微專題幾何綜合題中兩種常用的輔助線作法

2.在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使ED＝DF，連接CF.則有△BED≌△CFD.特別的，如下圖，可過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，構(gòu)造成倍長(zhǎng)類(lèi)中線模型，并得到△DBM≌△EFM.針對(duì)演練1.如圖所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，則BC邊上的中線AD的取值范圍為_(kāi)__________．第1題圖4＜AD＜162.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD＝CE，連接DE交BC于點(diǎn)M.求證：DM＝EM.第2題圖證明：如解圖，作DG∥AE，交BC于點(diǎn)G，則∠GDM＝∠E，∠DGB＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠DGB，∴BD＝DG，∵CE＝BD，∴DG＝CE，在△DMG和△EMC中，第2題解圖∴△DMG≌△EMC(AAS)，∴DM＝EM.∠GDM＝∠E∠DMG＝∠CME

，DG＝CE方法二截長(zhǎng)補(bǔ)短法適用情況：在已知或求證中，涉及兩條線段的和(或差)等于另一條線段．方法示例例如圖，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，CN⊥AE交AB于點(diǎn)N，連接EN.求證：AE＝CN＋EN.例題圖如解圖①，在AE上截取AM＝CN，連接CM，∵CN⊥AE，∠1＋∠NCA＝90°，∴∠2＋∠NCA＝90°，∴∠1＝∠2.在△ACM和△CBN中，解法1—直接截長(zhǎng)法：例題解圖①AC＝CB∠1＝∠2

，AM＝CNCM＝BN∠MCB＝∠B

，CE＝BE∴△ACM≌△CBN.∴CM＝BN，∠ACM＝∠B＝45°.∴∠MCE＝45°.∴∠B＝∠MCE.在△MCE和△NBE中，∴△MCE≌△NBE.∴EM＝EN.∴AE＝AM＋EM＝CN＋EN.解法2—間接截長(zhǎng)法：如解圖②，作∠ACB的平分線CM交AE于點(diǎn)M，則在△ACM和△CBN中，∠1＝∠2AC＝BC

，∠ACM＝∠B例題解圖②∴△ACM≌△CBN.∴CM＝BN，AM＝CN，∵∠MCE＝45°.∴∠B＝∠MCE.∴△MCE≌△NBE.∴EM＝EN.∴AE＝AM＋EM＝CN＋EN.CM＝BN∠MCB＝∠B

，CE＝BE在△MCE和△NBE中，CM＝AE∠1＝∠2

，AC＝BC解法3—直接補(bǔ)短法：如解圖③，延長(zhǎng)CN至點(diǎn)M，使CM＝AE，連接BM，在△ACE和△CBM中，例題解圖③∴△ACE≌△CBM.∴CE＝BM＝BE，∠ACE＝∠CBM＝90°，∴∠MBN＝45°＝∠NBE，BN＝BN∠NBM＝∠NBE

，BM＝BE在△NBM和△NBE中，∴△NBM≌△NBE.∴NM＝EN.∴AE＝CM＝CN＋NM＝CN＋EN.∠1＝∠2BC＝AC

，∠CBM＝∠ACE解法4—間接補(bǔ)短法：如解圖④，作BM⊥BC交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，在△ACE和△CBM中，例題解圖④∴△ACE≌△CBM.∴CE＝BM＝BE，∵∠CBM＝90°，∠CBA＝45°，∴∠NBM＝∠NBE＝45°.BN＝BN∠NBM＝∠NBE

，BM＝BE在△NBM和△NBE中，∴△NBM≌△NBE.∴NM＝EN，∴AE＝CM＝CN＋NM＝CN＋EN.針對(duì)演練3.如圖，在正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)