高中數(shù)學人教高中必修第八章立體幾何初步人教版A必修第二章平面與平面平行的性質(zhì)

學習目標1.掌握平面與平面平行的性質(zhì)，并會應用性質(zhì)解決問題.2.知道直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的平行關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化.問題導學平面與平面平行的性質(zhì)觀察長方體ABCD—A1B1C1D1的兩個面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.答案是的.思考1

平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎？思考2

若m?平面ABCD，n?平面A1B1C1D1，則m∥n嗎？答案不一定，也可能異面.思考3

過BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1與BC是什么關(guān)系？答案

平行.梳理兩平面平行的性質(zhì)定理文字語言如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線_____符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?_______圖形語言平行a∥b1.若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，則l∥m.(

)2.夾在兩平行平面的平行線段相等.(

)[思考辨析判斷正誤]×√例1

如圖，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的長.（一）面面平行的性質(zhì)定理證明設(shè)AB，CD共面γ，因為γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，證明反思與感悟應用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟跟蹤訓練1

將例1改為：如圖，平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線a，b分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn).已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的長.解答解

如圖所示.連接AF，交β于點G，則點A，B，C，G共面.∵β∥α，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，∴BG∥CF，∴△ABG

∽△ACF，同理，有AD∥GE，∴EF＝3DE＝3×5＝15cm.（二）平面與平面平行的性質(zhì)例2

如圖所示，平面四邊形ABCD的四個頂點A，B，C，D均在平行四邊形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明證明∵四邊形A′B′C′D′是平行四邊形，∴A′D′∥B′C′.∵A′D′?平面BB′C′C，B′C′?平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.∵A′D′?平面AA′D′D，AA′?平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC.同理可證AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.反思與感悟(1)利用面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行的關(guān)鍵是把要證明的直線看作是平面的交線，往往需要有三個平面，即有兩平面平行，再構(gòu)造第三個面與兩平行平面都相交.(2)面面平行?線線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與判定定理的交替使用，可實現(xiàn)線線、線面及面面平行的相互轉(zhuǎn)化.跟蹤訓練2

如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接NF，求證：NF∥CM.證明證明因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF?平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.例3

如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別是BC，C1D1，AD1，BD的中點.（三）平行關(guān)系的綜合應用證明(1)求證：PQ∥平面DCC1D1；證明如圖，連接AC，CD1.因為ABCD是正方形，且Q是BD的中點，所以Q是AC的中點，又P是AD1的中點，所以PQ∥CD1.又PQ?平面DCC1D1，CD1?平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.(2)求PQ的長；解答(3)求證：EF∥平面BB1D1D.證明證明方法一取B1D1的中點O1，連接FO1，BO1，所以BE∥FO1，BE＝FO1.所以四邊形BEFO1為平行四邊形，所以EF∥BO1，又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.方法二取B1C1的中點E1，連接EE1，F(xiàn)E1，則有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，F(xiàn)E1，EE1?平面EE1F，B1D1，BB1?平面BB1D1D，所以平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF?平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.反思與感悟線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體，平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理是轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的關(guān)鍵，其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示：跟蹤訓練3

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面，能否確定截面的形狀？如果能，求出截面的面積.解答解

能.分別取AB，C1D1的中點M，N，連接A1M，MC，CN，NA1.∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，平面A1MCN∩平面A1B1C1D1＝A1N，平面ABCD∩平面A1MCN＝MC，∴A1N∥MC.同理A1M∥NC.∴四邊形A1MCN是平行四邊形.∴四邊形A1PC1N是平行四邊形，∴A1N∥PC1.同理A1M∥BP.又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，A1N，A1M?平面A1MCN，C1P，PB?平面PBC1，∴平面A1MCN∥平面PBC1.故過點A1與截面PBC1平行的截面是平面A1MCN.連接MN，作A1H⊥MN于點H.由題意，課堂檢測1.已知長方體ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，則EF與E′F′的位置關(guān)系是

A.平行 B.相交C.異面 D.不確定答案√解析由面面平行的性質(zhì)定理易得.解析2.若平面α∥平面β，直線a?α，點M∈β，過點M的所有直線中A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D.有且只有一條與a平行的直線解析由于α∥β，a?α，M∈β，過M有且只有一條直線與α平行，故D項正確.解析答案√3.如圖，不同在一個平面內(nèi)的三條平行直線和兩個平行平面相交，每個平面內(nèi)以交點為頂點的兩個三角形是A.相似但不全等的三角形B.全等三角形C.面積相等的不全等三角形D.以上結(jié)論都不對解析答案√解析由面面平行的性質(zhì)定理，得AC∥A′C′，則四邊形ACC′A′為平行四邊形，∴AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.4.如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是____________.解析由夾在兩平行平面間的平行線段相等