初中數(shù)學(xué)北師大七年級(jí)下冊(cè)第一章整式的乘除完全平方公式

1課堂講解完全平方公式完全平方公式的應(yīng)用

我們上一節(jié)學(xué)習(xí)了平方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2，現(xiàn)在遇到了兩個(gè)數(shù)的和的平方，即(a+b)2，這是我們這節(jié)課要研究的新問題．1知識(shí)點(diǎn)完全平方公式探究計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.(2)(m+2)2=

.(3)(p－1)2=(p－1)(p－1)=

.(4)(m－2)2=

.p2+2p+1m2+4m+4m2

－

4m+4p2－2p+1我們來計(jì)算下列(a+b)2，(a－b)2.(a+b)2=

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2.(a－b)2=

(a－b)(a－b)=a2－ab－ab+b2

=a2－2ab+b2.完全平方公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

(a+b)2=

a2+2ab+b2.

(a－b)2=

a2－2ab+b2.完全平方公式的文字?jǐn)⑹觯簝蓚€(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.公式的特點(diǎn)：4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b21.積為二次三項(xiàng)式；2.其中兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和；3.另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與左邊乘式中間的符號(hào)相同.首平方，尾平方，積的2倍在中央例1利用完全平方公式計(jì)算：(1)(x+5)2；(2)(m-2)2；(3)

(m－2n)2

.解：

(1)(x+5)2=x2+2·x·5+52

=x2+10x+25；(2)(m-2)2=m2-2·m·2+22

=m2-4m+4；(3)(m－2n)2=m2－2·m·2n+(2n)2

=m2－4mn+4n2.例2利用完全平方公式計(jì)算：(1)(2x－3)2；(2)(4x+5y)2；(3)

(mn－a)2

.解：

(1)(2x－3)2=(2x)2－2·2x·3+32

=4x2－12x+9；(2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2

=16x2+40xy+25y2；(3)(mn－a)2=(mn)2－2·mn·a+a2

=m2n2－2amn+a2.例3利運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)(－2x＋5)2；(2)(－m－2n)2；(3)解：(1)原式＝(2x－5)2＝(2x)2－2·2x·5＋52

＝4x2－20x＋25；(2)原式＝(m＋2n)2＝m2＋2·m·2n＋(2n)2

＝m2＋4mn＋4n2；(3)原式＝總

結(jié)在應(yīng)用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2時(shí)關(guān)鍵是弄清題目中哪一個(gè)相當(dāng)于公式中的a，哪一個(gè)相當(dāng)于公式中的b，同時(shí)還要確定用兩數(shù)和的完全平方公式還是兩數(shù)差的完全平方公式；解(1)(2)時(shí)還用到了互為相反數(shù)的兩數(shù)的平方相等．兩數(shù)和的完全平方公式：兩數(shù)和的平方等于這兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)積的兩倍兩數(shù)差的完全平方公式：兩數(shù)差的平方等于這兩數(shù)的平方和減去這兩數(shù)積的兩倍例4計(jì)算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2；(2)(a－b)2·(a＋b)2；(3)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2)．(1)原式＝4x2－4x＋1－(9x2＋6x＋1)

＝4x2－4x＋1－9x2－6x－1

＝－5x2－10x；(2)原式＝[(a－b)(a＋b)]2

＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4；(3)原式＝－(x＋y)(x－y)(x2－y2)

＝－(x2－y2)2＝－(x4－2x2y2＋y4)

＝－x4＋2x2y2－y4.1計(jì)算：(1)；(2)；(3)(n+1)2－n2.(3)(n＋1)2－n2＝(n2＋2n＋1)－n2＝2n＋1.解：在下列計(jì)算中，正確的是(

)A．m3＋m2＝m5

B．m5÷m2＝m3C．(2m)3＝6m3

D．(m＋1)2＝m2＋12B3C計(jì)算(－a－b)2等于(

)A．a(chǎn)2＋b2

B．a(chǎn)2－b2C．a(chǎn)2＋2ab＋b2

D．a(chǎn)2－2ab＋b24下列計(jì)算正確的是(

)A．(a＋2)(a－2)＝a2－2B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2C．(a＋b)2＝a2＋b2D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D例5計(jì)算：(1)(x+3)2－x2

；(2)(a+b+3)(a+b－3)；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).解：(1)(x+3)2－x2=x2+6x+9－x2

=6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=[(a+b)+3][(a+b)－3]=(a+b)2－32=a2+2ab+b2－9；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=x2+10x+25－(x2－5x+6)=x2+10x+25－x2+5x－6=15x+19.總

結(jié)本題運(yùn)用了整體思想求解．對(duì)于平方式中若底數(shù)是三項(xiàng)式，通過添括號(hào)將其中任意兩項(xiàng)視為一個(gè)整體，就符合完全平方公式特點(diǎn)；對(duì)于兩個(gè)三項(xiàng)式或四項(xiàng)式相乘的式子，可將相同的項(xiàng)及互為相反數(shù)的項(xiàng)分別添括號(hào)視為一個(gè)整體，轉(zhuǎn)化成平方差公式的形式，通過平方差公式展開再利用完全平方公式展開，最后合并可得結(jié)果．兩數(shù)和的完全平方公式：兩數(shù)和的平方等于這兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)積的兩倍兩數(shù)差的完全平方公式：兩數(shù)差的平方等于這兩數(shù)的平方和減去這兩數(shù)積的兩倍(a+b)(a-b)=a2-b2兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.平方差公式乘法的兩大公式利用整式乘法公式計(jì)算：(1)962；(2)(a－b－3)(a－b＋3)．例1(1)962＝(100－4)2

＝1002－2×100×4＋42

＝9216.(2)(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－32

＝a2－2ab＋b2－9.解：若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，則A為(

)A．2abB．－2ab

C．4abD．－4ab若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，則a的值為(

)A．3B．±3C．6D．±612CC(a＋b)2－(a－b)2＝4ab總

結(jié)在利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到這個(gè)公式的如下變形：(1)(a＋b)2－2ab＝a2＋b2；(2)(a－b)2＋2ab＝a2＋b2；(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；(4)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.靈活運(yùn)用這些公式的變形，往往可以解答一些特殊的計(jì)算問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．例2：已知a+b＝3，ab＝3，則a2＋b2的值

.

解：?a+b＝3,?(a+b)2=9,a2＋2ab＋b2=9

a2＋2×3＋b2=9,?a2＋b2=9-6=31已知x－y＝7，xy＝2，則x2＋y2的值為(

)A．53B．45C．47D．51若a＋b＝3，a2＋b2＝7，則ab等于(

)A．2B．1C．－2D．－12AB2知識(shí)點(diǎn)完全平方公式的應(yīng)用例3已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.解：因?yàn)閍2＋b2＝13，ab＝6，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.例3已知y=x2＋6x+21，判斷y有最大值還是最小值？求出該值并寫出的取值.解：y=x2＋6x+21=(x＋3)2+12?當(dāng)x=-3時(shí)，有最小值是12.例4已知y=-x2＋2x+5，判斷y有最大值還是最小值？求出該值并寫出的取值.解：y=-x2＋2x+5=-(x2-2x+1)+6=-(x-1)2+6?當(dāng)x=1時(shí)，有最大值是6.例5若(x2＋y2-6)(x2＋y2)+9=0，則x2＋y2的值為

。解：(x2＋y2)2-6(x2＋y2)+9=0(x2＋y2-3)2=0?x2＋y2=31若代數(shù)式x2＋kx＋25是一個(gè)完全平方式，則k＝_____________．若x2＋6x＋k是完全平方式，則k等于(

)A．9B．－9C．±9D．±3210或－10A3小明計(jì)算一個(gè)二項(xiàng)式的平方時(shí)，得到正確結(jié)果a2－10ab＋■，但最后一項(xiàng)不慎被污染了，這一項(xiàng)應(yīng)是(

)A．5bB．5b2

C．25b2D．100b2C4若a－b＝1，ab＝6，則a＋b等于(

)A．5B．－5C．±D．±5D若x＋y＝10，xy＝1，則x3y＋xy3的值是________．598bbaa(a+b)2a2b2abab++用面積法證明兩數(shù)和的完全平方公式：(a+b)2aabb用面積法證明兩數(shù)差的完全平方公式：(a－b)2ababb2如圖，將完全相同的四張長(zhǎng)方形紙片和一張正方形紙片拼成一個(gè)較大的正方形，則可得出一個(gè)等式為(

)A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4abD5利用完全平方公式計(jì)算：(1)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋4(x－y)2；6(1)原式＝x2＋2xy＋y2－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2)

＝x2－6xy＋9y2.解：

原式＝[x＋y－2(x－y)]2＝(-x＋3y)2＝(x-3y)2

＝x2－6xy＋9y2.(2)(3)20162－4032×2015＋20152.(3)原式＝20162－2×2016×2015＋20152

＝(2016－2015)2＝1.解：1.完全平方公式的特征：左邊是二項(xiàng)式的平方，右

邊是二次三項(xiàng)式，其中兩項(xiàng)分別是公式左邊兩項(xiàng)

的平方，中間一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，

可簡(jiǎn)記為“前平方、后平方，積的2倍在中央”．2．完全平方公式常見的變形公式有：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(2)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.1知識(shí)小結(jié)課外拓展一、完全平方公式的應(yīng)用1、缺首尾項(xiàng)：（1）如果x2+6x+n2是一個(gè)完全平方式，則n的值是

。x2+6x+n2=x2+2×3·x+n2=(x+3)2=x2+6x+9±3（2）如果4x2+20x-m是一個(gè)完全平方式，則n的值是

。（2）如果4x2-2ax+49是一個(gè)完全平方式，則a的值是

。4x2+20x-m=(±2x)2+2×(2x)×5+52=(2x+5)2=4x2+20x+25-252、缺中間項(xiàng)：（1）如果x2+mx+9是一個(gè)完全平方式，則m的值是

。x2+6x+(±3)2=x2+2×(±3）·x+(±3)2=(x+3)2=x2±6x+9±64x2-2ax+(±7)2=(±2x)2-2×(2x)×(±7）+(±7)2=4x2-2×(±14)x+(±7)2±14二、完全平方公式的“知二求二”①a+b②a-b③a2+b2④ab(1)a+b=10,ab=11,則代數(shù)式a2-ab+b2的值是

。解：a+b=10,ab=11,a2-ab+b2=a2+2ab+b2-3ab=(a+b)2-3ab=102-3×11=6767解：(2)(x-y)2=,x+y=,則xy的值是

。課外拓展解：(1)(x+y)2=16,x2+2xy+y2=16x2+2×3+y2=16?x2+y2=16-6=10(3)x+y=4,xy=3,求:①x2+y2②x2-y2?x-y=±2?當(dāng)x-y=2時(shí)，x2-y2=(x+y)(x-y)=4×2=8?當(dāng)x-y=-2時(shí)，x2-y2=(x+y)(x-y)=4×(-2)=-8綜上x2-y2=±8(2)(x-y)2=x2-2xy+y2=10-2×3=4課外拓展已知(a＋b)2＝25，ab＝6，則a－b等于(

)A．1

B．－1

C．1或－1

D．以上都不正確易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)完全平方公式的特征理解不透導(dǎo)致漏解易錯(cuò)小結(jié)C1.已知x2-2(k+1)x+2k2-7是一個(gè)完全平方公式，求k的值。變式練習(xí)解：x2-2(k+1)x+(k+1)2=[x-(k+1)]2

(k+1)2=2k2-7,k2+2k+1=2k2-7

?k2-2k-8=0,k2-2k+1-9=0,(k-1)2=9

?k-1=±3,k=4或-2,2.若多形式4x2+1加上一項(xiàng)單項(xiàng)式后，能成為一個(gè)整式的平方，則添加的單項(xiàng)式是什么？并說明理由。變式練習(xí)解：(1)-1:

4x2+1-1=(2x)2

(2)-4x:

4x2+1-4x=(2x-1)2

(3)+4x:

4x2+1+4x=(2x+1)2

(4)-4x2:

4x2+1-4x2=12

(5)+4x4:

4x2+1+4x4=4x4+4x2+1=(2x2+1)2

(4)已知m滿足(3m-2015)2+(2014-3m)2=5,求:①(2015-3m)(2014-3m)

的值

②6m-4029的值解：①[(3m-2015)+(2014-3m)]2=(3m-2015)2+2(3m-2015)(2014-3m)+(2014-3m)2(-1)2=5+2(3m-2015)(2014-3m)2(3m-2015)(2014-3m)=-4(3m-2015)(2014-3m)=-2(2015-3m)(2014-3m)=2②[(2015-3m)+(2014-3m)]2=(2015-3m)2+2(2015-3m)(2014-3m)+(2014-3m)2=(3m-2015)2+(2014-3m)2+2(2015-3m)(2014-3m)

=5+4=9[2015-3m+2014-3m]2=[4029-6m]2=[6m-4029]2=9?6m-4029=±3課外拓展(4)已知n滿足(n-2018)2+(2019-n)2=1,求:(2019-n)(n-2018)

的值.解：①(n-2018)2+2(n-2018)(2019-n)+(2019-n)2=1+2(n-2018)(2019-n)課外拓展[(n-2018)+(2019-n)]2=1+2(n-2018)(2019-n)(n-2018+2019-n)2=1+2(n-2018)(2019-n)12=1+2(n-2018)(2019-n)12=1-2(n-2018)(n-2019)2(n-2018)(n-2019)=0三、配方法的應(yīng)用：例1：已知x2+9y2-4x+6y+5=0，則x=

,y=

。解：x2+9y2-4x+6y+5=0(x2-4x+22)+(9y2+6y+12)=0

(x-2)2+(3y+1)2=0

x-2=0,3y+1=0

x=2,課外拓展例2：當(dāng)多項(xiàng)式x2-4xy+5y2-6y+13取最小值時(shí)，求代數(shù)式(-x