大學(xué)物理第二章行波,波動(dòng)方程

§2.1行波

一．機(jī)械波的產(chǎn)生二．描述波的物理量

§2.2平面簡(jiǎn)諧波

一．波函數(shù)二．波動(dòng)曲線

§2.3

波動(dòng)方程作業(yè)：2.3、2.6、2.7第二章波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

振動(dòng)在空間的傳播過程叫做波動(dòng)第二章波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波。如聲波、水波、地震波等變化電場(chǎng)或變化磁場(chǎng)在空間的傳播稱為電磁波。如無(wú)線電波、光波、等雖然各類波的本質(zhì)不同，各有其特殊的性質(zhì)和規(guī)律，但在形式上它們也具有許多共同的特征。如都具有一定的傳播速度，都伴隨著能量的傳播，都能產(chǎn)生反射、折射、干涉或衍射等現(xiàn)象。一.機(jī)械波的產(chǎn)生§2.1行波

機(jī)械波產(chǎn)生的條件振源作機(jī)械振動(dòng)的物體——波源媒質(zhì)傳播機(jī)械振動(dòng)的物體在物體內(nèi)部傳播的機(jī)械波，是靠物體的彈性形成的，因此這樣的媒質(zhì)又稱彈性媒質(zhì)。什么是物質(zhì)的彈性？2.3物體的彈性變形物體包括固體、液體和氣體，在受到外力作用時(shí)，形狀或體積都會(huì)發(fā)生或大或小的變化。這種變化統(tǒng)稱為形變當(dāng)外力不太大因而引起的形變也不太大時(shí)，去掉外力，形狀或體積仍能復(fù)原。這個(gè)外力的限度稱作彈性限度。在彈性限度內(nèi)，外力和形變具有簡(jiǎn)單的關(guān)系，由于外力施加的方式不同，形變可以有以下幾種基本方式：線變切變體變⑴線變一段固體棒，當(dāng)在其兩端沿軸的方向加以方向相反大小相等的外力時(shí)，其長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生改變，伸長(zhǎng)或壓縮視二者方向而定。以F表示力的大小，以S表示棒的橫截面積，則叫F∕S叫做應(yīng)力，以l表示棒的長(zhǎng)度，實(shí)驗(yàn)表明：在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。以Δl表示在外力F作用下的長(zhǎng)度變化。則Δl∕l叫相對(duì)長(zhǎng)度變化，又叫應(yīng)變⑴線變胡克定律在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。為關(guān)于長(zhǎng)度的比例系數(shù)，它隨材料不同而不同，叫楊氏模量。⑵切變一塊矩形材料，當(dāng)它的兩個(gè)側(cè)面受到與側(cè)面平行的大小相等方向相反的力作用時(shí)，形狀就要發(fā)生改變，如圖，外力F和施力面積S之比，為切變的應(yīng)力施力面積相互錯(cuò)開而引起的材料角度的變化ф，叫切變的應(yīng)變。這種形式的形變叫切變。⑵切變?cè)趶椥韵薅葍?nèi)，切變的應(yīng)力也和應(yīng)變成正比。稱作切變彈性模量。由材料的性質(zhì)決定。⑶體變一塊物質(zhì)周圍受到的壓強(qiáng)改變時(shí)，其體積也會(huì)發(fā)生改變，如圖，以V表示原體積，ΔP表示壓強(qiáng)的改變，以ΔV∕V表示相應(yīng)體積的相對(duì)變化，即應(yīng)變，則有叫體變彈性模量,它由物質(zhì)的性質(zhì)決定,“－”表示壓強(qiáng)的增大總導(dǎo)致體積的減小一.機(jī)械波的產(chǎn)生§2.1行波

機(jī)械波產(chǎn)生的條件振源作機(jī)械振動(dòng)的物體——波源媒質(zhì)傳播機(jī)械振動(dòng)的物體在物體內(nèi)部傳播的機(jī)械波，是靠物體的彈性形成的，因此這樣的媒質(zhì)又稱彈性媒質(zhì)。什么是物質(zhì)的彈性？機(jī)械振動(dòng)是如何靠彈性來(lái)傳播呢？

機(jī)械波的傳播

縱波和橫波按質(zhì)元振動(dòng)方向與波傳播的方向之間的關(guān)系波劃分為橫波縱波振動(dòng)方向與波傳播方向垂直的波。振動(dòng)方向與波傳播方向在一條直線上的波。如彈簧中傳播的波以及聲波如細(xì)繩中傳播的波波傳播是由于質(zhì)元的形變，對(duì)橫波、縱波來(lái)說(shuō)，質(zhì)元發(fā)生形變情形是什么樣的呢？橫波從圖上可以明顯看出在橫波中各質(zhì)元發(fā)生切變，外形有波峰波谷之分橫波只能在彈性固體中傳播縱波在縱波中，各質(zhì)元發(fā)生長(zhǎng)變或體變，因而媒質(zhì)的密度發(fā)生改變，各處疏密不同，所以縱波也叫疏密波?？v波在氣體、液體、固體媒質(zhì)中都可以傳播

波的特征不管是橫波還是縱波，在波傳播的過程中，媒質(zhì)中各質(zhì)元均在各自的平衡位置附近振動(dòng)，質(zhì)元本身并不遷移，質(zhì)元并未“隨波逐流”。(2)“上游”的質(zhì)元依次帶動(dòng)“下游”的質(zhì)元振動(dòng)。(3)

某時(shí)刻某質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚時(shí)刻

于“下游”某處出現(xiàn)---波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播

(4)在媒質(zhì)中沿波傳播方向，相隔一定距離存在同相質(zhì)元----質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)相同波的葉幾何屆描述波的傳播軟是振蚊動(dòng)的屈傳播呢而非姑質(zhì)元怒的遷抱移，由于爪振動(dòng)津狀態(tài)詞常用洪位相丘來(lái)表織示，所以仔振動(dòng)波狀態(tài)賭的傳冠播也菠可以勇用位拳相的惱傳播毀來(lái)說(shuō)浙明。為了膜形象密直觀仍地表元示媒擇質(zhì)中櫻各質(zhì)亞元的種位相瞧的關(guān)享系以及軌波傳蠢播的灘方向壞，常歌用幾踏何圖數(shù)形加游以描投述。波線教：用帶箭頭樹的線智表示如波傳克播的懼方向嚴(yán)。波面杰：媒質(zhì)奏中振鼓動(dòng)位爭(zhēng)相相圓同的刺質(zhì)元送組成狐的曲查面。波前童：波源軍開始錦振動(dòng)蘋后，疼在同限一時(shí)謀刻，睬振動(dòng)滋到達(dá)產(chǎn)的各點(diǎn)視構(gòu)成僚的面,顯然贏是一察個(gè)同宏位相洋面，由于殿這一桌波面葉在波柄傳播疊方向逝的最況前方仗，所以酬又叫知做波前或波陣雁面。根據(jù)違波前眾的形茂狀不認(rèn)同，波可記分為平面鹽波，球面母波，柱面悄波。球面波平面波波線

波面二．僑描述慘波的非物理愿量周期T、頻率ν波是沫機(jī)械鍋振動(dòng)共的傳徒播，袋在傳馳播的濤過程煙中，媒質(zhì)挑的各遞個(gè)質(zhì)標(biāo)元都冰在平淚衡位惕置附輕近作趟機(jī)械服振動(dòng)吩。由于皇振動(dòng)截具有刑時(shí)間影上的竊周期飲性，所以性波也惜具有植時(shí)間叉上的坐周期彈性，即每梅隔一北定的榆時(shí)間李，媒弱質(zhì)中恩各質(zhì)根元的振動(dòng)論狀態(tài)蛋都將疤復(fù)原孫。媒質(zhì)衰中振碧動(dòng)狀尚態(tài)復(fù)鬧原時(shí)俱所需伙的最臟短時(shí)踐間，也即緒質(zhì)元逼完成亦一次侍全振矩動(dòng)的房誠(chéng)時(shí)間網(wǎng)叫波排的周期，周期貨的倒榮數(shù)叫頻率。在媒請(qǐng)質(zhì)中赴沿波朵傳播愉方向助，每筆隔一早定距療離，媒質(zhì)莊的質(zhì)盜元的賠振動(dòng)拴狀態(tài)供在各鼓時(shí)刻鼠都相太同--已--質(zhì)元喪的振滑動(dòng)同押相表明仍波具拆有空間戚上的飽周期介性。引入波長(zhǎng)的概原念來(lái)閱描述狂波在腦空間笛上的州周期皺性。波長(zhǎng)λ在波粒的傳播怠方向欣上兩填個(gè)相否鄰的援同相聾質(zhì)元痰之間的距塌離叫申做波長(zhǎng)。記作λ從外鵝形上館看，橫波肆的一菊個(gè)波折長(zhǎng)中椅有一遭個(gè)波蔽峰和駱一個(gè)下波谷晝，相鄰姓兩個(gè)丙波峰慶或波熔谷之詠間的攤距離泉等于鵝一個(gè)單波長(zhǎng)λλ

波長(zhǎng)λ在波的傳播方向上兩個(gè)相鄰的同相質(zhì)元之間的距離叫做波長(zhǎng)。記作

λ縱波線的一樓個(gè)波示長(zhǎng)內(nèi)竿有一額個(gè)疏指部和局一個(gè)匠密部裹。相鄰息兩個(gè)辨密部營(yíng)或疏衫部之羅間的岡距離厘等于左一個(gè)撒波長(zhǎng)λλ橫波虎中的草一峰軌一谷歸和縱弓波的騾一疏牢一密桑構(gòu)成遷了一個(gè)支“完整出波”——包含陰了全蛛部振喬動(dòng)狀母態(tài)，因此授一侵個(gè)波越長(zhǎng)就離是一然個(gè)“完整傭波”的艙長(zhǎng)度勉。周期T、頻率ν與波霉長(zhǎng)λ的關(guān)嫂系波的蜂時(shí)間獻(xiàn)上的躍周期航性和碰空間梯上的希周期繩性是密師切聯(lián)訓(xùn)系的抓，這味種聯(lián)漸系就堂表現(xiàn)賣在：在一哄個(gè)周芹期的北時(shí)間訪內(nèi)，新某一啊確定隊(duì)的振吉?jiǎng)訝畈脩B(tài)，貢也即某一躁確定棕的位竹相，條所傳鬼播的淋距離機(jī)正好諒是一獨(dú)個(gè)波挖長(zhǎng)。如果范以u(píng)表示監(jiān)振動(dòng)刪狀態(tài)具或振惑動(dòng)相宇的傳扎播的且速度纖，則這丙一聯(lián)徒系可小用公昆式表飄示為這是狗表示染波的懷基本勿特征付的重既要公達(dá)式將上辣式改莊寫表明棒：波的蜓頻率篩等于恢單位蜜時(shí)間嬸內(nèi)通灰過媒愚質(zhì)某一怎點(diǎn)的鍬“完整狡波”的丸個(gè)數(shù)嚴(yán)。波速u波速楊的大象小決漲定于籃媒質(zhì)牙的性肝質(zhì)，振動(dòng)夏狀態(tài)菌或振練動(dòng)位損相的基傳播叢速度然，也姿稱相速開度E—楊氏尺彈性單模量—體密嚴(yán)度(2統(tǒng))固體屈棒中庭的縱黃波(1賊)固體隊(duì)中的獻(xiàn)橫波G—切變剛模量∵G<E,固體蛛中ｕ橫波<ｕ縱波(3至)彈性嶄繩上畏的橫航波T—繩的向初始扛張力,—繩的德線密撤度(4盛)流體季中的才聲波k—體積匆模量,0—無(wú)聲礙波時(shí)男的流繼體密傭度=Cp/Cv,—摩爾序質(zhì)量理想看氣體:§2鳴.2簡(jiǎn)諧俗波如果晶媒質(zhì)興中所從傳播迅的是譜簡(jiǎn)諧責(zé)振動(dòng)臂，則媒茅質(zhì)中停各質(zhì)熟元均似作簡(jiǎn)桐諧振層動(dòng)，則相易應(yīng)的奴波稱兵作簡(jiǎn)諧甩波，又列叫正弦出波。平面蛇簡(jiǎn)諧躬波：波面議是平吳面的啄簡(jiǎn)諧萍波。球面丸簡(jiǎn)諧械波：波面前是球鋤面的惡簡(jiǎn)諧瞧波。一．框平面勤簡(jiǎn)諧少波的籍波函董數(shù)（脖波的朽表達(dá)郊式）波函亂數(shù)的大含義傅：與簡(jiǎn)藥諧振翅動(dòng)表康達(dá)式祝對(duì)比份說(shuō)明x=Aco寨s(t飼o)是簡(jiǎn)哭諧振懶動(dòng)質(zhì)足點(diǎn)的眼運(yùn)動(dòng)揮方程表示兼時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)奶離開葬平衡己位置的位響移，咱取決富于位拖相t受o一．魯平面寇簡(jiǎn)諧疏波的養(yǎng)波函壯數(shù)（業(yè)波的趕表達(dá)蒙式）波函貍數(shù)波的舌表達(dá)體式給出群一個(gè)困能夠食描述夫媒質(zhì)雄中所運(yùn)有質(zhì)蛾元的運(yùn)動(dòng)間狀態(tài)先的方據(jù)程，裳即振過動(dòng)表知達(dá)式應(yīng)表戰(zhàn)示出粉所有膠質(zhì)元螺在時(shí)諒刻t的位峽移，除了姥取決t獸o外，還應(yīng)譜與質(zhì)淺元的所位置韻坐標(biāo)虧有關(guān)下面歐來(lái)寫臺(tái)出平您面簡(jiǎn)插諧波所的表塵達(dá)式假設(shè)玩一平內(nèi)面簡(jiǎn)悄諧波潤(rùn)在理能想的連、不承吸收禍振動(dòng)擁能量忍的均勻燦無(wú)限釀大媒播質(zhì)中仗傳播訂。波傳播的速度為，方向如圖選擇汗平行腎波線街方向隱的直猛線為x軸?！裨诖怪眡軸的仆平面緩上的肅各質(zhì)幅元（狹振動(dòng)輔狀態(tài)或相同貢），它們污在同損一時(shí)芹刻對(duì)毯各自惕的平逗衡位長(zhǎng)置有攪相同著的位界移。因此姥，對(duì)杜于平久面波烘來(lái)說(shuō)關(guān)只需拉知道x軸上辭各質(zhì)凍元的振動(dòng)郵狀態(tài)玻就可植以了場(chǎng)?！窦?平面株波的饅波函駁數(shù)給崗出的紡是x軸上各質(zhì)聽元的振犬動(dòng)表蕩達(dá)式已知喊平面華簡(jiǎn)諧燃波沿x軸正蝦向傳駱播，x軸上頃質(zhì)元即離開董平衡暖位置糊的位瓶移用y表示●設(shè)t時(shí)刻外位于湊原點(diǎn)o的質(zhì)爽元的贏振動(dòng)敞表達(dá)鍵式為草：由假豬設(shè)，縮慧在振聚動(dòng)傳巴播過柄程中面，媒麥質(zhì)并知不吸軌收振動(dòng)律的能裁量，源所以系各質(zhì)統(tǒng)元的饑振動(dòng)饅的振傅幅相扒等。則當(dāng)o點(diǎn)質(zhì)粒元的壟振動(dòng)猛以波僅速u傳到倒任一虹點(diǎn)P時(shí)●●P點(diǎn)質(zhì)話元將灰以相息同的沖振幅輪和頻蔥率，重復(fù)o點(diǎn)質(zhì)啞元的償振動(dòng)聚，但P點(diǎn)振蛙動(dòng)的琴位相掃要比o點(diǎn)落糊后。由于悶沿波板傳播神方向舍每隔增一個(gè)甲波長(zhǎng)λ，位相怒就要喜落后2π，每隔宵單位麥長(zhǎng)度型位相尚落后2π∕λ設(shè)P點(diǎn)距o點(diǎn)的律距離跪?yàn)閤，P點(diǎn)振絹動(dòng)的尸位相沸要比o點(diǎn)落盜后x2π∕λ●●P點(diǎn)振居動(dòng)的腳位相撐要比o點(diǎn)落車后x2π∕λ●●t時(shí)刻o點(diǎn)質(zhì)早元的厲振動(dòng)聽位相昨：t時(shí)刻P點(diǎn)質(zhì)想元的撇振動(dòng)瀉位相畝：●●結(jié)果綠：t時(shí)刻P點(diǎn)質(zhì)撇元振刪動(dòng)的旦振幅拼和頻挪率與o點(diǎn)相墊同，P點(diǎn)振宇動(dòng)的運(yùn)位相t時(shí)刻P點(diǎn)質(zhì)撕元振涉動(dòng)的蘇表達(dá)時(shí)式：●●因?yàn)镻點(diǎn)是存任選線的，陽(yáng)上式快就是x軸上干任意遣質(zhì)元的振鎮(zhèn)動(dòng)表沒達(dá)式糧，即內(nèi)平面鏈簡(jiǎn)諧濃波的波函兔數(shù)利用愿關(guān)系波函聰數(shù)還有逆其它變形式令波數(shù)討論平面伐簡(jiǎn)諧仍波波律函數(shù)方的物搭理意丘義當(dāng)x一定練時(shí)，即對(duì)巾于某紅一確獵定位標(biāo)置（x＝x0）的質(zhì)會(huì)元。波函框數(shù)給出側(cè)了x＝x0處質(zhì)鋒元作波簡(jiǎn)諧遠(yuǎn)振動(dòng)豪的表夠達(dá)式當(dāng)t一定蹲時(shí)，奔即對(duì)系于某覺一確伍定時(shí)跳刻（t＝t0）。波函損數(shù)給出化了t0時(shí)刻柳各個(gè)慢質(zhì)元序離開俯平衡漿位置寇的位匠移當(dāng)x、t變化戲時(shí)，波函精數(shù)給出巡壽了任悄意x處質(zhì)約元在聚任意t時(shí)刻離開佩平衡端位置輔的位鬼移表達(dá)下式也反映逮了波煤是振免動(dòng)狀季態(tài)的粱傳播●●●沿負(fù)妹向傳差播的完平面沒簡(jiǎn)諧裂波的裳表達(dá)腐式●●二．縱波動(dòng)邪曲線根據(jù)輕波動(dòng)造表達(dá)罵式以t時(shí)刻站，質(zhì)誘元的委平衡跌位置x為橫紙坐標(biāo)痕，以質(zhì)磚元離動(dòng)開平?jīng)Q衡位撥置的求位移y為縱各坐標(biāo)慌，畫出輩的曲學(xué)線，穴叫t時(shí)刻朝波形汪曲線認(rèn)。xyo

u→

txyo

t

u→波形叢曲線每上兩滑相鄰訂波峰治或波構(gòu)谷之腔間的恭距離等于雅一個(gè)秩波長(zhǎng)姻，表晴示一途個(gè)周很期內(nèi)鋪波傳蛙播的敲距離獅。波形免曲線奶上波育峰或夢(mèng)波谷挽的縱俯坐標(biāo)銜的絕龜對(duì)值等于逮波的飄振幅因，表傾示質(zhì)邊元離室開平掉衡位攔置的域最大窄位移放。-AA

λ

λxyo

t

u→

λ

t＋Δto-AA不同翁時(shí)刻垮對(duì)應(yīng)逼有不儲(chǔ)同的祥波形挽曲線將平面顏簡(jiǎn)諧他波的岔波函洋數(shù)分博別對(duì)t及x求兩斧次偏添導(dǎo)數(shù)比較糖兩式波動(dòng)緒方程穴的運(yùn)掏動(dòng)學(xué)跳推導(dǎo)§2蟲.4波動(dòng)沫方程——波動(dòng)襪方程注意專：波動(dòng)場(chǎng)方程玩是由頃平面趙簡(jiǎn)諧藍(lán)波推衡導(dǎo)出帥的，但對(duì)獄其它遷平面狂波仍俊然成天立，從數(shù)身學(xué)上工，平源面簡(jiǎn)課諧波剝波函濟(jì)數(shù)只是畫上述總波動(dòng)遇方程臂的一借個(gè)特痛解?！▌?dòng)齊方程波動(dòng)桑方程斗的動(dòng)野力學(xué)挖推導(dǎo)以平面描波在濤固體斷細(xì)長(zhǎng)櫻棒中乏的傳倘播為嗽例以上窯是按激運(yùn)動(dòng)蹈學(xué)的住觀點(diǎn)疤來(lái)討?yīng)氄摬ㄅ?dòng)過選程的剝傳播朋規(guī)律蜓，還可棒以進(jìn)雷一步竊從動(dòng)螺力學(xué)懂的觀辦點(diǎn)，易更本炎質(zhì)地瞇分析波動(dòng)奧方程卵的意陜義.設(shè)有避一截岔面積仆為S，密度辮為ρ的固展體細(xì)廣棒，一平首面縱波沿培棒長(zhǎng)國(guó)方向敵傳播晴。當(dāng)有睜縱波耐傳播停時(shí)，貢該體楊積元廈發(fā)生仿線變噸，設(shè)t時(shí)刻洪體積跟元正存被拉故長(zhǎng)(先做鋼力分舍析—應(yīng)力謝分析獨(dú)）：這一蹤蝶體積觀元的身長(zhǎng)度圖為dx，體積選棒茄長(zhǎng)的嗓方向撕為x軸，邁在棒推上距o點(diǎn)x處附近取一售體積促元ab，●●●●左端疼受到寸應(yīng)力潔為σ，方向曾向左把；右端圈受到算應(yīng)力春為σ＋dσ，方向叨向右朽；●●●●應(yīng)力寫是x和t的函卵數(shù)t時(shí)刻游體積誘元所腎受合漢力體積手元質(zhì)抵量為根據(jù)梁牛頓建第二兔定律只有●●●●●●●在應(yīng)逆力作尾用下曬體積勉元發(fā)劉生線璃變（舟分析惠長(zhǎng)度磚方向溜的變旱化—應(yīng)變御分析塵）：a端發(fā)錦生的隨位移算為y，b端發(fā)謎生的夠位移母為y＋dy由圖錢上幾女何關(guān)晉系，栗體積徐元長(zhǎng)肆度變買化為dyt時(shí)刻由圖葉上幾廟何關(guān)回系，臺(tái)體積口元長(zhǎng)宴度變輛化為dy●●●●●●●t時(shí)刻體積朵元的攪原長(zhǎng)dx體積重元的啞應(yīng)變綢為由胡克享定律楊氏模量?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛駎時(shí)刻牛頓比第二妥定律應(yīng)力宗公式速度謝公式例1述.⑴o點(diǎn)振永動(dòng)表撇達(dá)式耽；⑶P點(diǎn)振編動(dòng)表束達(dá)式每；⑹Q，P點(diǎn)的帥位相溉差⑵波函婆數(shù)⑷Q點(diǎn)振集動(dòng)方比向⑸P點(diǎn)振舉動(dòng)方灑向；xyo●●mm⑴o點(diǎn)振尚動(dòng)表秧達(dá)式比；解：設(shè)o點(diǎn)振線動(dòng)表壘達(dá)式xyo●●由波形君圖⑴o點(diǎn)振蜻動(dòng)表健達(dá)式盤；解：xyo●●解：xyo●●⑵波函戀數(shù)解：xyo●●⑶P點(diǎn)振賢動(dòng)表賢達(dá)式很；解：xyo●●⑹Q，P點(diǎn)的幅位相政差⑷Q點(diǎn)振雕動(dòng)方個(gè)向⑸P點(diǎn)振萄動(dòng)方美向向上向下o例2熊.求:⑴波的饑周期柏、角貌頻率饒和波壓數(shù)⑵波函性數(shù)某平面讓簡(jiǎn)諧層波在t=0和t=1s時(shí)的盈波形那如圖（t=1s時(shí)的革波形北對(duì)t=0的波聚形圖核向右