第九章習(xí)題歐幾里德空間

第九章空習(xí)R4中，指定標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積．＝（1，．求2解：2設(shè)歐氏空間VV14(,)14

2

21422222214證 12R2中，對(duì)于任意的向量x12

),(y1,

證明()R2的內(nèi)積

(,)x1y1x1y2x2y14x2 1y1 證明

(,)(x1,x2

4

y2

A

A4(x1,

),(y1,

R2（1）(,)(,)（2）k,lR,

(z1,

)R2．(kl,)k(,)l(,

x1（3）A正定，故存在可逆矩陣C

A

C．從而(,)(x1x2A

0．而2x

T

x

x

x(,)0(x,

)CT

1

1

10，即

10，故

10，從而0xxxx xxxx2

2

x2

2

2設(shè)C是一個(gè)nRnX,Y(X,Y)XTCTX,YRn證明A是一個(gè)nRnX,Y(X,Y)XT１）X,YRn ２）Rn的基(1,0,,0)T,,(0,,0,1)T的度量矩陣． 1）A

．由(i

ijj)Tijj

(i,j1,2,n，故1,

,,

G(,

)(, a

j

ijA

，X(x1,

,,

12)T，Y(y,12

,,

)TRnnn(X,Y)＝XTAY＝ai,

xiyj，

(XTAX)

(aiji,j1

nxixn

)2，Y1(YTAY)

n(ayy)nijii,j故Rn中關(guān)于如此定義的內(nèi)積的—不等式 aIJxiy

(aijxixj)2(aijyiyj)i,j

i,j

i,jX,Y x2R上的線性變換，使XxRX)xXR2

(X,(X))

2

1 x2證明Xx

，由X)

2 1(X,(X))x1x2x2x171,2,,mn維歐氏空間V的一個(gè)向量組．證明：1,2,,m的度量矩陣G(1,2,,m)可逆當(dāng)且僅當(dāng)1,2,,m線性無關(guān)證明設(shè)k11k22kmm0．等式兩邊分別與1,2,,mk1(i,1)k2(i,2)km(i,m)0

i1,2,,即k1 G(

k2 m) km從而1,2,,m線性無關(guān)線性方程組（1）r(G(1,2,,m))m1,2,,m的度量矩陣G(1,2,,m)可逆設(shè)歐氏空間VV為d(,)1）當(dāng)d()02）d(,)d(,)3）,,V，d(,)d(,)d(,) 若V為n維歐氏空間，1,2,,n是V的一個(gè)基，aiibiiV d(,)2(ab,ab,,ab)G(,,,)(ab,ab,,ab

1）2）3）,,V，d(,)

()(

d(,)d(,n4）d(,)2(,)n

b),(ab)nin

(ab,ab,,

b)G(

)(ab,ab,,ab

設(shè)abc是正數(shù)且abc1.試證1119 證明R3R3abcR3a(a

,1

1)，(a,b,cbc則()292111bc

2abc1．故由—不等式111 習(xí)設(shè)1,2,33氏空間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．證明1

2

31

23是V

1

2

23證明

(1,

,

)1(

,3) 1

222故

G(1,2

,

)19

2

G(1,

,

)

2 2 1 2 1T 19

2

23 21 23從而123是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基

R4的

412解112

1212

)，2

66

63

6)， (3

33

3)3

4即為R4的標(biāo)準(zhǔn)正交基3維歐氏空間V的基1,2,3的度量矩陣1 1 1A 1求V

41解11 1

2,3

即為V設(shè)1,2,,n是n維歐氏空間V1,2,,n是V aiibiiV，均有(aibi

證明必要性.由于G(1,2,,n)En.故對(duì)aiibiiV (,)(a1,a2,,an)G(1,2(a,a,,a)(b,b,,

)Ta

inn充分性.由i010i1iG(1,

,,

nij故1,2,,n是Vij設(shè)1,2,3,44V的標(biāo)準(zhǔn)正交基．將V121223，22124，323，4123化成V解1

5 5，

7525

5， 53 3

15

3 則1,2,3,4為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基設(shè)1,2,,m是n維歐氏空間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．證明：對(duì)Vmm

(,)2imim(,i)i證明由于mn,將1,2,,m擴(kuò)充為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,,m,m1,,n.對(duì)Vnnkjjj2j

kj

nn,j

k

)(k,k,,k)G(,,,)(k,k,,k jk2k2(,)2jj

mm(,i

1,2,,mV的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,上述不等式變?yōu)閙m

(,)2

,即等號(hào)成立.反之,若不等式等號(hào)成立,則由上述不等式證明過程可知i ikm1kn0kjjkjj,有(,i)(kjj,i)ki,i1,2,j

j

mm(,i)i設(shè)ARnn．證明：A是正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A的列向量構(gòu)成Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基證明必要性.A的列向量分別為1,2,,nATAEnT1ATA

T

(, 2 2

Tn 即G(,,,)EA A的列向量1,2,,n滿足G(1,2,,n)EnT1ATA

T

G(

)2 2

TA

n習(xí)設(shè)n(n1維歐氏空間V中的非零向量．證明：１）WxxV,(x,0是V的子空間．２）dimWn證 1)易證令UL(.由0,故dimU1.下證WUxW(x,0kU(x)k(x,0xUWU反之UkU(kk(,0的任意性可知(,0從而W,故UW,從而WUdimWdimUndimUn1設(shè)V是n維歐氏空間，W，W1,W2均為V1）(W)W 若WW，則WW 3）(WW)WW 4）(WW)WW 證

WW()0的任意性可得WWW.設(shè)dimWm故(WW2)WW(,)0WWW

(,)0,即W.故WW WWWWW,WW且W可得 (,)0(,)0(,)(,)(,)(,)1故1

W),從而WW

W)2121221212

(WW),則WW,有(0.從而WWW

(,)0 12121W.同理可得W,故WW.從而12121

W)WW2123212

121212(WW)(W)(W)W121212故WW[(WW)](WW 設(shè)關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積構(gòu)成的歐氏空間R4的子空W(a,b,c,d)a,b,c,d

2abc求W解 dW,由2abc0,故c2ab,

2a

11,0,2,0),20,1,1,0),30,0,0,1W中的線性無關(guān)向量,故1,2,3 dimW3,故dimW1.從而

wW,則由(,),),)0x2zyzw

x，故ywz

1,

0．從而WL(

1,

ARmn．證明線性方程組AXb有解的充要條件是mb與齊次線性方程組ATY0 證明XAXb的任一解．則bAXATY0的NAT，則YNATATY0 0(b,Y)bTYXTATY0即bNATYNAT，由條件得bTY0ATY0AT ATY Y bT bTY AT從而齊次線性方程組ATY0與 Y0同解，bT AT r(A,b)r(AT)r(bT AXb設(shè)W1,W2是n維歐氏空間V的兩個(gè)子空間，且dimW1dim(W2．證明：存在0W2證明W1的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,,m,將其擴(kuò)充為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,,mm1,,n.令UL(m1,,n),則UW1且dimUnm.設(shè)dimW2rrm

W2)dimUdimW2dim(UW2)(nm)rn可得存在0UW2,從而0W2,又U且UW1,故W1習(xí)R2關(guān)于內(nèi)

記這個(gè)歐氏空間為WR2到W 解R2中取標(biāo)準(zhǔn)正交基1,0),0,1.由,W,故可將, 121,0), aaW,令()aa12

.則R2到W 1 2 1 2證R2到W設(shè)W為所有n階實(shí)稱矩陣關(guān)于內(nèi)(A,B)1tr(ABT)，A,B2構(gòu)成的歐氏空間．R3到W a2(a1,

,a3

a302 023證明：R3到W的一個(gè)同構(gòu)映射，并求W證明顯然R3到W的一個(gè)雙射aaa),bbbR3klR，則 (kl)k()l(又

a2

b2

b 2

3

3

0 0

1b1

2

a1b1 而()ababab

a1b1a2b2((),())(R3到W1 2 3 由1,0,0),0,1,0),0,0,1R3

000(1)1 000

0，(2)

0，(3)

00 00即為W

1

1 設(shè)是歐氏空間V到W的線性映射．證明：是V到W的同構(gòu)映射的充要條件是將V正交基1,2,,n變成W的標(biāo)準(zhǔn)正交基(1),(2),,(n證明必要性．由是V到W的同構(gòu)映射，故dimVdimWn．又1,2,,n是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，故(iWi1,2,n．且

),

j))(i

)1,i 0,i

，i,j1,2,,j故(1),(2),,(n是W 充分性．由是歐氏空間V到W的線性映射，故aiiV，則()ai(i)n n(1),(2),,(n)W的標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而VW的滿射．又biiV，令 ()(，則ai(i)bi(i，即(aibi)(i)0aibi,i1,2,n．從而

是V到W的單射．故是V到W((),())(a,a,,a)G((),(),,())(b,b,,b (a,a,,a)(b,b,,b (a,

,,

)G(

)(b,b,,b

故是V到W

習(xí)在關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積構(gòu)成的歐氏空間R3中，定義線性變證明：R3

(a1,a2,a3

2 2 6(a1,a2,a3 61212 證 令A(yù)112112

R3的標(biāo)準(zhǔn)正交基

11

1(1)1

,1

)，(2)

)，(3)

1,1,123636236故在1,2,3下的矩陣23636236B

11 1BTB

EB為正交矩陣，從而R33設(shè)是n維歐氏空間V的單位向量．定義V3證明是V證明V(,)4(,)2(,)4(,)2(,()，故是V由是V的單位向量，故將擴(kuò)充為V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,2,3,,n()，(i)i2(,i)i，i2,3,,則在,2,3,,nAdiag(1,1,,1A1，故是V3．設(shè)是n維歐氏空間V上的變換，若V(()是V證 由的定義，V，令0，則()0，

且(0)0()()()故是V設(shè)是n維歐氏空間V1）保持向量的正交性不變，即V且，則()( 存在一個(gè)正數(shù)k，使V()k證 1)2)設(shè)1,2,,n是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基．則ij,i

jij1,2,n1）得(i(j，即((i),(j0i

nnjij1,2,n．從而aiiV，2(,)而

ai

nn,

ai

nnai)ai()2((),())

ai(

nn),

ai(

nn))

a2()

ii又(ijij，iji,j1,2,n(ij(ij((ij),(ij))0iiiji,j1,2,n．

((),())()2() (2(2()()iji,j1,2,nk(i1,2,n． ik0且（１）

i()2k2i

a2k2()k2)

()k，即((),())k2,，故V((),())k2(,)，((),())k2(,((),())k2(,故((),())2((),())((),())k2(,)2k2(,)k2(,((),())k2(,若，即()0，故((),())k2)0，從而()(設(shè)是n維歐氏空間Vl為Vl當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，l證 1）設(shè)在V的標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,,n下的矩陣為A．則A為正交矩陣且A1．又在V的標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,,nAEnnAn

A0，即l

A

A(AE

A由１）可得l在V的標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,,nAEnA

A

A(E

EA(1)n1An 由nAn

A

A

0，故l1證 設(shè)A為n階正交矩陣，為A的實(shí)特征值，為A的屬于的特征向量．則0，0A，故T

T

TATT

ATAAT，即AT，兩邊取共軛得AT，故TATTTAT1T比較(1),(2)得T1T．由T0，故1，即21，故1或1． 習(xí)A，求正交矩陣U，使UTAU 4 1）A 24 44 2）A1 1 1

122 0 A

0

2

4 35

U 2

355 533 533 UTAU UTAU

0

2 B3）BB

，則A

．令U

5UT

diag

6

20

T

55 55 U

，則U即為所求，且U1

AU 6, 設(shè)是n維歐氏空間V2V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,,,，使在1,2,,n r為

r r 設(shè)1,2,,n為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，在1,2,,n下的矩陣為A．則由條件得A為實(shí)對(duì)稱矩陣且滿足A2A．若設(shè)為A的特征值，則由A2A得2，故0或１．從而存在正交陣U

r rUTAU rrA即為

(1,2,,n)(1,2,,n則1,2,,n為V1 2 n 1 2 n 1 2 2 n(,,,)(,,,)U(,,,)1 2 n 1 2 n 1 2 2 n11 nr 從而在1,2,,n下的矩陣為nr r 證 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，1,2,,n是A的全部特征值．則iR,i1,2,,n且存在正矩陣U

12UTAUdiag(,12

,,n12A正定的充要條件是UTAUdiag(12

,,

正定，故

0,i1,2,,nASAS2證 設(shè)1,2,,n是A的全部特征值．由A是正定矩陣，故i0,i1,2,,n．且存在正交陣U

12AUTdiag(,12

,,

令SUT

)USAS2A是正定矩陣．證明：對(duì)任意的自然數(shù)kAkAA證 設(shè)1,2,,n是A的全部特征值．由A是正定矩陣，故i0,i1,2,,n．且存在正交陣U

12AUTdiag(,12

,,n故對(duì)任意的自然數(shù)kAkUTdiag(k,k,,ki而i

0i1,2,nAk

nnAi0A

AA1UTdiag AA1AA

AnAA 0,i1,2,,n，故A是正定矩陣AA為n階可逆實(shí)對(duì)稱矩陣，12,nA的全部特征值．證明：存在秩為１的n階實(shí)對(duì)稱P1P2,PnA1P12P2nPn證 由條件知i0,i1,2,,n且存在正交矩陣U，12AUTdiag(,12

,,nUdiagTi

iUTdiag(0,,0,1,0,,0)UP(i1,2,n為秩為１的niA1P12P2nAB均為nABABn證 由條件知存在可逆矩陣C，使CTACE．又CTBC為n階正定矩陣，則存在正交矩陣Un使12UTCTBCUdiag(,12

,,n其中1,

,,

是CTBC

0,i1,2,,iPCUPinnPTAPUTEUnn

，PTBPdiag(,

,,n12故12nP2ABPTAPPTndiag(11,12,,1n)(1i112nEndiag(1,2,,nPTAP

PT

P2(ABP20，故ABAB補(bǔ)充題證明：歐氏空間V中的向量正交的充要條件是對(duì)tRt證 必要性．由(,)0．故tR，t2(t,t(,)2t(,)t2(,)2(t)2ttt2(,)2t(,)由tt22t(的判別式4()20，故()0，即向量設(shè)是歐氏空間V上的一個(gè)非零向量，1,2,,mV且滿足１）(i,)0,i1,2,m；２）(i,j0i,j1,2,mij，證明：1,2,,m線性無關(guān)．mm證 設(shè)kii0，且不妨設(shè)ki0(1ir)，kj0(r1

jm，其中0rm kiikj jr (,)(kii,kjj)kikj(i,j)

jr

i1jr 而()0kiikjj0 jr (kii,)ki(i,)0，(kjj,)kj(j,)

jr

jrki(i,)0,i1,2,rkj(j,)0,jr1,mki(i,)0,i1,2,,r，kj(j,)0,jr1,,從而由條件１）ki0,i1,2,rkj0,jr1,m，即1,2,,m設(shè),n(n3維歐氏空間V中的線性無關(guān)向量．證明：１）WxxV,(x,xx,0是V的子空間．２）dimWn3．證

0W，從而W是歐氏空間Vx,yWklR(kxly,)k(x,)l(y,)同理(kxly)0(kxly,)0．故kxlyW．從而W是V２）令VL(,)，由,線性無關(guān)，故,是V的基且dimV3．下證WV xW，則(x,xx,0．故k1k2k3V1，(x,)k1(x,)k2(x,)k3(x,)故V，從而WV．反之V，則對(duì),V，有(,,0， W，從而VW．故WV．從而

n 41,2,,n1n維歐氏空間V中的線性無關(guān)向量組，V中的向量12均與i(i1,2,n112證

WL(1,2

．則1,2,,

W的基且dimWn1．令V1L(1,2)

k11k22

lii

12i(i1,2,n1 (,)k1li(1,i)k2li(2,i) 1故W，即1

dimWndimW1

11212不全為零，則由dimV11，故dimV1112112m設(shè)1,2,,m是n維歐氏空間VmG(1,2,,m)(i,i且（１）等號(hào)成立的充要條件是1,2,,m是V 對(duì)m施行數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)m1時(shí)，結(jié)論顯然成立．m1

(1,1

(1,m1

(1,mG(1,2,,m)(m,m)Dm1

,1

m1

(m1,m(m,1 (m,m1 Dm1G(1,2,,m1) (i,i

(1,1

(1,m1 f(x1,x2,,xm1)

,1

m1

X (1,1

(1,m1)

1x1

其中A

，X

．由條件知1,2,,m1A

,1

)m1)

xm1xP

A1XP PAP

XTA1X故f(x1,

,,

Am1)X

XA(XTA1X)12AA1XTA1X0f(x12

,,

0(1,1

(1,m1

(1,m

f((

),,

,))

,1

m1

(m1,m

(m,1 (m,m1 G(1,2,,m)(m,m)Dm1(m,m)(i,i)(i,i 設(shè)（１）等號(hào)成立．當(dāng)m1時(shí)，1為正交向量組．歸納假設(shè)（１）等號(hào)成立時(shí)1,2,,m1交向量組．此時(shí)（２）

(1,1

(1,m

mm)

(i,i)

m1

m1

(m1,mm(m,1 (m,m1 mG(1,2,,m)(i,i(1,1 (m,1

(m,m1)

(1,m 0(m1,m)0即m1(,XTA1X 0

(i,i故(i,m)0,i1,2,m1．從而此時(shí)1,2,,m是V中的正交向量組．反之，若1,2,,m是V中的正交向量組，則G(1,2,,m)

mm(1,100(1,1000 00(m,m即（１）AB均為nABAB證 由

A1,

B1AB

nA(EATB)n

nnAEATnnnB(EATnAB0AB

B(EBTA)A設(shè)V是n維歐氏空間．證明：對(duì)于任意一個(gè)nA，存在V的一個(gè)基1,2,,nAG(1,2,,n證明A

任意一個(gè)n階正定矩陣，則存在n階實(shí)可逆矩陣CACTC．又設(shè)1,2,,n為V(1,2,,n)(1,2,,n則1,2,,n是V的一組基，且由G(1,2,,n)En1 1 2 nG(,,,)CTG(,,,)C1 1 2 n設(shè)1,2,,m1,2,,m是歐氏空間V中的兩個(gè)向量組且滿(i,j)(i,j),i,j1,2,,證明：由1,2,,m1,2,,m生成的V的兩個(gè)子空間同構(gòu)證 設(shè)V1L(1,2,,m)，V2L(1,2,,m)的基，即為1,2,,m的一個(gè)極大無關(guān)組．

dimV1r且不妨設(shè)1,2,,r為G(,,,

)(,

(, G(

)

12,r線性無關(guān)．又對(duì)k(rkmG(,,,,

)(,

(, G(

,,

)

j(r1)(r

j(r1)(r

12,rk12,r12,m的一個(gè)極大無關(guān)組．故dimV2r．從而V1,V2同構(gòu)．設(shè)1,2,,m12,m是n維歐氏空間V中的兩個(gè)向量組．證明：存在V(i)i,i1,2,,的充要條件是(i,jiji,j1,2,m證 必要性．由是V上的正交變換，故((i),(j))(i,j),i,j1,2,,m．從(i,j)((i),(j))(i,j),i,j1,2,,充分性．設(shè)1,2,,mr，不妨設(shè)1,2,,r為1,2,,mG(,,,

)(,

(, G(

)

12,r線性無關(guān)．又對(duì)k(rkmG(,,,,

)(,

(, G(

,,

)

j(r1)(r

j(r1)(r

12,rk線性相關(guān)從而12,r1,2,,m的一個(gè)極大無關(guān)組1,2,,mri(i1,2,mik11k22krril11l22lrr則將ii分別與1,2,,r12,rk1

(i,1)

(i,1)

l1 G(

k2(i,2)(i,2)G(,

,,

l2 r)

r) (,

(, r

r r

rk1 l1 由G(,

)G(,,,

可逆，故k2l2

kr

lr將1,2,,r標(biāo)準(zhǔn)正交化為1,2,,r存在可逆矩陣T(1,2,,r)(1,2,,r)T而(1,2,,r)(12,r)T也是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，將它們分別擴(kuò)充為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基r1,,n和1,2,,r,r1,,n．(i)i，i1,2,,則是V (,,,)(,,,)T1(,,, 從而對(duì)i(i1,2,m(i)k1(1)k2(2)kr(r)k11k22krr

是n維歐氏空間V上的兩個(gè)線性變換，1,2,,n是V的一個(gè)基，A,B分別為在1,2,,n下的矩陣．若V()()PATPABT證 由((1),(2),,(n))(1,2,,n)A，((1),(2),,(n))(1,2,,n故 G((),(),,())ATG(, G((),(),,())BTG( 由對(duì)V()()及((i),(j))((i),(j)),i,j1,2,,故G((1),(2),,(n))G((1),(2),,(n ATG(,,,)ABTG( PG(,,,)，故P為正定矩陣，且有ATPABT 設(shè)RnRn中定義變換()k(,證明：Rn求k，使Rn

Rn,k證 2）由Rn上的正交變換的充要條件是V()，即((),(,(k(,),k(,))(,k(k2)(,)20．由的任意性，取，則由(,)21，故k(k2)0kk2A為nS和正交矩陣UAUS證明A為nATA0XRnAX0A可逆，故X0，此為，故0AXRn．從而XTATAX(AX)T(AX)0，即ATA為正定矩陣．故存SATAS2A(AT)1令UAT)1SU

((AT)1S)T(AT)1SST(ATA)1SS(S2)1Sn故UAUSnA為n階實(shí)可逆矩陣．證明：存在正交矩陣U1,U2AUTdiag(,)U1，其中

0,i1,2,,n 2證 由A為n階實(shí)可逆矩陣，故ATA為正定矩陣．故存在正交矩陣U，2ATAUdiag(,,,)U U

,,

)diag(1,

,,

0,i

,i1,2,n．令U

(AT

2diag(1,

,,

1A(AT1

2diag(1,

,,

)diag(1,

,