必修四平面向量的概念及線性運(yùn)算講義

PAGEPAGE42.1平面向量的概念及線性運(yùn)算一、向量的有關(guān)概念（一）向量的有關(guān)概念1、向量的定義：既有______又有______的量叫做向量。2、表示方法：用________來表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。用，，……或用，，……表示。3、模：向量的______叫向量的模，記作________或_______。（二）幾種特殊的向量1、零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作；零向量的方向是________，它與任意非零向量都共線。2、單位向量：長(zhǎng)度為____單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，常用，，……表示。與平行的單位向量＝__________。3、平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：與任一向量______。4、相等向量：_______且________的兩個(gè)向量，記＝。5、相反向量：_______且________的兩個(gè)向量，記＝－。例1：下列說法中正確的是___________。（1）向量就是有向線段；（2）零向量沒有方向；（3）若向量與向量平行，則向量與向量的方向相同或相反；（4）兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；（5）若向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上?！窘馕觥浚海?）變式練習(xí)1：下列說法中正確的_____________。（1）單位向量都相等；（2）︱︱與︱︱是否相等，與向量與向量的方向無關(guān)；（3）若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；（4）若向量與向量共線，向量與向量共線，則向量與向量共線；（5）兩向量、相等的充要條件是︱︱＝︱︱且∥；（6）若︱︱＝︱︱，則＝或＝－；（7）向量與向量平行，則向量與向量的方向相同或相反；【解析】：（2）（3）變式練習(xí)2：下列說法中正確的_________。（1）若向量與向量同向，且︱︱＞︱︱，則＞；（2）由于零向量方向不確定，故零向量不能與任意向量平行；（3）若向量與向量是共線向量，則A、B、C、D在一條直線上；（4）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量?！窘馕觥浚海?）二、向量的線性運(yùn)算及幾何意義向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算＋＝＋(＋)＋＝＋(＋)減法求與的相反向量－的和的運(yùn)算叫做與的差－＝＋(－)OB上取點(diǎn)D，使得DB＝OB，DC與OA交點(diǎn)E，設(shè)＝，＝，用，表示，?！窘馕鲆弧浚骸唿c(diǎn)A是BC的中點(diǎn)∴＝∵＝＋＝＋∴2＝＋＋＋∴＝（＋）∴＝2－＝2－∴＝－＝－＝2－－＝2－【解析二】：∵點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)∴＝＝－∴＝＋＝＋－＝2－∴＝－＝－＝2－－＝2－變式練習(xí)1：在平行四邊形ABCD中，設(shè)＝，＝，＝3，M為BC的中點(diǎn)，用、表示。【解析】：＝(－)變式練習(xí)2：在正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么等于（）A：－B：＋C：＋D：－【解析】：D三、向量共線定理對(duì)于向量（≠）與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得＝。注意：（1）、向量證明與共線，只需證明存在實(shí)數(shù)，使得＝即可。（2）、如果＝＝，數(shù)仍然存在，此時(shí)并不唯一，是任意數(shù)值。特別地：（1）兩條線段平行與兩條線段共線是不一樣的，而兩個(gè)平行向量就是共線向量。（2）要證明三點(diǎn)共線需要說兩點(diǎn)①三點(diǎn)確定的向量共線；②兩向量有公共點(diǎn)。例6：已知任意兩非零向量、，試作，，，證明：A、B、C三點(diǎn)共線。【解析】：∵＝－＝()－()＝，＝－＝()－()＝，∴＝∴所以A、B、C三點(diǎn)共線。綜上：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線形運(yùn)算。對(duì)于任意向量、及任意實(shí)數(shù)、，恒有。變式練習(xí)1：試證起點(diǎn)相同的三個(gè)向量、、3－2的終點(diǎn)在一條直線上?！窘馕觥浚喝鐖D，設(shè)＝，＝，＝3－2，則＝－＝2－2，＝－＝－，∴＝－2，又因?yàn)榕c有共同的起點(diǎn)A，故A、B、C三點(diǎn)共線。變式練習(xí)2：設(shè)、是不共線的兩個(gè)非零向量，（1）若＝2－，＝3＋，＝－3，求證：A、B、C三點(diǎn)共線；（2）若8＋k與k＋2共線，求實(shí)數(shù)k的值?！窘馕觥浚海?）＝＋，＝－2－4，－2＝（2）∵8＋k與k＋2共線，故存在實(shí)數(shù)，使得8＋k＝(k＋2)，得8＋k＝k＋2，即得或∴k＝±4例7：已知O、A、B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2＋＝，則等于（）A：2－B：－＋2C：＋D：－＋【解析】：A2＝－＝，故A是BC的中點(diǎn)。變式練習(xí)1：設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且＝3，則（）A：＝－＋B：＝－C：＝＋D：＝－【解析】由＝3，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且BC＝3CD，選A變式練習(xí)2：設(shè)＝(＋)＋(＋)，是任一非零向量，則在下列結(jié)論中：①∥；②＋＝；③＋＝；④︱＋︱＜︱︱＋︱︱；⑤︱＋︱＝︱︱＋︱︱。正確結(jié)論的序號(hào)是_________。

【解析】①③⑤變式練習(xí)3：設(shè)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，＝(＋)，則△ABC的面積與△PBC的面積之比為()A：2 B：3 C： D：6【解析】:設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則AB+AC=2AD∵AP=13如圖，過A作AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，過P作PF⊥BC，交BC于點(diǎn)F，則|PF||AE答案:B課后綜合練習(xí)1、下列說法中正確的是()A：與的和＋與同向、長(zhǎng)度等于與的長(zhǎng)度之和B：與的差－與同向、長(zhǎng)度等于與的長(zhǎng)度之差C：當(dāng)與同向時(shí)，＋與同向、長(zhǎng)度等于與長(zhǎng)度之和D：當(dāng)與反向時(shí)，－與同向、長(zhǎng)度等于與的長(zhǎng)度之差【解析】：C2、已知四邊形ABCD是平行四邊形，那么下列等式中恒成立的是()A：＝＋B：＝－C：＝＋D：＝－【解析】：A3、下列各式中結(jié)果為的有（）①＋＋②＋＋＋③－＋－④＋－＋A：①②B：①③C：①③④D：①②③【解析】：C4、下列四式中可以化簡(jiǎn)為的是（）①＋②－③＋④－＋A：①④B：①②C：②③D：③④【解析】：A5、已知，如右圖ABCDEF是一個(gè)正六邊形，O是它的中心，其中＝，＝，＝，則＝（）A：＋B：－C：－D：－【解析】：D6、－等于()A：B：C：D：【解析】：C7、在平行四邊形ABCD中，－等于()A：B：C：D：【解析】：A8、下列四式不能化簡(jiǎn)為的是()A：＋(＋)B：(＋)＋(－)C：＋－D：＋＋【解析】：A9、若O、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()A：＝＋ B：＝－C：＝－＋ D：＝－－【解析】：B10、下列命題中是真命題的是（）①對(duì)任意兩向量、均有：︱︱－︱︱＜︱︱＋︱︱；②對(duì)任意兩向量、、－與－是相反向量；③在三角形ABC中，＋－＝；④在四邊形ABCD中，(＋)－(＋)＝；⑤＝－A：①②③B：②④⑤C：②③④D：②③【解析】：D11、設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，＋＝2，則（）A：＋＝B：＋＝C：＋＝D：＋＋＝【解析】：B＋＝2P為AC中點(diǎn)12、已知點(diǎn)O、A、B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且＝，則（）A：點(diǎn)P在線段AB上B：點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上C：點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上D：點(diǎn)P不在直線AB上【解析】：B2＝3－2(－)＝－2＝13、已知非零向量，滿足︱︱＝＋1，︱︱＝－1，且︱－︱＝4，則︱＋︱＝________。【解析】如圖所示．設(shè)Oeq\o(A,\s\up6(→))＝a，Oeq\o(B,\s\up6(→))＝b，則|Beq\o(A,\s\up6(→))|＝|a－b|.以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則|Oeq\o(C,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq\r(7)＋1)2＋(eq\r(7)－1)2＝