矩形菱形正方形

玩轉貴陽10年中考真題考點特訓營中考試題中的核心素養(yǎng)矩形相關的證明與計算（結合圖形的折疊和動態(tài)問題進行考查）玩轉貴陽10年中考真題

命題點1基礎訓練1．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝8，將矩形紙片ABCD折疊，使點B與點D重合，則折痕EF的長為(

)A.7B.C.8D.第1題圖B2.如圖，四邊形ABCD是矩形，連接BD，∠ABD＝60°，延長BC到E使CE＝BD，連接AE，則∠AEB的度數為(

)A.15°B.20°C.30°D.60°3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝10，E、F分別在邊BC，AD上，BE＝DF.將△ABE，△CDF分別沿著AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF，連接GH.若AG，CH分別平分∠EAD和∠FCB，則GH長為(

)A.3B.4C.5D.7第2題圖第3題圖AB4.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，連接BE，F為BE中點，且AF＝BF.(1)求證：四邊形ABCD為矩形；(2)過點F作FG⊥BE，垂足為F，交BC于點G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4.求CG的長．第4題圖4.(1)證明：∵F為BE中點，AF＝BF，∴AF＝BF＝EF，∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF，在△ABE中，∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°，∴∠BAF＋∠FAE＝90°，又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD為矩形；第4題解圖(2)解：如解圖，連接EG，過點E作EH⊥BC，垂足為H，∵F為BE的中點，FG⊥BE，∴BG＝GE，∵S△BFG＝5，CD＝4，∴S△BGE＝10＝

BG·EH，∴BG＝GE＝5，在Rt△EGH中，GH＝＝3，在Rt△BEH中，BE＝＝BC，∴CG＝BC－BG＝4－5.菱形的相關證明與計算（10年6考，近6年僅2016年未考，在解答題中考查時會涉及三角形全等）

命題點25.(2019貴陽4題3分)如圖，菱形ABCD的周長是4cm，∠ABC＝60°，那么這個菱形的對角線AC的長是(

)A.1cm

B.2cm

C.3cm

D.4cm第5題圖A6.(2018貴陽5題3分)如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF∥CB，交AB于點F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周長為(

)A.24B.18C.12D.9第6題圖A7.(2014貴陽18題10分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，AC邊上的中點，連接DE，將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE，連接AF，CD.(1)求證：四邊形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四邊形ABCF的周長．第7題圖7.(1)證明：根據題意，△ADE≌△CFE，∴AE＝CE，DE＝EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，(2分)∵∠ACB＝90°，點D是AB中點，∴CD＝AD，∴四邊形ADCF是菱形．(5分)(2)解：在Rt△ACB中，AB＝＝10，∴AD＝

AB＝5，(6分)∵四邊形ADCF是菱形，∴AF＝CF＝DC＝AD＝5，(8分)∴AB＋BC＋CF＋FA＝10＋8＋5＋5＝28.∴四邊形ABCF的周長是28.(10分)8.(2013貴陽20題10分)已知：如圖，在菱形ABCD中，F是BC上的任意一點，連接AF交對角線BD于點E，連接EC.(1)求證：AE＝EC；(2)當∠ABC＝60°，∠CEF＝60°時，點F在線段BC上的什么位置？說明理由．第8題圖8.(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ABD＝∠CBD，AB＝CB.(2分)∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴AE＝EC；(5分)(2)解：點F位于BC的中點．理由如下：由(1)知△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE，∵∠ABC＝∠CEF＝60°，∴△CEF∽△ABF，(6分)∴∠CFE＝∠AFB＝

×180°＝90°，即EF⊥BC.又∵∠EBC＝

×60°＝30°，∠ECB＝90°－∠CEF＝30°，∴∠EBC＝∠ECB＝30°，(8分)∴△CEB為等腰三角形，又∵EF⊥BC，∴點F為BC的中點．(10分)9.(2015貴陽18題10分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，且AE∥CD，CE∥AB.(1)證明：四邊形ADCE是菱形；(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高(計算結果保留根號)．第9題圖9.(1)證明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝AD＝BD＝

AB，(2分)∵AE∥CD，CE∥AB，∴四邊形ADCE為平行四邊形．(4分)又∵CD＝AD，∴四邊形ADCE為菱形；(5分)(2)解：如解圖，過點D作DH⊥AE于點H，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD為等邊三角形．(7分)∵BC＝6，∴AD＝CD＝BC＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°.∵四邊形ADCE是菱形，∴∠DAH＝2∠BAC＝2×30°＝60°，(9分)∴∠ADH＝30°.第9題解圖在Rt△ADH中，AD＝6，∴AH＝

AD＝

×6＝3，∴DH＝∴菱形ADCE的高為.(10分)10.(2017貴陽18題10分)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D、E分別是邊BC、AB上的中點，連接DE并延長至點F，使EF＝2DE，連接CE，AF.(1)證明：AF＝CE；(2)當∠B＝30°時，試判斷四邊形ACEF的形狀并說明理由．第10題圖10.(1)證明：∵在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AB的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴AC＝2DE，DE∥AC，∵EF＝2DE，∴AC＝EF，又∵DE∥AC，即EF∥AC，∴四邊形ACEF是平行四邊形，∴AF＝CE；(5分)(2)解：當∠B＝30°時，四邊形ACEF為菱形．理由如下：∵點E是Rt△ABC斜邊AB的中點，∴AE＝CE＝BE＝

AB，∵∠B＝30°，∴∠BCE＝30°，∴∠ACE＝60°，∵AE＝CE，∴△ACE是等邊三角形，∴AC＝CE，由(1)知四邊形ACEF是平行四邊形，∴四邊形ACEF是菱形．(10分)拓展訓練11.如圖，在菱形ABCD中，點E為BC的中點，∠ACD＝60°，AE＝cm，則BC的長為(

)A.cmB.1cmC.2cmD.2cm第11題圖C12.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF.(1)求證：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．第12題圖12.(1)證明：∵E是AD的中點，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE.∴△AFE≌△DBE(AAS)．∴AF＝DB.∵AD是BC邊上的中線，∴DB＝DC，∴AF＝DC；∠AFE＝∠DBE∠FAE＝∠BDE

，AE＝DE在△AFE和△DBE中，(2)解：四邊形ADCF是菱形；證明：∵AF＝DC，AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵AD是BC邊上的中線，∴AD＝

BC＝DC.∴四邊形ADCF是菱形．13.(2017貴陽10題3分)如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠DCB＝90°，且BC＝2AD.以AB，BC，DC為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3.若S1＝3，S3＝9，則S2的值為(

)A.12B.18C.24D.48正方形的相關證明與計算（10年5考，在解答題中考查會涉及三角形全等）

命題點3第13題圖D14.(2012貴陽21題10分)如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．(1)求證：CE＝CF；(2)若等邊三角形AEF的邊長為2，求正方形ABCD的周長．第14題圖14.(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD.(1分)∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，(3分)∴BE＝DF，∵BC＝CD，∵BC－BE＝DC－DF，∴CE＝CF；(5分)(2)解：在Rt△EFC中，CE＝EF·sin∠CFE＝2×sin45°＝.(6分)設正方形ABCD的邊長為x，則在Rt△ABE中，x2＋(x－)2＝22，(8分)解得x1＝

，x2＝(舍去)，(9分)∴正方形ABCD的周長為4×.(10分)拓展訓練15．如圖，分別沿長方形紙片ABCD和正方形紙片EFGH的對角線AC，EG剪開，拼成?KLMN，若中間的四邊形OPQR恰好是正方形，且?KLMN的面積為50，則正方形EFGH的面積為________．第15題圖25【對接教材】九上第一章P1－P29.

考點特訓營矩形、菱形、正方形平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系矩形性質判定面積菱形性質判定面積正方形性質判定面積考點精講直角相等且互相平分2直角相等3具有平行四邊形的所有性質邊：對邊平行且相等角：四個角都是_________對角線：對角線________________

對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有______條對稱軸矩形性質判定有一個角是_________的平行四邊形是矩形（定義）對角線_________的平行四邊形是矩形有_________個角是直角的四邊形是矩形面積：S＝ab（a，b分別為矩形的長和寬）返回思維導圖具有平行四邊形的所有性質邊：四條邊都相等對角線：對角線_______________，每條對角線平分一組對角對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有____條對稱軸菱形性質判定有一組鄰邊_________的平行四邊形是菱形（定義）對角線_________的平行四邊形是菱形四條邊都_________四邊形是菱形面積：S＝，m，n分別為兩條對角線的長，a為菱形的邊長，h為菱形任意一邊的高若已知m、n、a、h中任意三個可以用等面積法求出另一個）互相垂直且平分2相等互相垂直相等返回思維導圖既有矩形的性質，又有菱形的性質邊：四條邊都相等角：四個角都是___________對角線：對角線互相________且相等，每條對角線_____一組對角對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有____條對稱軸正方形性質判定有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形（定義）有一組鄰邊相等的矩形是正方形對角線互相垂直的矩形是正方形有一個角是直角的菱形是正方形對角線相等的菱形是正方形面積：S＝，（a為正方形的邊長，l為對角線的長）直角垂直平分平分4返回思維導圖平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系【溫馨提示】對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形；對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形；對角線,垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形.直角相等相等直角返回思維導圖重難點突破一、矩形的相關證明與計算例1題圖①例1已知，四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O.(1)如圖①，添加一個條件_____________________________，可以使平行四邊形ABCD為矩形；【判定依據】______________________________；(2)如圖①，四邊形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，則∠ABC＝________度，BD＝________；AC＝BD或AO＝BO或DO＝CO對角線相等的平行四邊形為矩形905(3)如圖②，四邊形ABCD為矩形，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接OE，交BC于點G.①若∠BED＝60°，∠OGC＝________度；例1題圖②120【解法提示】∵BE＝BD，∠BED＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∵O為BD的中點，∴OE⊥BD，∵BC⊥DE，∴BC平分∠DBE，∴∠DBC＝30°，∴∠OBG＝30°，∴∠BGO＝60°，∴∠OGC＝120°.②取BE的中點F，連接OF，證明：OF⊥BC；③若AB＝6，BE＝10，求OE的長．②證明：∵點O、F分別為BD、BE的中點，∴OF為△BDE的中位線，∴OF∥DE，∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥DE，∴OF⊥BC；③解：如解圖，過點O作OP⊥CD于點P，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AC＝BD，∵BE∥AC，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴BE＝BC，例1題解圖∴BE＝AD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵BE＝BD＝10，∴CD＝CE＝6，同理，可得CP＝DP＝

CD＝3，∴EP＝9，在Rt△BCE中，由勾股定理可得：BC＝＝8，∵OB＝OD，∴OP為△BCD的中位線，∴OP＝

BC＝4，∵OP⊥CD，∴在Rt△OPE中，OE＝二、菱形的相關證明與計算例2

(1)如圖①，四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O.添加一個條件________，可以使平行四邊形ABCD為菱形；【判定依據】_________________________________．例2題圖①AC⊥BD對角線互相垂直的平行四邊形為菱形(2)如圖②，菱形ABCD中，

H為BC上一點，連接OH，若AC＝16，BD＝12.①BC＝________，菱形ABCD的面積是________；例2題圖②【解法提示】∵AC＝16，BD＝12，∴OB＝6，OC＝8，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，∴BC＝10.S＝

AC×BD＝96.