《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》項目11 數(shù)理統(tǒng)計初步

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經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)項目11

項目11數(shù)理統(tǒng)計初步數(shù)理統(tǒng)計的基本概念及常用統(tǒng)計分布任務(wù)1任務(wù)2參數(shù)估計假設(shè)檢驗任務(wù)3任務(wù)1

數(shù)理統(tǒng)計的基本概念及常用統(tǒng)計分布章目錄一、總體、個體、樣本二、統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的分布一、總體、個體、樣本1．總體、個體的概念節(jié)目錄章目錄在一個統(tǒng)計問題中，

把研究對象的全體組成的集合稱為總體，組成總體的每個元素稱為個體。關(guān)于總體、個體的概念,應(yīng)該注意兩點:（1）我們所要研究的對象是就其某個數(shù)量指標(biāo)而言的。如燈泡的質(zhì)量，主要指其使用壽命(小時數(shù))。所以，上例中的總體實際上是指所有燈泡的使用壽命(小時數(shù))的全體，而個體是每個燈泡的使用壽命(小時數(shù))。（2）總體是隨機(jī)變量。例如，

一個燈泡廠同一天所生產(chǎn)的燈泡，由于受各種因素的影響，每個燈泡的使用壽命各不相同。若用X

表示燈泡的使用壽命,則Y就是隨機(jī)變量。所以總體是隨機(jī)變量可能取值的全體。即總體是一個隨機(jī)變量。一、總體、個體、樣本2．樣本節(jié)目錄章目錄為推斷總體的分布及各種特征,按一定的規(guī)則從總體中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗，以獲得有關(guān)總體的信息。這一抽取過程稱為“抽樣”。所抽取的部分個體稱為樣本。通常記為樣本中所包含的個體數(shù)目n稱為樣本容量。容量為

n的樣本可以看作n維隨機(jī)變量。但是，

一旦取定一組樣本，得到的就是

n個具體數(shù)

，稱此為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值。為了使樣本能很好地反映總體的情況，當(dāng)然應(yīng)該要求總體中每一個個體被抽到的可能性是均等的，

并且在抽取一個個體后總體的成分不改變。這種抽取個體的方法稱為簡單隨機(jī)抽樣。被抽出的部分個體，叫做總體的一個簡單隨機(jī)樣本(簡稱為樣本)。二、統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的分布1．常用統(tǒng)計量節(jié)目錄章目錄二、統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的分布2．常用統(tǒng)計分布節(jié)目錄章目錄（1）X2分布二、統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的分布2．常用統(tǒng)計分布節(jié)目錄章目錄（1）X2分布圖11-1-1二、統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的分布2．常用統(tǒng)計分布節(jié)目錄章目錄（1）X2分布二、統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的分布2．常用統(tǒng)計分布節(jié)目錄章目錄（2）t分布圖11-1-2是n=1，n=4，n=10的t分布密度函數(shù)圖形。圖11-1-2設(shè)

，且X與Y相互獨立，

則稱隨機(jī)變量服從自由度為n的t分布，記作，其概率密度為:

二、統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的分布2．常用統(tǒng)計分布節(jié)目錄章目錄（2）t分布二、統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的分布2．常用統(tǒng)計分布節(jié)目錄章目錄（2）t分布二、統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的分布2．常用統(tǒng)計分布節(jié)目錄章目錄（2）t分布相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例

從總體N(52，6.32)中隨機(jī)抽取一容量為36的樣本，求樣本均值

落在50.8到53.8之間的概率。解

這里

。

由

，

即

得所求概率為任務(wù)2參數(shù)估計章目錄一、點估計二、區(qū)間估計一、點估計節(jié)目錄章目錄一、點估計節(jié)目錄章目錄二、區(qū)間估計節(jié)目錄章目錄二、區(qū)間估計節(jié)目錄章目錄1．已知方差，對均值的區(qū)間估計二、區(qū)間估計節(jié)目錄章目錄2．未知方差，對均值的區(qū)間的估計二、區(qū)間估計3．對總體方差的區(qū)間估計節(jié)目錄章目錄相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例1設(shè)某種零件的長度(以cm記)。隨機(jī)地取8只零件測得其長度分別為37.037.438.037.338.137.137.637.9試求參數(shù)μ

，σ2的點估計。解由于，

，

，故可以分別用樣本均值和樣本方差作為μ

，σ2

的點估計。因所以(cm),(cm)。相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例2

在一化學(xué)制品廠隨機(jī)地選擇10天，測得其日產(chǎn)量為776810790788822806795807812791試以該樣本估計這個工廠的日產(chǎn)量的平均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ

。例3某棉區(qū)36個單行的皮棉平均產(chǎn)量為，已知，如果皮棉產(chǎn)量服從正態(tài)分布，求該棉區(qū)單行皮棉產(chǎn)量的置信水平為0.99的置信區(qū)間。解日產(chǎn)量的樣本平均值與樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為

故得μ與σ的點估計(噸)，(噸)。解

這里1-a=0.99

，從而a/2=0.005

，查正態(tài)分布表得臨界值

。根據(jù)(11-2-1)式，得單行皮棉產(chǎn)量的置信水平為0.99的置信區(qū)間為（4.06,4.14）。相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例4

有一大批糖果。現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋，稱得重量(以克計)如下：506508499503504510497512514505493496506502509496設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布，試求總體均值μ的置信水平0.95為的置信區(qū)間。例5

試求例4中總體方差σ2

的置信水平0.95為的置信區(qū)間。解

這里1-a=0.95

，a/2=0.025

，n=16由所給數(shù)據(jù)算得：

查t分布表得臨界值。于是由(11-2-2)總體均值μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為（500.4,507.1）。解

這里查x2分布表得自由度為15的臨界值

，，

則由(11-2-3)式,得總體方差σ2的置信水平0.95為的置信區(qū)間為(3.38,14.86)。任務(wù)3假設(shè)檢驗章目錄一、假設(shè)檢驗的基本原理二、正態(tài)總體的假設(shè)檢驗一、假設(shè)檢驗的基本原理節(jié)目錄章目錄設(shè)一箱中有紅白兩種顏色的球共100個，甲說這里有98個白球，乙從箱中任取一個，發(fā)現(xiàn)是紅球，問甲的說法是否正確？先作假設(shè)H0

：箱中確有98個白球。如果假設(shè)H0

正確，則從箱中任取一個球是紅球的概率只有0.02，是小概率事件。通常認(rèn)為在一次隨機(jī)試驗中，概率小的事件不易發(fā)生，因此，若乙從箱中任取一個，發(fā)現(xiàn)是白球，則沒有理由懷疑假設(shè)的正確性。今乙從箱中任取一個，發(fā)現(xiàn)是紅球，即小概率事件竟然在一次試驗中發(fā)生了，故有理由拒絕假設(shè)

，即認(rèn)為甲的說法不正確。一、假設(shè)檢驗的基本原理節(jié)目錄章目錄小概率事件的概率越小，否定原假設(shè)就越有說服力。常記這個概率值為()，稱為檢驗的顯著性水平。對不同的問題，檢驗的顯著性水平

不一定相同，但一般應(yīng)取為較小的值，如0.1，0.05，或0.01等。在假設(shè)檢驗問題中，把要檢驗的假設(shè)

H0稱為原假設(shè)。二、正態(tài)總體的假設(shè)檢驗節(jié)目錄章目錄1．已知方差σ2，檢驗H0:

μ=μ0二、正態(tài)總體的假設(shè)檢驗節(jié)目錄章目錄2．未知方差σ2，檢驗H0:

μ=μ0二、正態(tài)總體的假設(shè)檢驗節(jié)目錄章目錄3．未知μ

，檢驗H0:

σ2=σ02相關(guān)實踐例1

由經(jīng)驗知某零件的重量

，=15，=0.05；技術(shù)革新后，抽出6個零件，測得重量為(單位：克)：

14.715.114.815.015.214.6，已知方差不變，試統(tǒng)計推斷，平均重量是否仍為15克？(=0.05)節(jié)目錄章目錄相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例2

化工廠用自動包裝機(jī)包裝化肥，每包重量服從正態(tài)分布，額定重量為100公斤。某日開工后，為了確定包裝機(jī)這天的工作是否正常，隨機(jī)抽取9袋化肥，稱得平均重量為99.978，均方差為1.212，能否認(rèn)為這天的包裝機(jī)工作正常？(=0.1)解

這是一個方差未知，正態(tài)總體的均值檢驗。用t檢驗法。假設(shè)

。由題設(shè)，n=9

。計算統(tǒng)計量的絕對值，

得查t分布表，自由度為9-1=8的臨界值1.86。因為0.0545<1.86，所以接受原假設(shè)，

即認(rèn)為這天的包裝機(jī)工作正常。相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例3

某煉鐵廠的鐵水含碳量X在正常情況下服從正態(tài)分布，現(xiàn)對工藝進(jìn)行了某些改進(jìn)，從中抽取5爐鐵水測得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，據(jù)此是否可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082？(=0.05)解

這是一個均值未知，正態(tài)總體的方差檢驗，用χ2檢驗法。假設(shè)

。

對于給定的顯著性水平=0.05，

自由度為5-1=4

，查χ2

分布表經(jīng)計算得。經(jīng)計算得χ2統(tǒng)計量的觀測值為17.8543,因為17.8543＞11.14，所以拒絕原假設(shè)，即可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差不是0.1082PPT模板下載：/moban/行業(yè)PPT模板：/hangye/節(jié)日PPT模板：/jieri/P