數(shù)學(xué)用行程問題

1.4用一元一次方程解決實際問題

用一元一次方程分析和解決實際問題的基本過程如下:實際問題數(shù)學(xué)問題已知量,未知量,等量關(guān)系一元一次方程方程的解解的合理性實際問題答案抽象分析列出求出驗證合理運用方程解決實際問題的一般過程是什么？1、審題：分析題意，找出題中的數(shù)量及其關(guān)系；2、設(shè)元：選擇一個適當?shù)奈粗獢?shù)用字母表示（例如x）；3、列方程：根據(jù)相等關(guān)系列出方程；4、解方程：求出未知數(shù)的值；5、檢驗：檢查求得的值是否正確和符合實際情形，并寫出答案。審設(shè)列解驗6、答：把所求的答案答出來。答例2某工人在一定時間內(nèi)加工一批零件，如果每天加工44個就比規(guī)定任務(wù)少加工20個；如果每天加工50個，則可超額10個．求規(guī)定加工的零件數(shù)和計劃加工的天數(shù)．抓“不變量”建立等量關(guān)系分析：每天加工的零件數(shù)是變量，實際做的工作總量也隨著變化，但有兩個不變量，即計劃加工的時間不變，規(guī)定任務(wù)不變，這就是題目中的等量關(guān)系，可得到兩種解法．一元一次方程解應(yīng)用題的基本類型行程問題工程問題銷售問題調(diào)配問題數(shù)字問題方案問題儲蓄問題其他行程問題行程問題中三個量的關(guān)系三個基本量關(guān)系是：速度×?xí)r間=路程行程問題主要包括相遇、追及、環(huán)行、水流問題基本題型：（1）同時出發(fā)（兩段）等量關(guān)系：（2）不同時出發(fā)（三段）1.相遇問題——相向（對）而行等量關(guān)系：例3：當代數(shù)學(xué)家蘇步青教授曾在法國遇到一個很有名氣的數(shù)學(xué)家，這位數(shù)學(xué)家在電車里給蘇教授出了幾個題目：（1）甲、乙兩人，同時出發(fā)，相對而行，距離是50km，甲每小時走3km，乙每小時走2km，問他倆幾小時可以碰到？基本題型：1、不同地點同時出發(fā)2、同地點不同時出發(fā)追及時：快者行駛的路程－慢者行駛的路程＝相距的路程

追及時快者行駛的路程＝慢者行駛的路程

慢者所用時間=快者所用時間+多用時間2.追及問題（2）如果甲、乙、小狗都從同一地點出發(fā)，同向而行，甲、乙速度與（1）中相同，小狗速度為每小時5千米，乙和小狗先出發(fā)3小時，甲再出發(fā)追趕乙，當甲追上乙時，小狗跑了多少千米？思考：（3）如果甲，乙，小狗速度與（2）相同，甲、乙相向而行，小狗同甲一起出發(fā)，它碰到乙時，就反向往甲這邊走，然后碰到甲，它又往乙這邊走，問小狗在甲乙相遇時一共走了多少千米？3.環(huán)行問題

反向環(huán)行類似相遇問題：

快者走的路程+慢者走的路程=環(huán)形周長．同向環(huán)行類似追及問題：

快者走的路程-慢者走的路程=環(huán)形周長．例4一條環(huán)行跑道長400米，甲每分鐘行550米，乙每分鐘行250米．

甲、乙兩人同時同地同向出發(fā)，問多少分鐘后他們再相遇？

順水速度=船速+水速

逆水速度=船速－水速4.水流問題順水的路程=逆水的路程例5汽船從甲地順水開往乙地，所用時間比從乙地逆水開往甲地少1.5小時。已知船在靜水的速度為18千米/小時，水流速度為2千米/小時，求甲、乙兩地之間的距離？

解法1：設(shè)甲、乙兩地的距離為x千米

等量關(guān)系：逆水所用時間－順水所用時間=1.5

依題意得：

x=120

答：甲、乙兩地的距離為120千米。直接設(shè)元解法2設(shè)汽船逆水航行從乙地到甲地需x小時，

則汽船順水航行的距離是(18+2)(x－1.5)千米,逆水航行的距離是(18－2)x千米。等量關(guān)系：汽船順水航行的距離=汽船逆水航行的距離。依題意得：(18+2)(x－1.5)=(18－2)xx=7.5(18－2)×7.5=120答:甲、乙兩地距離為120千米。間接設(shè)元

例6某人從甲村去乙村，在乙村停留1小時后又繞道去丙村，再停留半小時返回甲村，去時的速度是5千米/時，回時的速度是4千米/時，來回包括停留時間共用去6小時30分鐘，回來因繞道多走了2千米，求去時所走的路程。提高題

甲、乙兩人分別從A、B兩地同時相向出發(fā)，在離B地6千米處相遇后又繼續(xù)前進，甲到B地，乙到A地后，都立即返回，又在離A地8千米處相遇，求A、B兩地間的距離．分析：用常規(guī)方法解決本題具有一定難度，若把兩個運動過程一起處理，便可使問題迎刃而解．解：如圖，第一次相遇，甲、乙兩人合走一個全程，對應(yīng)乙走6千米；第二次相遇，甲、乙兩人合走了三個全程，故乙共走了18千米，設(shè)A、B兩地間的距離為x千米，第二次相遇時乙走了(x+8)千米，所以x+8=18，x=10．答：A、B兩地間距離為10千米．小結(jié)：行程問題包括相遇、追及、環(huán)形、航行等運動問題其基本關(guān)系是：路程=時間×速度1相遇問題的等量關(guān)系：甲行距離+乙行距離=總路程2追擊問題的等量關(guān)系：

1）同時不同地：慢者行的距離+兩者之間的距離=快者行的距離

2）同地不同時：甲行距離=乙行距離