高中數(shù)學人教高中必修第三章不等式必修基本不等式

游戲：四個全等的直角三角形，

怎樣拼成一個正方形？

趙爽弦圖勾股圓方圖《周髀算經(jīng)》

東漢末年（222）勾股定理SABCD=4S△ABE+SEFGHc2=2ab+(a-b)2=a2+b2探究1：你能在圖形的變化過程中找出面積

間的一些不等關系嗎？1、正方形ABCD的面積S=２、四個直角三角形的面積和S’

=思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）結(jié)論：一般地，對于任意實數(shù)a、b，總有當且僅當a=b時，等號成立適用范圍：a,b∈R探究2：你能從“結(jié)論”出發(fā)，繼續(xù)得到

其他的不等關系嗎？探究3：你能找到上述不等式的幾何意義嗎？SABCD≥4S△ABESABCD=a+b4S△ABE=2證明：∵即：當且僅當時，∴你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?探究4②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關系怎樣?OD_____CD≥如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何意義：半徑不小于弦長的一半ADBEOCabRR+（1）兩個不等式的適用范圍不同,

而等號成立的條件相同（2）稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)

稱為它們的算術平均數(shù)。兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

例1：(1)如圖,用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：如圖設BC=x

，CD=y

，則xy=100，籬笆的長為2(x+y)m.當且僅當時，等號成立因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.此時x=y=10.x=yABDC若x、y皆為正數(shù)，則當xy的值是常數(shù)P時，當且僅當x=y時，x+y有最小值_______.例1：(2)如圖，用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設BC=x

，CD=y

，則2(x+y)=36,x+y=18矩形菜園的面積為xym2得

xy≤81當且僅當x=y時，等號成立

因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園面積最大，最大面積是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆為正數(shù)，則當x+y的值是常數(shù)S時，當且僅當x=y時，xy有最大值_______；①各項皆為正數(shù)；②和或積為定值；③注意等號成立的條件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時，要注意已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當且僅當

x=y時,取“=”號).(2)x+y=S

xy≤S2(當且僅當

x=y時,取“=”號).14不正不定不等小結(jié)：求最值時注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當且僅當

x=y時,取“=”號).(2)x+y=S

xy≤S2(當