世紀金榜理科數(shù)學廣東2

第四節(jié)基本不等式考綱考情廣東五年0考高考指數(shù):★☆☆☆☆

1.了解基本不等式的證明過程2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題五年考題無單獨命題

考情播報1.以命題真假判斷為載體,考查基本不等式成立的條件以及等號成立的條件,有時與不等式的性質(zhì)結(jié)合在一起考查,一般以選擇題的形式出現(xiàn),難度不大2.考查利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值,有時與不等式的恒成立問題相結(jié)合,多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),難度中等及以下3.考查利用基本不等式解決實際應(yīng)用中的最值問題,各種題型均有可能出現(xiàn),難度中等【知識梳理】1.基本不等式：(1)基本不等式成立的條件是________.(2)等號成立的條件：當且僅當____時取等號.a>0,b>0a=b2.常用的幾個重要不等式(1)(a,b∈R).(2)a+b≥______(a>0,b>0).(3)a2+b2≥____(a,b∈R).(4)≥ab(a,b∈R).以上不等式等號成立的條件均為a=b時取得.2ab3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)a>0,b>0________關(guān)系兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)_______它們的幾何平均數(shù)不小于4.利用基本不等式求最值(1)兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b為正實數(shù)，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤____，等號當且僅當_____時成立.簡記：和定積最大.(2)兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b為正實數(shù)，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥_____，等號當且僅當_____時成立.簡記：積定和最小.a＝ba＝b【考點自測】1.(思考)給出下列命題：①函數(shù)y=x+的最小值是2;②ab≤成立的條件是ab>0;③函數(shù)f(x)=cosx+x∈的最小值等于4;④x>0且y>0是≥2的充分不必要條件;⑤若a≠0，則a2+的最小值為2.其中正確的是()A.①③B.②④C.③⑤D.④⑤【解析】選D.①錯誤.當x<0時，函數(shù)值一定為負，最小值不是2.②錯誤.當ab<0時，仍有≥0，因此對于不等式ab≤當a,b中有0或一個負數(shù)時也是成立的.③錯誤.雖然由基本不等式可得f(x)=cosx+≥=4，但由于其中的等號成立的條件是cosx即cosx=2，但這顯然不成立，所以不能說函數(shù)的最小值是4.④正確.當x>0且y>0時一定有≥2，但當≥2時，不一定有x>0且y>0，所以x>0且y>0是≥2的充分不必要條件.⑤正確.因為a≠0,所以a2>0,所以等號成立的條件是a=±1.2.若x>0,y>0，且x+y=則xy的最大值為()【解析】選D.由基本不等式可得xy≤當且僅當x=y=時，xy取最大值故選D.3.若x>1,則x++1的最小值是()【解析】選C.由x>1得x-1>0，則x++1=x-1++2≥+2，當且僅當x=1+時取等號.故選C.4．已知x,y>0且x+4y=1，則的最小值為()A.8B.9C.10D.11【解析】選B.因為x,y>0且x+4y=1,所以當且僅當時取等號.5.某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比,如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元.那么,要使這兩項費用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站

千米處.【解析】設(shè)倉庫到車站的距離為x千米，由題意設(shè)y1=y2=k2x，而當x=10時，y1=2,y2=8,于是k1=20,k2=因此y1=y2=所以y1+y2==8,當且僅當x=5時取等號，所以倉庫應(yīng)建在離車站5千米處.答案：56.已知a,b∈(0,+∞),且滿足8a+2b=ab-9,則ab的取值范圍是

.【解析】由a,b∈(0,+∞)可得ab-9=8a+2b≥即ab--9≥0,故得≥9,故ab≥81,等號成立的條件是b=4a=18.答案：［81,+∞)考點1利用拘基本臥不等螞式求檔最值【典例1】(1資)(回20額14魔·福州各模擬)已知a>養(yǎng)0,曲b>牙0，則頸的最小發(fā)值是(樹)A.晝2B.C.晚4D.客5(2繼)已知x,背y∈嫌R+，且熔滿足=1，則xy的最袋大值毅為.(3塵)(紐奉20丹14烈·余姚率模擬)已知銹正數(shù)a,睬b滿足=3，則a+消b的取值范緞圍是.【解題創(chuàng)視點】(1敬)利用核基本暗不等稀式可哥解.(2概)利用丈基本贈不等盈式先娃求潔的奔取值今范圍,從而夢可求xy的最步大值.(3停)一種聾思路兆是根貝據(jù)=3，將a+冰b中的b用a表示甜，然莊后用猴基本不罩等式強求范給圍；壩另一損種思陵路是勾對=3變形尚，獲纏得a+軟b與ab的關(guān)少系，斃然后呀利用固基本蒸不等請式消吵去ab建立a+鄭b的不撒等式驅(qū)求解.【規(guī)范錦解答】(1務(wù))選A.因為a>椒0,殖b>掘0,所以ab＞0,所以等號筆當且汪僅當ab=1時取忘得.(2逮)因為付所以xy笨≤3兼,當且恒僅當飯即x=列y毅=2時取抽等號駛，故xy的最毀大值很為3.答案秧：3(3留)方法蝕一：蕉由=3得a+芝b=3夸ab，所濁以b=由于a>動0,b>捐0，可腔得a>于是a+盞b=當且諸僅當即a=時取蛇等號該，所半以a+和b的取摧值范硬圍是方法程二：恒由=3得a+欄b=3氧ab煉.由于ab≤所以a+捎b≤即4(嘗a+炭b)姻≤3楊(a倚+b構(gòu))2，所雄以a+鹽b≥即a+吹b的取箏值范哈圍是答案途：【互動鄉(xiāng)豐探究】本例復(fù)題(3轉(zhuǎn))中，歡條件樣不變棕，求ab的取租值范凱圍.【解析】由于a+堡b≥所以3a宋b≥即9(或ab螺)2≥4潤ab，所以ab≥即ab的取懂值范撈圍是【規(guī)律震方法】利用似基本絡(luò)不等炎式求黨最值東的常諷見類其型(1掏)若直藥接滿爛足基然本不漿等式術(shù)條件,則直銷接應(yīng)時用基膀本不京等式.(2介)若不搜直接緩滿足蠢基本制不等俯式條俘件,則需將要創(chuàng)南造條澇件對墊式子續(xù)進行收恒等襯變形,如構(gòu)補造“1”的代梨換等.(3濕)若可姑用基踏本不廢等式,但等午號不沙成立,則一肅般是訊利用跌函數(shù)廳單調(diào)紋性求孔解.(4策)若一慌次應(yīng)橫用基勇本不慚等式墳不能踢達到展要求,需多泥次應(yīng)醋用基好本不曠等式,但要黎注意慚等號項成立閘的條低件必覆須要廢一致.利用為基本嚴不等庸式求潮最值菌的要暮求(1岔)在利斃用基夢本不鬼等式困求最桿值時,必須趴滿足蓋三個章條件:①各項來均為當正數(shù);②含變屑數(shù)的惰各項懲的和(或積)必須牧是定佩值;③當含致變數(shù)效的各托項均球相等繩時取眨得最田值,即一苦正、少二定苗、三高相等.這三蚊個條設(shè)件極層易忽稅略而杯導(dǎo)致解題慎失誤,應(yīng)引這起足奶夠的棄重視.(2沸)上述兵結(jié)論劇是我雅們用何基本賴不等遠式求狡最值沫的依貴據(jù),可簡歷述為陷“和矛定積咱最大,積定名和最罰小”.【變式舉訓練】(2棍01娛4·南京相模擬)若x<叉0，則恭函數(shù)f(慰x)=攻1-鋸x-的最講小值供為__譽__騙__虜__眼.【解析】由于x<警0，所瘦以f(挎x)=遺1-屠x-宣=磚1+≥1夸+桐=其9，當茫且僅庫當-x顫=即x=券-4時，函數(shù)不取最暑小值9.答案烏：9【加固叢訓練】1.涌(2夠01票4·福州恨模擬)已知f(斜x)=女x+林-2雖(x學<0側(cè)),則f(楊x)有(錘)A.最大毀值為0幣B.最小喇值為0C.最大城值為-4陳D.最小其值為-4【解析】選C.由x<帥0得-x廈>0助,則f(撈x)=偶x+怒-2康=≤賺-2千=-租4，當碑且僅樓當x=接-1時取虎等號.2.設(shè)x>午0，則衛(wèi)函數(shù)y=接x-淺1+的最辯小值旬等于.【解析】y=飽x-宏1+宅=x漆+1啟+謎-律2≥當且五僅當x+牙1=即x=蓋1時取面等號聾，所遙以函爐數(shù)的眾最小夏值等返于2.答案嬌：23.函數(shù)f(嘴x)=蛾si端n屆x+貞(0剃<x既<π枕)的最膜小值敬是__溉__并__忽__妻.【解析】因為0<油x<塘π，所拋以0<壯si檢n格x≤侮1.因此隆由基明本不其等式得：f(薄x)=癢si臥n躍x+舒=士1，當顫且僅趙當si束n眼x=即x=或x=時取律等號連，所血以函技數(shù)的錫最小值等旦于1.答案腐：1考點2基本行不等撞式的暖實際獲應(yīng)用【典例2】(1抬)(嚷20仍14無·四平高模擬)某種乳飲料坡分兩酒次提賀價,提價題方案有脅兩種,方案流甲:第一淚次提儉價p%煙,第二損次提騰價q%炕;方案揪乙:每次都提廣價驗若p>書q>恥0,則提淚價多竿的方清案是.(2男)為了棉在夏林季降宵溫和隨冬季慎供暖盤時減備少能剩源損此耗,房屋奶的屋幼頂和外墻猴需要紅建造幟隔熱謠層.某幢爪建筑續(xù)物需飛建造爽可使專用20年的暗隔熱針層,每厘決米厚騾的隔舅熱層恰建造慣成本再為6萬元.該建眼筑物獅每年籮的能攪源消浮耗費用C(單位:萬元)與隔態(tài)熱層禽厚度x(單位:c況m)滿足媽關(guān)系:C(拿x)=(0恰≤x訓≤1歐0)不,若不禍建隔搭熱層,每年佳能源燃消耗嗎費用煩為8萬元.設(shè)f(細x)為隔逼熱層謹建造薪費用累與20年的瓦能源眠消耗理費用已之和.①求k的值搜及f(竭x)的表社達式;②隔熱聰層修冷建多喉厚時,總費捏用f(菠x)最小,并求婚最小款值.【解題糟視點】(1權(quán))列出毛兩次辟提價苦的關(guān)固系式獻，利繁用基敲本不般等式宇比較嬌大小臟即可.(2寬)①利用牙已知才條件玻代入于關(guān)系道式可車求k，從無而可理求f(揚x)的表昏達式.②整理膀轉(zhuǎn)化墨后利昂用基是本不葉等式班可解.【規(guī)范腥解答】(1尊)設(shè)原燦價為1，則烈提價蠶后的側(cè)價格,方案砍甲：(1桐+p枕%)役(1飾+q夫%)跨,方案各乙：因為且p>滅q>左0,所以即(1墊+p趁%)剩(1課+q駕%)使<所以纖提價型多的陳方案更是乙.答案予：乙(2檢)①由題庭設(shè)，眉建筑雕物每撞年能沒源消芬耗費售用為C(杰x)=再由C(殼0)吧=8，得k=椒40侵,所以C(泰x)=而隔樓熱層體建造懇費用貢為C1(x繼)=病6x荷,所以20年的燙能源塊消耗頂費用延之和歸與隔捏熱層些建造咬費用馬之和蹦為f(皂x)=緒20飽C(序x)疫+C1(x課)=嫩(寒0≤嫌x≤雀10月).②f(嘗x)=剝+6腳x=晌+鉗6x填+1勒0-杏10當且吉僅當=6規(guī)x+練10碑,即x=燙5時取咱等號.所以構(gòu)當隔緒熱層策修建韻厚度柱為5淹cm時，魔總費妻用最聲小，蜜為70萬元.【易錯獎警示】關(guān)注腰自變披量的淚取值本范圍本例(2非)中建漢立關(guān)狹系時缺，一季定要砍注意腦自變悶量的熔取值鞏范圍漿，否湊則解壤題時續(xù)易丟輛分，傅一定款要注搏意實抓際問寫題中若自變爽量的偶范圍.【規(guī)律劫方法】解應(yīng)換用題憐的關(guān)匪鍵點日及步推驟(1艙)關(guān)鍵墳：如孤何把灘等量蟲關(guān)系遍、不鋪等量圾關(guān)系鎮(zhèn)轉(zhuǎn)化哨為不慰等式議的問換題來支解決.(2楊)一般救步驟殊：①災(zāi)審題喉：審幫清題紹意，偵初步餐形成漫用怎石樣的硬模型殿能夠毛解決組問題遵的思吳路，丸明確病解題絮方向少；②建哲立數(shù)升學模愚型：盈根據(jù)緞①中笨的分允析，鋤把實醒際問經(jīng)題用類“符湖號語鉤言”莊“圖累形語極言”目抽象除成數(shù)跨學模慣型，泡建立筋所得報數(shù)學粒模型元和已榆知數(shù)鑄學模促型的秧對應(yīng)頑關(guān)系;③討論巨不等并關(guān)系勤：根世據(jù)②弱中建觸立起司來的周數(shù)學宵模型綿和題砍目要欣求，湖討論俱與結(jié)瘡論有染關(guān)的計不等綁關(guān)系分，得乳到有戶關(guān)理截論參筐數(shù)的蹦值；④得酬出問乓題結(jié)蠢論：同根據(jù)喉③中籍得到堂的理絞論參世數(shù)的貫值，右結(jié)合臺題目移要求咳得出給問題牛的結(jié)洗論.提醒瘡：當運敗用基膚本不彈等式瞇求最廳值時律，若脾使等柿號成糟立的膨自變艙量的猜值不忘在定譯義域聲內(nèi)時彎，就舟不能耐使用戲基本葬不等兆式求甲解，正此時置可根嗚據(jù)變躺量的叮范圍鳴用對反應(yīng)函補數(shù)的矩單調(diào)低性求維解.【變式辮訓練】(2竟01堅4·武漢節(jié)模擬)經(jīng)觀習測，俗某公失路段月在某嚴時段熄內(nèi)的車絕流量y(萬輛/小時)與汽岸車的拒平均棟速度v(千米/小時)之間身有函數(shù)以關(guān)系y=哀(略v＞0)搜.(1裝)在該剖時段急內(nèi)，躲當汽題車的汁平均眉速度v為多經(jīng)少時駱車流柿量y最大專？最大古車流糾量為巖多少?(2鐮)為保懷證在村該時泡段內(nèi)備車流岡量至魯少為1萬輛/小時錯，則匪汽車責的平均速許度應(yīng)桂控制艇在什網(wǎng)么范供圍內(nèi)?【解析】(1定)當v=即v=秧40喘(千米/小時)時，陰車流個量最緩大，叉最大證值約雖為1.暈10舒8萬輛/小時.(2強)據(jù)題滲意有化簡盛得v2-8如9v宋+1崖6邊00級≤0，即(v隙-2率5)栗(v鐘-6邊4)觀≤0倉,所以25側(cè)≤v顛≤6喬4.所以達汽車本的平際均速尊度應(yīng)燦控制曲在［25搖,6斥4］(千米/小時)這個宇范圍書內(nèi).【加固忌訓練】1.某種客汽車爬，購斷車費游用為10萬元筒，每段年的伴保險型費、嬸汽油現(xiàn)費約洗為0.員9萬元債，年符維修神費第懷一年幅是0.板2萬元考，以窮后逐浪年遞閃增0.箏2萬元.這種誦汽車痕使用查多少伯年時致，它我的年留平均輛費用浙最少址？【解析】由于田“年朗維修強費第順一年俯是0.干2萬元塞，以偽后逐鴉年遞著增0.逮2萬元摘”，固可知鴨汽車抗每年艘維修軍費構(gòu)沙成以0.裝2萬元圍為首炎項，0.玩2萬元為公醬差的壘等差陣數(shù)列軋，因探此，囑汽車庭使用x年時器總的沒維修排費用叫為萬元.設(shè)汽貌車的鑰年平液均費包用為y萬元培，則皮有當且盟僅當妹即x=族10時，y取得輝最小舞值.答：款汽車丟使用10年時員，它攪的年炎平均吸費用篇最少.2.某單漁位建服造一起間地默面面暢積為12盟m2的背滴面靠蘋墻的攀矩形襯小房,由于僅地理向位置底的限括制,房子店側(cè)面干的長圾度x不得謹超過5姿m.房屋描正面初的造庸價為40緊0元/m2,房屋踏側(cè)面耕的造粒價為15嶼0元/m2,屋頂踢和地浮面的襲造價萬費用蠟合計普為58款00元,如果櫻墻高茫為3蛾m,且不熟計房施屋背妖面的僑費用.當側(cè)震面的添長度莫為多凍少時,總造營價最區(qū)低?【解析】由題削意可勇得，象總造漠價則y=感+5胖8根00≥9城00超×孔+5毫8眾00您=1壞3當00閣0(元),當且羊僅當x=即x=運4時取檔等號.故當囑側(cè)面求的長梯度為4驚m時，石總造憶價最戒低.考點3基本朋不等暗式的靜綜合鬼應(yīng)用【考情】基本線不等崇式是嗽高考鐮考查劑的熱故點，翻幾乎姻每年渣高考攝均有根與其著有關(guān)黃的題列目.常以角選擇橋題、萬填空遍題的擦形式自出現(xiàn).通常獻以不賢等式拜為載些體綜瘡合考艙查函駕數(shù)、婦方程徐、三懲角函罪數(shù)、德立體掃幾何伍、解騾析幾浩何等腥問題.高頻釋考點面通賓關(guān)【典例3】(1宿)(橫20接13記·重慶渣高考)膊(－6≤命a≤鍬3)的最婚大值縣為(深)(2柔)(評20地13甘·上海牌高考)設(shè)常筒數(shù)a＞0.若9x遼+缸≥a麥+1對一廉切正實數(shù)x成立擴，則a的取挨值范臨圍為.【解題灑視點】(1餃)利用a的范梯圍判分斷(3哀-a召)與(a暈+6五)的符溫號,再用出基本廟不等仇式求腐解.(2逼)利用炎基本畫不等晨式去與掉x后轉(zhuǎn)注化為a的不祝等式當可求a的范改圍.【規(guī)范邊解答】(1群)選B.當a=興-6或a=吊3時,請=跟0，當－6<斬a<暢3時,3毛-a抵>0火,a伐+6題>0表,故當且城僅當3-蜻a=療a+怕6,即a=讓-時取喬等號.(2順)由題嫁意知廉，當x>才0時,9暢x+始=6徹a≥披a+漠1?a≥土.答案:[,+助∞)【通關(guān)襪錦囊】高考指數(shù)重點題型破解策略◆◆

應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立或比較大小對所給不等式(或式子)變形,然后利用基本不等式求解◆◆

條件不等式的最值問題通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解◆◆

求參數(shù)的值或范圍觀察題目特點,利用基本不等式確定相關(guān)成立條件,從而得參數(shù)的值或范圍【關(guān)注逮題型】◆

與其他知識結(jié)合的問題利用題目已知條件進行轉(zhuǎn)化,再利用不等式求解◆

利用基本不等式證明不等式應(yīng)用基本不等式利用綜合法或分析法求解【通關(guān)復(fù)題組】1.奪(2昨01拋4·海口蟻模擬)若a>惕0,控b>差0,氣a+侍b=錘2，則奇下列革不等嶺式：①a2+b2≥2值;②≥2;伏③a桶b≤脅1;辰④恒成普立的才是(乳)A.星①②嫂④B.殼①②偷③C.微②③完④D.遍①③肯④【解析】選B.因為a>廢0,犧b>應(yīng)0,跡a+姓b=歉2,所以攀由編得a2+b2≥2摧;≥2戴;a璃b≤堅1;即①價②③秘均正獄確；不妨狠令a=版b=鏡1,則耍故④涉錯誤男；綜上塊所述高，恒屬成立捕的是愁①②島③.故選B.2.蘭(2鹿01青2·陜西幟高考)在△AB預(yù)C中，尺角A，B，C所對聞邊的低長分嘆別為a,梅b,攔c，若a2+b2=2伏c2，則co狗sC的最蜓小值駝為(府)【解析】選C.由余粥弦定烤理得co暗sC=當且抄僅當a=啞b時，co老sC取最燃小值魄，為3.層(2皺01粒3·天津傭高考)設(shè)a+筐b=2婚,b精>0雞,則當a=時,取得兵最小饒值.【解析】因為a+湊b=2餐,b嚷>0，所帽以當且君僅當時等倆號成灰立，學此時a=－2或a=鑰.若a=－2，則若疑取單最小休值時垂，a=－2.答案泛：-2【加固替訓練】1.漂(2嘩01乳2·福建華高考)下列顛不等妥式一崇定成轉(zhuǎn)立的襲是(匯)A.嚼>lgx(簡x>0次)B.餓si巾nx+義≥2計(x蘆≠k巡壽π,日k∈勝Z)C.容x2+1腳≥2優(yōu)|x掃|(懂x∈煤R)D.擺>穩(wěn)1(陪x∈虎R)【解析】選C.選項具體分析結(jié)論A當且僅當x2=時,即x=時取等號不正確B當sinx<0時,不可能有sinx+≥2不正確C由基本不等式得x2+1=|x|2+1≥2|x|正確D因為x2+1≥1,所以≤1不正確2.攜(2梅01您4·浙江墾十校注聯(lián)考)若正貢數(shù)x，y滿足4x2+9墳y2+3攝xy簽=3禍0,則xy的最像大值脅是(勞)【解析】選C.由x>適0,業(yè)y>遣0知