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文檔簡介
函數(shù)的應(yīng)用(二)一、教材分析:本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊》第四章《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》第五節(jié)的第二課時,是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和性質(zhì),學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)后的綜合應(yīng)用結(jié)合對投資回報和選擇獎勵模型兩個問題的分析,通過比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)等函數(shù)模型的增長速度的差異,進步理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義,并依此選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律。本節(jié)課的學(xué)習(xí),既是前面學(xué)習(xí)過的函數(shù)有關(guān)知識的綜合應(yīng)用,也可以讓學(xué)生體會建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的一般過程.在此過程中,激發(fā)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識,逐步形成分析問題、解決問題的能力,提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。本節(jié)課的函數(shù)模型的應(yīng)用實例主要包括建立確定性函數(shù)模型解決問題及選擇或建立擬合函數(shù)模型解決問題.學(xué)情分析學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)結(jié)合實例學(xué)習(xí)了幾類函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),并應(yīng)用它們解決學(xué)科內(nèi)的一些問題和一
些簡單的實際問題。但是面對較復(fù)雜的實際問題,如何將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,特別是如何選擇函數(shù)模型來刻畫實際問題,大多數(shù)學(xué)生既缺乏這方面的經(jīng)驗,也缺乏數(shù)學(xué)抽象的能力,以及對不同函數(shù)模型增長差異的深刻認識。教學(xué)時可以多從以下兩方面幫助學(xué)生克服困難:一是根據(jù)實際問題的條件建立等量關(guān)系,從而將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題;二是從數(shù)和形出發(fā),定性和定量地分析實際問題的變化規(guī)律,從而選擇合適的函數(shù)模型。三、教學(xué)目標1.知識與技能(1)能將具體的實際問題化歸為函數(shù)問題;(2)能通過分析函數(shù)圖象及表格數(shù)據(jù)了解相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的變化差異;(3)正確選擇合適的函數(shù)模型解決實際問題,提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。2.過程與方法(1)通過對給出的數(shù)據(jù)的分析,抽象出相應(yīng)的確定性函數(shù)模型,并驗證函數(shù)模型的合理性.(2)通過收集到的數(shù)據(jù)作出散點圖,并通過觀察圖像判斷問題所適用的函數(shù)模型,在合理選擇部分數(shù)據(jù)或計算機的擬合功能得出具體的滿意的函數(shù)解析式,并應(yīng)用模型解決實際問題.3.情態(tài)態(tài)度與價值觀經(jīng)歷建立函數(shù)模型解決實際問題的過程,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)源自生活,服務(wù)生活,體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值;培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識;提高學(xué)生探究學(xué)習(xí)新知識的興趣,培養(yǎng)學(xué)生,勇于探索的科學(xué)態(tài)度。四、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點:選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建函數(shù)模型,體會建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的一般過程。教學(xué)難點:如何選擇合適的函數(shù)類型建立實際問題的數(shù)學(xué)模型。教學(xué)設(shè)計(一)復(fù)習(xí)回顧上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實際問題,主要的函數(shù)模型有,,,.但在實際解決問題中,我們常常碰到?jīng)]有函數(shù)模型或不能建立確切的函數(shù)模型,那我們又改如何選擇和確定函數(shù)模型,如何解決實際問題呢?設(shè)計意圖:師生共同回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)模型,羅列已經(jīng)涉及過的函數(shù)模型,為下面的函數(shù)模型選擇作好鋪墊.提出如何解決沒有函數(shù)模型或確切的函數(shù)模型的實際問題。問題引入例1:假設(shè)你有筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下:方案一:每天回報40元;
方案二:第一天回報10元,以后每天比前前一天多回報10元;
方案三:第一天回報0.4元,以后每每天的回報比前一天翻一番。
請問,你會選擇哪種投資方案?
問題1:請初步選擇種你認為合適的投資方案?
追問:(1)你能根據(jù)例題提供的三種投資方案的描述,分析出其中的常量、變量及其相互關(guān)系,并建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型嗎?
(2)三個方案的本質(zhì)是三個不同的函數(shù)模型,如何選擇一個標準來比較它們的差異,從而選擇合適的函數(shù)模型?
(3)根據(jù)例1中的表格提供的數(shù)據(jù),你對三種投資方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認識?
(4)你能借助信息技術(shù)作出函數(shù)圖象,并根據(jù)圖象描述一下這三種方案的特點嗎?
師生活動:教師可提出進一步的問題,指導(dǎo)學(xué)生分析其中的數(shù)量關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生正確寫出三種投資方案所對應(yīng)的每天回報金額關(guān)于天數(shù)的函數(shù)解析式;再利用表格和圖象比較分析三種函數(shù)模型的增長情況,作出需要分投資天數(shù)進行選擇的初步判斷.問題分析、建立模型我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型,再通過比較他們的增長情況,為選擇投資方案提供依據(jù)。設(shè)第工天所得回報是元,則方案一可以用函數(shù)進行描述;方第二可以用函數(shù)進行描述;方案三可以用函數(shù)行描述.三個模型中,第一個是常數(shù)函數(shù),后兩個都是增函數(shù).要對三個方案作出選擇,就要對它們的增長情況進行分析.
我們先用信息技術(shù)計算一下三種方案所得回報的增長情況(表1).表1方案一方案二方案三增加量/元增加量/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4.....................3040030010214748364.8107374182.4再畫出三個函數(shù)的圖像(圖2)由表1和圖2知(1)方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù),方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù),但方案三的函數(shù)與案二的函數(shù)的增長情況很不相同.(2)可以看到,盡管方案一、方案二在第1天所得回報分別是方案三的100倍和25倍,但它們的增長量固定不變,而方案三是“指數(shù)增長”,其“增長量”是成倍增加的,從第7天開始,方案三比其他兩個方案增長得快得多,這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的.(3)從每天所得回報看,在第1-3天,方案一最多;在第4天,方案一和方案二一樣多,方案三最少;在第5-8天,方案二最多;第9天開始,方案三比其他兩個方案所得回報多得多,到第30天,所得回報已超過2億元。下面再看累計的回報數(shù).通過信息技術(shù)列表如下(表3)表3方案天數(shù)1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三612.425.250.8102204.4409.2818.8觀察表格我們可以得到:①投資1-6天,應(yīng)選擇方案一;②投資7天,應(yīng)選擇方案一或方案二;③投資8-10天,應(yīng)選擇方案二;④投資11天(含11天)以上,則應(yīng)選擇方案三
設(shè)計意圖:利用問題串引導(dǎo)學(xué)生分析問題所提供的數(shù)據(jù)特點,由數(shù)據(jù)特點抽象出函數(shù)模型,培養(yǎng)學(xué)生建模能力,從而提高解決問題的能力.學(xué)生獨立思考與學(xué)生小組合作,即鍛煉學(xué)生的思考能力,又加強學(xué)生的小組合作,學(xué)會團結(jié)合作,為選擇函數(shù)模型作好必要知識和能力鋪墊.利用圖像更好的理解函數(shù)模型,滲透數(shù)形結(jié)合思想,同時加深對函數(shù)的表格、解析式、圖像的三種表示形式.(四)鞏固練習(xí)練習(xí)1:某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標,準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利憫x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%,現(xiàn)有三個獎勵模型:
y=0,25r,
y=
logx+1,
y-
1.002,其中哪個模型能符合公司的要求?
分析:本例提供了三個不同增長方式的獎勵模型,按要求選擇其中一個面數(shù)作為刻西奧全總數(shù)與銷售利潤的關(guān)系,山干公司總的利潤目標為1000萬元,所以銷售人員的銷售利前一般不會用過公司總的利潤,干是,只需在區(qū)間[10,
000上,尋找并臉證所選面最是看滿足所務(wù)要求,第一,獎金總數(shù)不超過5萬元,即最大值不大于5,第二,獎金不超過利潤的25%,即y<0.25,"整節(jié)課要求學(xué)生分析數(shù)據(jù),比較各個函數(shù)模型的優(yōu)劣,選擇接近實際的函數(shù)模型,并應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題.強化讀圖、讀表能力;優(yōu)化學(xué)生思維,提高學(xué)生探究和解決問題的能力;強化學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,感受數(shù)學(xué)的實用性;鍛煉學(xué)生的吃苦精神,提高學(xué)生的團隊合作能力。問題設(shè)計意圖師生活動上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實際問題,主要的函數(shù)模型有,,,.但在實際解決問題中,我們常常碰到?jīng)]有函數(shù)模型或不能建立確切的函數(shù)模型,那我們又改如何選擇和確定函數(shù)模型,如何解決實際問題呢?從溫故的角度自然地復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)模型內(nèi)容,進入學(xué)習(xí)函數(shù)模型實際應(yīng)用的情景,以及為本節(jié)課中選擇函數(shù)模型作好鋪墊.同時提出沒有函數(shù)模型或不能建立確切的函數(shù)模型的實際問題如何解決,明確本節(jié)課的任務(wù),以及點出本節(jié)課的課題.師生共同回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)模型,羅列已經(jīng)涉及過的函數(shù)模型,為下面的函數(shù)模型選擇作好鋪墊.提出如何解決沒有函數(shù)模型或確切的函數(shù)模型的實際問題.引入:日前,國際流行的體重指數(shù)法(BMI),即體重(千克)與身高(米)平方的比值,結(jié)果大于23即為超重,大于25即為肥胖,介于18.5至22.9之間屬于正常.介紹體重指數(shù)法,一則讓學(xué)生熟悉問題背景,為下面的問題鋪設(shè)一條主線,即體重與身高;二則從學(xué)生自身的數(shù)據(jù)調(diào)動學(xué)生的參與程度及學(xué)習(xí)積極性;三則依據(jù)學(xué)生計算的數(shù)據(jù)進行人文關(guān)懷,拉近師生關(guān)系,為下面良好地開展教學(xué)奠定感情基礎(chǔ).從生活出發(fā),介紹國際體重指數(shù)法的計算方式,熟悉問題背景,同時學(xué)生計算自己的體重指數(shù)法,并個別分享數(shù)據(jù),進行點評和關(guān)懷.思考計算體重指數(shù)法的身高數(shù)據(jù)是什么時候測量?是否有長高的的可能性?身體上是否有其它數(shù)據(jù)能反應(yīng)身高?提出對計算數(shù)據(jù)時效性的懷疑,激發(fā)學(xué)生的思考;同時沿用已有的問題背景,為引入正題進行鋪墊.教師利用學(xué)生的體重指數(shù),提出對計算數(shù)據(jù)的懷疑,引發(fā)學(xué)生積極思考.例1如圖,大拇指與小拇指盡量張開時,兩指尖的距離稱為指距.下表是測得指距與身高的一組數(shù)據(jù):指距/cm20212223身高/cm160169178187觀察表格數(shù)據(jù)思考指距與身高之間有何關(guān)系?利用問題串引導(dǎo)學(xué)生分析問題所提供的數(shù)據(jù)特點,由數(shù)據(jù)特點抽象出函數(shù)模型,培養(yǎng)學(xué)生建模能力,從而提高解決問題的能力.學(xué)生獨立思考與學(xué)生小組合作,即鍛煉學(xué)生的思考能力,又加強學(xué)生的小組合作,學(xué)會團結(jié)合作,為下一種選擇函數(shù)模型作好必要知識和能力鋪墊.利用圖像發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型,滲透數(shù)形結(jié)合思想,同時加深對函數(shù)的表格、解析式、圖像的三種表示形式.教師提出問題:①思考指距與身高之間有什么關(guān)系?學(xué)生思考后單獨回答(可能不準確);進一步補充提問:指距和身高分別是怎么變化的?學(xué)生獨立回答.②指距和身高是怎樣的變化關(guān)系?你能聯(lián)想到什么知識?學(xué)生小組討論后回答.③你是如何得到得到一次函數(shù)模型?你認為所得一次函數(shù)模型符合實際嗎?學(xué)生小組交流、討論后回答.④有么有更加直觀的方法發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)模型,學(xué)生獨立思考與交流相結(jié)合后回答.教師板書解題的過程.回答(2)某人身高為196cm,一般情況下他的指距應(yīng)該是多少?書寫完整的解答過程.計算問題(2),讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模后的成果,感受數(shù)學(xué)源自生活有服務(wù)生活,體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,同時為最后總結(jié)應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題基本過程的用模提供了素材,有利學(xué)生總結(jié)出基本過程.書寫解答過程,并投影展示,規(guī)范學(xué)生答題,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.教師提出問題(2),學(xué)生獨立思考與計算,教師點名回答問題,教師與學(xué)生共同總結(jié)感受,數(shù)學(xué)來自生活,又服務(wù)于生活,體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.教師提出完整的書寫解答過程,并投影展示,肯定好的方面,同時提出解答規(guī)范性,為高中數(shù)學(xué)的規(guī)范解答提供模板,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.例2以下是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值表:身高/cm60708090100110體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高/cm120130140150160170體重/kg20.9226.8631.3338.8547.2555.05根據(jù)表格數(shù)據(jù),若體重超過相同身高男性體重的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么這個地區(qū)一名身高為175cm體重為78kg的未成年的男性的體重是否正常?與書上例6相比,此處刪去第(1)小題,為了讓問題更加貼近生活實際情況,經(jīng)歷一個較為完整的建立函數(shù)模型解決問題的過程,培養(yǎng)學(xué)生對實際問題的思維方式,優(yōu)化學(xué)生解決問題的思維方式,提高學(xué)生解決實際問題的能力.利用選擇函數(shù)模型的類型和待定系數(shù)確定函數(shù)中系數(shù),反復(fù)地讓學(xué)生思考和交流,親身體驗建模的過程的難點,突破知識難點,加深理解,從而培養(yǎng)學(xué)生探索精神和鉆研品質(zhì).利用動態(tài)數(shù)學(xué)軟件展示,加深數(shù)形結(jié)合思想理解,促進對數(shù)學(xué)問題解決與優(yōu)化的探索.小組合作與成果交流促進優(yōu)化思維,培養(yǎng)團隊合作能力.教師展示例2,請同學(xué)思考后提出①要判斷該名未成年男性體重是否正常需知道什么數(shù)據(jù)?②如何預(yù)測該地區(qū)身高為175cm未成年男性的體重平均值?③觀察表中身高和體重數(shù)據(jù)的變化,回顧例1的解決實際問題的郭晨個,你認為是什么類型的函數(shù)模型?(學(xué)生畫圖,教師應(yīng)用軟件展示圖像)④你能和小組的其他同學(xué)交流一下你的模型并說明其合理性嗎?(學(xué)生探索驗證方法)⑤你對目前建立的函數(shù)模型滿意嗎?是否有更好的函數(shù)模型?(學(xué)生不斷完善和改進函數(shù)模型).師生共同得出問題的答案.應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題基本過程選選模解模驗?zāi)S?/p>
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