幾類簡(jiǎn)單的微分方程

第3章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第1節(jié)定積分的概念，存在條件與性質(zhì)第2節(jié)微積分基本公式與基本定理第3節(jié)兩種基本積分法第4節(jié)定積分的應(yīng)用第5節(jié)反常積分第6節(jié)幾類簡(jiǎn)單的微分方程2008年12月17日1南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系—積分問題

—微分方程問題

推廣第6節(jié)幾類簡(jiǎn)單的微分方程本節(jié)僅討論幾類能直接利用積分方法求解的簡(jiǎn)單微分方程及其應(yīng)用.ch7章對(duì)微分方程的理論及其求解將進(jìn)行較為系統(tǒng)的介紹2008年12月17日2南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系第6節(jié)幾類簡(jiǎn)單的微分方程6.1幾個(gè)基本概念6.2可分離變量的微分方程6.3一階線性微分方程6.4變量代換法6.5可降階的高階方程6.6應(yīng)用舉例2008年12月17日3南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系解6.1、幾個(gè)基本概念2008年12月17日4南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系解2008年12月17日5南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系代入條件后知故開始制動(dòng)到列車完全停住共需2008年12月17日6南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.例實(shí)質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.分類1:常微分方程,偏微分方程.2008年12月17日7南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系一階微分方程高階(n)微分方程分類2:微分方程的階:

微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階.2008年12月17日8南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系分類3:線性與非線性微分方程.分類4:單個(gè)微分方程與微分方程組.如果一個(gè)微分方程中僅含有未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)作為整體的一次冪,則稱它為線性微分方程.

2008年12月17日9南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù).微分方程的解的分類：(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.2008年12月17日10南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.通解的圖象:積分曲線族.初始條件:用來確定任意常數(shù)的條件.2008年12月17日11南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系過定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.2008年12月17日12南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系解2008年12月17日13南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系所求特解為補(bǔ)充:微分方程的初等解法:初等積分法.求解微分方程求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來)2008年12月17日14南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系6.2可分離變量的微分方程2008年12月17日15南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系定義~~問~~戀~~返~~礦~~別~~茄~~賢~~傻~~分離趁變量比法步鏡驟:1.分離熊變量;2.兩端怒積分--譽(yù)--遠(yuǎn)--何-隱式歪通解.20周08滲年1各2月元17毛日16南京暢航空患航天盲大學(xué)赤理辭學(xué)院夸數(shù)衣學(xué)系可分上離變本量的散微分催方程.解法為微父分方睬程的震解.20鞋08今年1墊2月京17疊日17南京隆航空齡航天弦大學(xué)投理飾學(xué)院穩(wěn)數(shù)障學(xué)系例4求解擾微分款方程解分離呢變量?jī)啥送卜e分20篩08追年1誕2月尊17斷日18南京比航空捆航天乞大學(xué)蜓理紹學(xué)院慣數(shù)慎學(xué)系例5解20迎08拘年1召2月笛17乳日19南京喂航空分航天耐大學(xué)贊理煎學(xué)院為數(shù)偵學(xué)系一階禽線性丘微分犁方程的標(biāo)級(jí)準(zhǔn)形絨式:上方鮮程稱眾為齊次修的.上方黃程稱叨為非齊宮次的.例如線性暖的;6.雷3一階缺線形企微分刮方程20丹08蠅年1乳2月廁17北日20南京鵝航空睬航天暢大學(xué)市理伶學(xué)院勢(shì)數(shù)茅學(xué)系齊次德方程扇的通嫩解為1.線性演齊次狡方程一階牛線性狗微分春方程攏的解法(使用賣分離宇變量浸法)20痰08田年1帆2月鞏17哥日21南京腳航空利航天甜大學(xué)租理辯學(xué)院勒數(shù)顆學(xué)系2.線性唐非齊衛(wèi)次方民程討論兩邊羞積分非齊專方程承通解役形式與齊罷方程朝通解綢相比:20推08外年1鑼2月激17嚴(yán)日22南京厲航空畜航天罷大學(xué)租理你學(xué)院逗數(shù)遠(yuǎn)學(xué)系常數(shù)什變易從法把齊暈次方站程通命解中不的常傳數(shù)變衰易為亡待定腥函數(shù)證的方父法.實(shí)質(zhì):未知者函數(shù)師的變筆量代捐換.作變甘換20玩08扮年1糠2月京17湯日23南京撓航空孝航天勝大學(xué)煙理劣學(xué)院疼數(shù)吸學(xué)系對(duì)應(yīng)魂齊次癢方程樂通解齊次安方程爐通解非齊攜次方播程特寬解解非決齊次腰方程用常數(shù)浸變易早法:則故原團(tuán)方程澇的通渠解即即作變俯換兩端蜻積分炭得20糞08肺年1歪2月找17沈日24南京懸航空潔航天葡大學(xué)概理孫學(xué)院搏數(shù)或?qū)W系解例120纏08盯年1砍2月騙17俗日25南京獅航空跪航天顫大學(xué)窩理斃學(xué)院臥數(shù)嘴學(xué)系求一謊連續(xù)償可導(dǎo)洗函數(shù)使其典滿足瘦下列枕方程:提示:令則有利用職公式既可求季出例220鍛08潔年1瓶2月示17暖日26南京妥航空恥航天潔大學(xué)聽理附學(xué)院浙數(shù)獎(jiǎng)學(xué)系6.片4變量錦代換障法2伯努蔑利方瓦程1齊次方賽程3其他挎的變喝量替印換法慶舉例20擠08忙年1媽2月登17牙日27南京曬航空層航天畫大學(xué)適理膛學(xué)院牢數(shù)俗學(xué)系6.快4變量軌代換禽法的微座分方靜程稱詢?yōu)辇R次籃方程.(2剪)解法作變遵量代斜換代入攔原式可分綿離變嶼量的談方程(1吃)定義1齊次方途程20與08借年1糠2月區(qū)17倚日28南京蒸航空定航天凡大學(xué)票理抱學(xué)院嘆數(shù)置學(xué)系例1求解找微分獎(jiǎng)方程微分股方程午的解救為解20場(chǎng)08合年1汽2月駐17躬日29南京撲航空但航天左大學(xué)鋸理執(zhí)學(xué)院昂數(shù)男學(xué)系伯努樸利(B家er保no啟ul樓li志)方程老的標(biāo)耽準(zhǔn)形拔式方程突為線性蜻微分霜方程.方程欄為非線提性微紫分方勵(lì)程.2伯努緊利方卸程解法:需經(jīng)塊過變慕量代夠換化碎為線維性微戴分方每程.20吧08棕年1清2月申17華日30南京升航空劑航天范大學(xué)推理芝學(xué)院償數(shù)汁學(xué)系求出通解后，將代入即得代入板上式20綱08償年1脫2月嫂17惑日31南京牲航空假航天婚大學(xué)慈理議學(xué)院奶數(shù)禿學(xué)系解例220照08沿年1青2月泡17擺日32南京廉航空視航天錢大學(xué)投理機(jī)學(xué)院廳數(shù)霜學(xué)系解代入衫原方晌程原方物程的姨通解示為3其他酬的變良量替落換法酒舉例20故08欲年1菜2月臺(tái)17排日33南京咸航空堂航天拔大學(xué)候理廣學(xué)院琴數(shù)灑學(xué)系通解源為解20久08典年1禾2月飲17賞日34南京絡(luò)航空獻(xiàn)航天盜大學(xué)鄭理氧學(xué)院念數(shù)讀學(xué)系EX3.120改08衫年1弦2月惑17刪日35南京零航空薄航天晃大學(xué)腦理喇學(xué)院俯數(shù)寶學(xué)系1解代入放原方筐程原方癢程的童通解20斗08豎年1姻2月徒17袋日36南京植航空鍵航天想大學(xué)號(hào)理瘋學(xué)院礙數(shù)具學(xué)系解分離莫變量商法得所求控通解任為20歌08棗年1俘2月攜17防日37南京撤航空丘航天帽大學(xué)芬理車學(xué)院汽數(shù)偵學(xué)系3.解20旬08絞年1求2月銀17盞日38南京芽航空失航天籍大學(xué)常理訪學(xué)院槳數(shù)泡學(xué)系(h,k為待例5求解可化爽為齊塵次方佩程的莫方程作變換原方捏程化涌為令,解出h,k(齊次鄰方程)定常頁數(shù)),20淡08頓年1遍2月看17咳日39南京依航空田航天夢(mèng)大學(xué)聽理構(gòu)學(xué)院吉數(shù)業(yè)學(xué)系求出成其通標(biāo)解后,即得原方敗程的尤通解.原方盈程可吉化為令(可分離膨變量慚方程)20沿08浸年1趟2月匪17淹日40南京蔥航空及航天秩大學(xué)富理趣學(xué)院懶數(shù)招學(xué)系解代入挪原方自程得例方程渠變?yōu)?0系08辭年1府2月臥17板日41南京豪航空這航天撫大學(xué)鏈理化學(xué)院篩數(shù)愉學(xué)系分離今變量,得得原診方程季的通汁解20鹿08暢年1評(píng)2月唐17扎日42南京繁航空耗航天透大學(xué)樣理義學(xué)院懼?jǐn)?shù)胖學(xué)系6.膨5可降執(zhí)階的脾高階夜方程1、飼型降階n階降疫到n-漿1階2、曾型3、旨型20北08唐年1康2月愧17輩日43南京競(jìng)航空扎航天扔大學(xué)燭理晉學(xué)院蓋數(shù)視學(xué)系型代入霜原方全程,得解法程：特點(diǎn)走：P(律x)的(n-傅k)階方誘程可得禁通解.20暖08烤年1茶2月右17殿日44南京拌航空絡(luò)航天膚大學(xué)吳理源學(xué)院摔數(shù)她學(xué)系解代入繞原方祖程解線夢(mèng)性方額程,得兩端慎積分,得原方之程通田解為例120耍08蛾年1總2月娛17甩日45南京參航空蜓航天洋大學(xué)投理祖學(xué)院毅數(shù)紗學(xué)系型求得療其解榮為原方竟程通桑解為特點(diǎn)茄：解法感：20長(zhǎng)08逝年1嘆2月視17幅日46南京旱航空隆航天防大學(xué)磚理脹學(xué)院并數(shù)裂學(xué)系解代入詳原方殘程得原方壓程通勢(shì)解為例220葛08窮年1秧2月謊17泳日47南京叛航空吸航天關(guān)大學(xué)寺理洪學(xué)院汪數(shù)仰學(xué)系6.由6、微劃分方偏程應(yīng)索用舉扶例應(yīng)用嚇微分庸方程逗解決唇實(shí)際錢問題寧的基而本步罵驟：（1）野分粗析問碎題，澆建立倚起實(shí)胡際問象題的演數(shù)學(xué)模型—常微宿分方雁程（組流）（2）廢求解駁與分看析這卻一數(shù)改學(xué)模覽型，融即求圣出相應(yīng)尺的常僻微分宅方程都（組診）的半解，隱或是精僻確解數(shù)或近槽似解影，其白中還梨包括百分析解普的特烤性20態(tài)08團(tuán)年1調(diào)2月坦17怨日48南京挑航空爛航天海大學(xué)凝理結(jié)學(xué)院槐數(shù)毛學(xué)系（3）獸用普所得容的數(shù)價(jià)學(xué)結(jié)銅果（百解的下形式楊和數(shù)值定綢性分盞析等衛(wèi)）回等過頭擔(dān)去解建決實(shí)褲際問題智，從剪而預(yù)帖測(cè)某界些自專然現(xiàn)妥象甚堡至社會(huì)喘現(xiàn)象逃中的沫特定壁性質(zhì)胃，以灰便達(dá)尊到能動(dòng)籌地改變鈴世界楊解決廊實(shí)際否問題絨的目薯的。1.根據(jù)膝規(guī)律庭列方找程，2.微分堅(jiān)分析療法（礦微元性法）她，3.模擬駛近似撓法?；疚辗椒?0徑08涉年1竄2月習(xí)17社日49南京柿航空品航天耀大學(xué)蘋理士學(xué)院桃數(shù)墊學(xué)系例1解衰變紐奉規(guī)律20學(xué)08場(chǎng)年1學(xué)2月她17礙日50南京喝航空剖航天扛大學(xué)違理諷學(xué)院驗(yàn)數(shù)糊學(xué)系例2解20脫08販年1哥2月蠻17珍日51南京咱航空燈航天膠大學(xué)敬理盜學(xué)院揭數(shù)委學(xué)系20翁08邪年1嬸2月群17豎日52南京營(yíng)航空繼航天享大學(xué)平理占學(xué)院顫數(shù)才學(xué)系流量系數(shù)孔口截面面積例3解重力加速度20哭08所年1悔2月鈴17稱日53南京仇航空抹航天秩大學(xué)勇理循學(xué)院睜數(shù)比學(xué)系設(shè)在勇微小徑的時(shí)逮間間寫隔水面的高度由h降至,比較(1仁)和(2尺)得:20贏08事年1坡2月涌17抵日54南京融航空戒航天四大學(xué)們理棉學(xué)院臭數(shù)去學(xué)系可分線離變鄙量所求燙規(guī)律灣為20乏08籃年1伍2月設(shè)17虧日55南京礎(chǔ)航空夾航天牧大學(xué)錫理獄學(xué)院匙數(shù)鞏學(xué)系A(chǔ)B例420憐08壺年1藥2月祝17扁日56南京督航空鉗航天永大學(xué)者理咱學(xué)院喜數(shù)暑學(xué)系解20話08緒年1老2月暑17遠(yuǎn)日57南京六航空廊航天搜大學(xué)偶理斃學(xué)院項(xiàng)數(shù)懲學(xué)系20村08昂年1損2月眾17孕日58南京嫩航空啟航天軟大學(xué)穴理抖學(xué)院濫數(shù)宣學(xué)系某車鑒間體哈積為12譽(yù)00娃0立方暗米,開始絞時(shí)空劃氣中喬含有僵的,為了半降低烘車間魚內(nèi)空尿氣中儀的含票量,用一狐臺(tái)風(fēng)閱量為界每秒20社00立方怎米的賀鼓風(fēng)免機(jī)通紐奉入含公的曬的億新鮮嚇空氣,同時(shí)鄭以同嗎樣的佩風(fēng)量訴將混突合均旦勻的垂空氣涉排出,問鼓赴風(fēng)機(jī)金開動(dòng)6分鐘奪后,車間筋內(nèi)訓(xùn)的團(tuán)百分欺比降扎低到蔽多少?例4’解設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后時(shí)刻的含量為在內(nèi),的通入量的排出量20釣08返年1襲2月租17杜日59南京壓航空舉航天分大學(xué)抵理牌學(xué)院沖數(shù)滿學(xué)系的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到20午08刮年1易2月沉17我日60南京豬航空伸航天津大學(xué)炒理寒學(xué)院胃數(shù)勺學(xué)系OxyATS例5解20辮08把年1篇2月告17頂日61南京記航空造航天牛大學(xué)脆理糞學(xué)院張數(shù)雷學(xué)系OxyATS20腦08振年1湊2月修17仆日62南京巨航空富航天織大學(xué)懂理撐學(xué)院夫數(shù)河學(xué)系20屠08族年1圖2月鋪17糖日63南京凱航空燃航天狂大學(xué)油理寒學(xué)院頓數(shù)陷學(xué)系注意20擋08營(yíng)年1盡2月書17禁日64南京漲航空紅航天霉大學(xué)蘆理笨學(xué)院顯數(shù)墊學(xué)系積分哄得故有得(拋物嗽線)故旋論轉(zhuǎn)曲研面為