廣東省深圳2023屆高三5月適應性測試數(shù)學試題

絕密啟用前 考試類型：B2023屆高三年級適應性測試數(shù)學本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘。注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡的相應位置上。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．在復平面內，復數(shù)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設隨機變量，若，則的值為（）A． B． C．3 D．53．已知向量，滿足，，且，則在方向上的投影向量為（）A．3 B． C． D．4．已知，，，則（）A． B． C． D．5．已知為拋物線的焦點，直線與交于，兩點，則的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．56．聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)．純音的數(shù)學模型是函數(shù)，我們聽到聲音是由純音合成的，稱之為復合音．若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則（）A．在區(qū)間內有一個零點 B．在上單調遞減C．在區(qū)間內有最大值 D．的圖象在處的切線方程為7．如圖，已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列命題中假命題為（）A．存在點，使得B．存在點．使得C．直線始終與直線異面D．直線始終與直線異面8．設各項均為實數(shù)的等差數(shù)列和的前項和分別為和，對于方程①，②，③．下列判斷正確的是（）A．若①有實珢，②有實根，則③有實根； B．若①有實根，②無實根，則③有實根；C．若①無實根，②有實根，則③無實根； D．若①無實根，②無實根，則③無實根二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題中的真命題有（）A．當時，的最小值是3B．的最小值是2C．當時，的最大值是5D．若關于的不等式的解集為，則10．對于函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得，那么稱函數(shù)有不動點，也稱是函數(shù)的一個不動點．下列命題中的真命題有（）A．有1個不動點 B．有2個不動點C．有3個不動點 D．沒有不動點11．設直線系，下列命題中的真命題有（）A．中所有直線均經(jīng)過一個定點B．存在定點不在中的任一條直線上C．對于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上D．中的直線所能圍成的正三角形面積都相等12．如圖，棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點，為線段的中點，球的表面與線段相切于點，則下列結論中正確的是（）A．平面B．球的體積為C．球被平面截得的截面面積為D．球被正四面體表面截得的截面周長為第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．一組數(shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第90百分位數(shù)是__________．14．若展開式的各項系數(shù)之和為32，則展開式中的常數(shù)項為__________．（用數(shù)字作答）15．扇面是中國書畫作品的一種重要表現(xiàn)形式，一幅扇面書法作品如圖所示，經(jīng)測量，上、下兩條弧分別是半徑為27和12的兩個同心圓上的弧，側邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心且圓心角為．若某幾何體的側面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為__________．16．定義兩個點集，之間的距離集為，其中表示兩點，之間的距離．已知，，，，，則的一個可能值為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知，，，且的圖象關于點對稱．（1）求；（2）設的角，，所對的邊依次為、、，外接圓半徑為，且，，．若點為邊上靠近的三等分點，求的長度．18．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和為，，，．（1）求，及的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，求的最小值．19．（本小題滿分12分）如圖，且，，且，且．平面，．（1）求平面與平面的夾角的正弦值；（2）若點在線段上，且直線與平面所成的角為，求線段的長．20．（本小題滿分12分）某制藥公司研制了一款針對某種病毒的新疫苗．該病毒一般通過病鼠與白鼠之間的接觸傳染，現(xiàn)有只白鼠，每只白鼠在接觸病鼠后被感染的概率為，被感染的白鼠數(shù)用隨機變量表示，假設每只白鼠是否被感染之間相互獨立．（1）若，求數(shù)學期望；（2）接種疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率為，現(xiàn)有兩個不同的研究團隊理論研究發(fā)現(xiàn)概率與參數(shù)的取值有關．團隊提出函數(shù)模型為．團隊提出函數(shù)模型為．現(xiàn)將白鼠分成10組，每組10只，進行實驗，隨機變量表示第組被感染的白鼠數(shù)，現(xiàn)將隨機變量的實驗結果繪制成頻數(shù)分布圖，如圖所示．（?。┰噷懗鍪录埃?，…，”發(fā)生的概率表達式（用表示，組合數(shù)不必計算）；（ⅱ）在統(tǒng)計學中，若參數(shù)時使得概率最大，稱是的最大似然估計．根據(jù)這一原理和團隊，提出的函數(shù)模型，判斷哪個團隊的函數(shù)模型可以求出的最大似然估計，并求出最大似然估計．參考數(shù)據(jù)：．21．（本小題滿分12分）已知定點，關于原點對稱的動點，到定直線的距離分別為，，且，記的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線？（2）已知點，是直線與曲線的兩個交點，，在軸上的射影分別為，（，不同于原點），且直線與直線相交于點，求與面積的比值．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若不等式恒成杢，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有三個不同的極值點，，，且，求實數(shù)的取值范圍．2023屆高三年級適應性測試數(shù)學答案選擇題：CADBBCCBAC，AB，BC，ABD．填空題：21；10；；（可填，中任何一個）．1．【答案】C．【解析】．2．【答案】A．【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，．3．【答穼】D．【解析】，，，則在方向上的投影向量為．4．【答案】B．【解析】，，所以．5．【答案】B．【解析】設，，聯(lián)立與得：，則．所以．當且僅當，即，時，上式取等號．6．【答案】C．【解析】A：，，A錯；B：，，B錯誤；C：．當時．，單調遞增，當時，，單調遞減，因此當時，取得最大值，C正確；D：，，因此圖象在原點處的切線方程為，D錯．7．【答案】C．【解析】當點和點重合時，．故A正確；連接，當點為線段的中點時，為三角形的中位線，即，故B正確；當點和點重合時，直線和相交，故C錯誤；直線平面，平面，所以直線與不相交；假設，由于，則，這與直線和相交矛盾，故D錯誤．或者利用異面直線的判定方法：平面，平面，，所以直線與異面．8．【答案】B．【解析】．，，，若且，則，故選B．9．【答案】AC．【解析】A：因為，所以，當且僅當時取等號，故A正確．B：，等號成立的條件是，所以等號不成立．令，則在上單調遞增，所以時取得最小值，故選項B錯誤；C：因為，所以，當且僅當時取等號，故C正確．D：，，，故．D錯誤．10．【答案】AB．【解析】A：，當且僅當取等號，A對；B：由及，解得或，B對；C：由周期性結合圖象知有無數(shù)個不動點，C錯；D：，D錯．11．【答案】BC．【解析】點到中每條直線的距離，即為圓的全體切線組成的集合，從而中存在兩條平行直線，所以A錯誤；又因為點不存在任何直線上，所以B正確；對任意、存在正邊形使其內切圓為圓，故C正確；中邊能組成兩個大小不同的正三角形和，故D錯誤．12．【答案】ABD．【解析】設、分別為、的中點，連接，，，，，，，則，，，，故，，則四邊形為平行四邊形．故，交于一點，且互相平分，即點也為的中點，又，，故，．，，平面，故平面，由于，平面，則平面，故，結合點也為的中點，同理可證，，，平面，故平面，A正確；由球的表面正好經(jīng)過點，則球的半徑為，棱長為2的正四面體中，，為的中點，則，故，則，所以球的體積為，B正確；由平面，平面，故平面平面，平面平面，由于平面，延長交平面于點，則平面，垂足落在上，且為正的中心，故，所以，故球被平面截得的截面圓的半徑為，則球被平面截得的截面圓的面積為，C錯誤；由A的分析可知，也為棱，中點連線的中點，則球與每條棱都交于棱的中點，結合C的分析可知，球被正四面體的每個面截得的截面都為圓，且圓的半徑都為，故球被正四面體表面截得的截面周長為．D正確．13．【答案】21．【解析】，．14．【答案】10．【解析】令，可得展開式的各項系數(shù)之和，解得，則展開式的通項為，令，可得常數(shù)項為．15．【答案】．【解析】由題意知該幾何體為圓臺，如圖，其中，分別為上、下底面圓的直徑，設圓臺的上底面圓的半徑為，圓心為，下底面圓的半徑為，圓心為，則，，得，，過點作，交于點，連接，則四邊形為矩形，所以為直你三角形，，．圓臺的母線長，所以圓臺的高．16．【答案】（可填，中任何一個）．【解析】，即，，故集合表示雙曲線上支的點，集合表示直線上的點，，故直線與漸近線平行，在漸近線下方，即，且與漸近線的距離為1．雙曲線的漸近線為，不妨取，則，平行線的距離，故，，．解答題17．【解析】（1）．．因為的圖象關于對稱，所以，，．又，所以．（2）由（1）知．因為，所以或，或，．因為，所以，在中，由正弦定理?，因為點為邊靠近的三等分點，所以．由余弦定理得，即，解得，所以，在中，由余弦定理得，所以．說明：也可以由兩邊平方得結果．18．【解析】（1），，，因為，，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以，所以．法二：時，，時上式也符合，即．所以，當時，：當時，上式也符合．所以，的通項公式為．（2），時，故，．所以，，．，．所以的最大值為，．所以的最小值為．19．【解析】（1）因為平面，，平面，所以，．因為，所以，，兩兩垂直，以為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向的空間直角坐標系（如圖），則，，，，，，．得，，．設為平面的法向量，則，令，則；設為平面的法向量，則，令，則，所以．所以平面與平面的夾角的正弦為．（2）設線段的長為，則，．因為，，，所以平面，為平面的一個法向量，所以，由題意，可得，解得．所以線段的長為．20．【解析】（1）由題知，隨機變量服從二項分布，，由，即．得，所以．（2）（ⅰ）“，，…，”，．．（ⅱ）記，則，當時，，單增；當時，，單減；當時，取得最大值，即取得最大值．在團體提出的函數(shù)模型，中，記，，則，當時，，單增；當時，，單減．所以當時，取得最大值，，則不可以估計．在團體提出的函數(shù)模型中，記函數(shù)，單調遞增，令，解得，則是的最大似然估計．21．【解析】（1）設，．由有，，兩邊平方得，化簡得，即曲線的方程為或．曲線匙以點，為焦點，長軸長為的橢圓與軸組成的曲線．（2）設直線與橢圓相交于，兩點，則，．將代入并整理得，，．直線的方程為：．設，則，同理直線與直線相交于點，．，其中．從而，與重合．因為，所以．又，，則．所以與面積的比值為1．注：（1）問中，在得到后，若，則該等式恒成立，若，則由等比性質有，后略．22．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，不等式恒成立，即在上恒成立，記，則，所以在上，單調遞減，在上，單調