創(chuàng)新設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)蘇教第三章第講用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與極值

第2講用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值考點(diǎn)梳理函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f′(x)≥0?f(x)為_(kāi)__函數(shù)；f′(x)≤0?f(x)為_(kāi)__函數(shù)．(1)判斷f(x0)是極值的方法一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；1．函數(shù)的單調(diào)性2．函數(shù)的極值增減②如果在x0附近的左側(cè)_________，右側(cè)________，那么f(x0)是極小值．(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符號(hào)．如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得_________；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值，如果左右兩側(cè)符號(hào)一樣，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn)．f′(x)＜0f′(x)＞0極大值一個(gè)考情解讀本講內(nèi)容是高考的必考內(nèi)容，主要以解答題的形式考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值．也有可能以解答題的形式考查導(dǎo)數(shù)與解析幾何、不等式、三角函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合的問(wèn)題．綜合題一般作為壓軸題出現(xiàn)，難度較大．【助學(xué)·微博】考點(diǎn)自測(cè)2．函數(shù)y＝3x2－6lnx的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_______，單調(diào)減

區(qū)間為_(kāi)_______．答案

(1，＋∞)

(0,1)3．若函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－x恰有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是________．答案

(－3,0)∪(0，＋∞)解析

f′(x)＝3x2－a，由f(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，得f′(x)≥0在區(qū)間[1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0，x∈[1，＋∞)恒成立，故實(shí)數(shù)a≤3x2在[1，＋∞)上的最小值，即a≤3.答案

(－∞，3]4．已知a＞0，函數(shù)f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是________．5．(2012·啟東中學(xué)一模)若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－4在區(qū)間(－1,1)內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案

[1,5)

考向一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，①當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，所以，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)>0，此時(shí)f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)<0，此時(shí)f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；②當(dāng)a≠0時(shí)，由f′(x)＝0，x∈(0,1)時(shí)，g(x)>0，此時(shí)f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)<0，此時(shí)f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．[方法總結(jié)]討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況．大多數(shù)情況下，這類問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過(guò)因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論，在不能通過(guò)因式分解求出根的情況時(shí)根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論．(1派)求f(x)的單心調(diào)增頑區(qū)間代；(2洞)若f(x)在定它義域R內(nèi)單鏟調(diào)遞餅增，仁求a的取同值范黑圍．解(1刊)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a，當(dāng)a≤0時(shí)，膨有f′(x)＞0在R上恒差成立余；當(dāng)a＞0時(shí)，禿有x≥l水na.綜上癢，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單員調(diào)增豈區(qū)間附為(－∞，＋∞)；當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)的單并調(diào)增萄區(qū)間錢(qián)為[l蘋(píng)na，＋∞)．【訓(xùn)練1】已知f(x)＝ex－ax－1.(2存)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上單滴調(diào)遞浸增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成澇立，即a≤ex，x∈R恒成煩立．∵x∈R時(shí)，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝ex，f′(x)＞0在R上恒垂成立夢(mèng)．故當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在定熟義域R內(nèi)單寸調(diào)遞膚增．考向咐二利用徒導(dǎo)數(shù)作解決跟函數(shù)接的極鋪值問(wèn)像題x(0,1)(1，e)e(e，＋∞)f′(x)－－0＋f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值f(e)單調(diào)遞增由表避得函法數(shù)f(x)的單尾調(diào)減節(jié)區(qū)間遼為(0笑,1紐奉)及(1，e)，單絕調(diào)增保區(qū)間毀為(e，＋∞)．所以搜存在賤極小質(zhì)值為f(e蜻)＝e，無(wú)律極大單值．[方法芒總結(jié)]雷(1帽)求函粘數(shù)單激調(diào)區(qū)針間與椒函數(shù)苦極值插時(shí)要妨養(yǎng)成曲列表遠(yuǎn)的習(xí)析慣，則可使意問(wèn)題傅直觀炭且有博條理事，減身少失刑分的遭可能農(nóng)．(2榨)導(dǎo)函之?dāng)?shù)的女零點(diǎn)擋并不唉一定沉就是沙函數(shù)殊的極尤值點(diǎn)離，所第以在令求出智導(dǎo)函慰數(shù)的聯(lián)零點(diǎn)激后一聞定注褲意分艷析這懼個(gè)零復(fù)點(diǎn)是嚴(yán)不是霧函數(shù)護(hù)的極罪值點(diǎn)陵．(2芒)若f(x)為R上的摘單調(diào)更函數(shù)評(píng)，則f′(x)在R上不答變號(hào)斬，結(jié)柏合①番與條肚件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒條成立身，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0(a＞0)，解喚得0＜a≤1.所以a的取政值范槳圍為(0搜,1雪]．【例3】塌(敞20喜11典·江蘇)已知a，b是實(shí)霞數(shù)，燈函數(shù)f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，f′(x)和g′(x)分別習(xí)是f(x)和g(x)的導(dǎo)許函數(shù)朵，若f′(x)g′(x)≥0在區(qū)上間I上恒秋成立塘，則司稱f(x)和g(x)在區(qū)探間I上單點(diǎn)調(diào)性院一致秒．考向碌三利用貪導(dǎo)數(shù)傲求參資數(shù)的董取值醒范圍疼問(wèn)題(1方)設(shè)a>0發(fā).若f(x)和g(x)在區(qū)吼間[－1，＋∞)上單海調(diào)性濱一致挽，求b的取闖值范累圍；(2悄)設(shè)a<0且a≠b.若f(x)和g(x)在以a，b為端戀點(diǎn)的狡開(kāi)區(qū)派間上究單調(diào)鋤性一房誠(chéng)致，肯求|a－b|的最殲大值康．解f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2x＋b.(1據(jù))由題攝意知f′(x)g′(x)≥0在[－1，＋∞)上恒墳成立羽．因?yàn)閍>0，故3x2＋a>0，進(jìn)而2x＋b≥0，即b≥－2x在[－1，＋∞)上恒只成立吐，所以b≥2.因此b的取啄值范種圍是[2，＋∞)．[方法遲總結(jié)]若f(x)在區(qū)翠間D上單載調(diào)增(減)，則登對(duì)任溪意的x∈D，恒劈燕有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，由旁此可拘求出陰含參咬數(shù)的沾取值臨范圍會(huì)，另米外，本還可想由a≤f(x)(a≥f(x))恒成須立?a≤f(x)mi播n(a≥f(x)ma蜘x)，由f(x)單調(diào)山性求別出f(x)的最屯大(小)值，該從而蹦可確沾定參禽數(shù)a的取蘋(píng)值范醒圍．由于耀函數(shù)睡的單疏調(diào)性歉可以桌用來(lái)討求最臘值、騰解不時(shí)等式痛和求場(chǎng)解恒掙成立僑問(wèn)題炒，所瓦以要援靈活岡應(yīng)用曬單調(diào)屈性解稀題．要善缺于將卷有關(guān)蹦問(wèn)題頁(yè)轉(zhuǎn)化株成單良調(diào)性涉問(wèn)題悼求解傳，比訴如分晚離參繪數(shù)，梁構(gòu)造觸函數(shù)皮等．規(guī)范誕解答4函數(shù)濁的單打調(diào)性沿及其框應(yīng)用當(dāng)x∈(0橋,1謠)時(shí)，g′(x)＜0，故(0聯(lián),1轟)是g(x)的單處調(diào)減飄區(qū)間肌，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的單謠調(diào)增見(jiàn)區(qū)間恥，因此做，x＝1是g(x)的唯哈一極柔值點(diǎn)決，且蓋為極蓬小值議點(diǎn)，軍從而污是最坡小值馳點(diǎn)，甜所以歷最小盼值為g(1豎)＝1.稅(4分)[點(diǎn)評(píng)]本題燦主要么考查霸導(dǎo)數(shù)倘的應(yīng)減用，作即如節(jié)何利號(hào)用導(dǎo)辯數(shù)求辯函數(shù)陶的單店調(diào)性釋和最情值．1．(2芳01息2·重慶烘卷改垂編)設(shè)函舉數(shù)f(x)在R上可赴導(dǎo)，銀其導(dǎo)癢函數(shù)豈為f′(x)，且溉函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖奪象如廉圖所曠示．面則f(x)的極耗值點(diǎn)陽(yáng)分別兄為_(kāi)_躬__兇__伸__．高考董經(jīng)典農(nóng)題組階訓(xùn)練解析當(dāng)x<－2時(shí)，1－x>3，則f′(x)>辛0；當(dāng)?。?<x<1時(shí)，0<眨1－x<3，則f′(x)<府0，所號(hào)以函乞數(shù)有啊極大臟值f(－2)．當(dāng)1<x<2時(shí)，咱－1<干1－x<0，則f′(x)<覺(jué)0；當(dāng)x>2時(shí)，1－x<－1，則f′(x)>煌0，所錦以函醉數(shù)有墊極小張值f(2盯)．答案2或－2又由f′(x)＝ex－1＋x知，珠當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)<備0，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>忍0，所蛙以f(x)在(－∞，0)上單脈調(diào)遞槽減，德在(0，＋∞)上單笛調(diào)遞因增．(1界)當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，情求曲缸線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2共))處的證切線時(shí)方程農(nóng)；(2賀)設(shè)x1，x2是f(x)的兩額個(gè)極婦值點(diǎn)幻玉，x3是f(x)的一繪個(gè)零疊點(diǎn)，瀉且x3≠x1，x3≠x2.證明幻玉：存掌在實(shí)禽數(shù)x4，使董得x1，x2，x3，x4按某著種順顧序排帳列后卻構(gòu)成吉等差投數(shù)列境，并川求x4.解