB=sin(B+C),即4sinAcosB=sinA,∵sinA≠0,∴cosB=14(2)∵ac=12,b=32,cosB=14∴由b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2=24,聯(lián)立a2+c2=24與ac=12,解得a=c=23.(建議用時:30分鐘)1.設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=1,b=2,cosC=14,則sinB=(A.1516 B.154 C.158 答案:B解析:由已知根據(jù)余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4,∴c=2,即B=C,∴sinB=1-2.(2015河北邯鄲三校聯(lián)考,3)在△ABC中,如果sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,那么cosC等于()A.23 B.-23 C.-13 D答案:D解析:由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=2∶3∶4,可設a=2k,b=3k,c=4k(k>0),由余弦定理可得cosC=a2+b2-c3.在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c.若C=120°,c=2a,則()A.a>bB.a<bC.a=bD.a與b的大小關系不能確定答案:A解析:由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得2a2=a2+b2+ab,∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b.4.△ABC的三邊長分別為AB=7,BC=5,AC=6,則BA·BC的值為(A.19 B.14 C.-18 D.-19答案:A解析:cosB=72∴BA·BC=|BA||BC|cosB=7×5×19355.在不等邊三角形ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中a為最大邊,如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C,則角A的取值范圍為()A.0,π2 C.π6,π3答案:D解析:由題意得sin2A<sin2B+sin2C,再由正弦定理得a2<b2+c2,即b2+c2-a2>0,則cosA=b2+∵0<A<π,∴0<A<π2又a為最大邊,∴A>π3因此得角A的取值范圍是π36.已知在△ABC中,2B=A+C,b2=ac,則△ABC的形狀為.

答案:等邊三角形解析:∵2B=A+C,又A+B+C=180°,∴B=60°.又b2=ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos60°=a2+c2-ac,∴有a2+c2-ac=ac,從而(a-c)2=0,∴a=c,故△ABC為等邊三角形.7.(2015北京高考,12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,則sin2AsinC=答案:1解析:在△ABC中,由正弦定理知,sin2AsinC=2sinAcosAsinC=2cosA·a再根據(jù)余弦定理,得cosA=36+25-所以sin2AsinC8.在△ABC中,角A,B,C的對邊邊長分別為a=3,b=4,c=6,則bccosA+accosB+abcosC的值為.

答案:61解析:由余弦定理得bccosA+accosB+abcosC=b29.在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC,試判定△ABC的形狀.解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得(a+b)2-c2=3ab,即a2+b2-c2=ab.∴cosC=a2∵0°<C<180°,∴C=60°.∵A+B+C=180°,∴sinC=sin(A+B).又∵2cosAsinB=sinC,∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,∴sin(A-B)=0.∵A,B均為△ABC的內角,∴A=B.因此△ABC為等邊三角形.10.在△ABC中,