文科數(shù)學回歸的基本思想及其初步應用

1.1回歸分析的基本思想及其初步應用必修3(第二章統(tǒng)計)知識結構收集數(shù)據(jù)(隨機抽樣)整理、分析數(shù)據(jù)估計、推斷簡單隨機抽樣分層抽樣系統(tǒng)抽樣用樣本估計總體變量間的相關關系用樣本的頻率分布估計總體分布用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征線性回歸分析1、兩個變量的關系不相關相關關系函數(shù)關系線性相關非線性相關現(xiàn)實生活中兩個變量間的關系有哪些呢？相關關系：對于兩個變量，當自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系。思考：相關關系與函數(shù)關系有怎樣的不同？函數(shù)關系中的兩個變量間是一種確定性關系相關關系是一種非確定性關系函數(shù)關系是一種理想的關系模型相關關系在現(xiàn)實生活中大量存在，是更一般的情況2、最小二乘估計(使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的 平方和最小的方法叫最小二乘法)最小二乘估計下的線性回歸直線方程：回歸直線必過樣本點的中心線性回歸方程中，的意義是x每增加一個單位，y就平均增加個單位C3、回歸分析的基本步驟:畫散點圖求回歸方程預報、決策這種方法稱為回歸分析.回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.回歸分析知識結構圖問題背景分析線性回歸模型兩個變量線性相關最小二乘法兩個變量非線性相關非線性回歸模型殘差分析散點圖應用注：虛線表示高中階段不涉及的關系比《數(shù)學3》中“回歸”增加的內(nèi)容數(shù)學３——統(tǒng)計畫散點圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程y＝bx＋a用回歸直線方程解決應用問題選修1-2——統(tǒng)計案例引入線性回歸模型了解模型中隨機誤差項e產(chǎn)生的原因了解相關指數(shù)R2和模型擬合的效果之間的關系了解殘差圖的作用利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結果選修1-2——統(tǒng)計案例引入線性回歸模型了解模型中隨機誤差項e產(chǎn)生的原因了解相關指數(shù)R2和模型擬合的效果之間的關系了解殘差圖的作用利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結果例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號求根據(jù)女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。解：選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：探究：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：用這個回歸方程不能給出每個身高為172cm的女大學生的體重的預測值，只能給出她們平均體重的估計值。由于所有的樣本點不共線，而只是散布在某一直線的附近，所以身高和體重的關系可以用線性回歸模型來表示：其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差.函數(shù)模型與“回歸模型”的關系函數(shù)模型：因變量y完全由自變量x確定回歸模型：預報變量y完全由解釋變量x和隨機誤差e確定注：e產(chǎn)生的主要原因：

1、忽略了其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；3、身高y的觀測誤差。思考:產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？在線干性回醬歸?？嵝椭蓄~，e是用器預輩報真丘實值y的隨精機誤炮差,它是守一個己不可鏡觀測宴的量弟，那兔么應亮如何碧研究日隨機蕩誤差襯呢？殘差：一般地，對于樣本點它們的隨機誤差為其估計值為，稱為相應于點的殘差如何箏發(fā)現(xiàn)金數(shù)據(jù)歉中的罪錯誤棋？如賣何衡甜量隨秀機模洋型的櫻擬合不效果段？殘差濱圖的晃制作貸和作告用：制作晉：坐標賄縱軸為殘差密變量沈，橫軸選可以腹有不需同的攻選擇.橫軸想為編燥號：可以免考察房誠殘差敢與編對號次是序之加間的梳關系滔，憂常題用于沸調(diào)查每數(shù)據(jù)啊錯誤.橫軸塔為解擔釋變翁量：可以增考察宵殘差享與解損釋變亡量的喘關系模，蛛常用括于研閉究模尊型是洪否有烏改進茂的余份地.作用竭：判斷私模型晌的適豪用性籮若模受型選娃擇得想正確沾，殘差方圖中攻的點始應該傘分布矛在以截橫軸夢為中躲心的孔帶形詳區(qū)域.下面茂表格枕列出珍了女辰大學柔生身千高和贈體重摧的原伙始數(shù)束據(jù)以格及相良應的掘殘差餡數(shù)據(jù)逝。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382身高與體重殘差圖異常點幾點團說明背：第一盾個樣允本點琴和第6個樣訂本點浙的殘潮差比喉較大盾，需勒要確嫌認在扔采集碎過程傾中是頓否有款人為糊的錯恩誤。跪如果難數(shù)據(jù)求采集離有錯址誤，懲就予絨以糾偵正，符然后負再重湖新利辮用線釘性回熱歸模熄型擬瘋合數(shù)禽據(jù)；炎如果咬數(shù)據(jù)纖采集掀沒有行錯誤決，則兔需要西尋找稅其他年的原救因。另外筍，殘迫差點懲比較撈均勻營地落梢在水蘋平的守帶狀哄區(qū)域佳中，張說明評選用燈的模雞型計噸較合端適，制這樣虎的帶啦狀區(qū)團域的鐵寬度騎越窄眨，說趁明模激型擬塘合精惑度越經(jīng)高，河回歸廈方程暮的預罵報精加度越屈高。錯誤數(shù)據(jù)模型問題誤差路與殘?zhí)硬?，臣這兩晝個概丘念在磁某程耐度上交具有徹很大瞎的相愚似性造，都是供衡量太不確誘定性相的指泛標，奧可是鏡兩者坦又存劍在區(qū)字別。誤差資與測抬量有賄關，咸誤差楊大小誰可以瓜衡量串測量吼的準饒確性賭，誤揮差越石大則儀表示蔬測量熱越不販準確府。誤嘉差分守為兩驕類：旬系統(tǒng)無誤差跌與隨機鎖誤差甚。其濾中，米系統(tǒng)幅誤差替與測崗量方杜案有棚關，立通過釣改進花測量仙方案坦可以亮避免思系統(tǒng)形誤差劉。隨彎機誤丑差與倦觀測火者，引測量呢工具據(jù)，被追觀測攀物體福的性陷質有過關，譽只能浪盡量廟減小架，卻茶不能放避免。殘差――與預秩測有陳關，燙殘差煎大小著可以偽衡量阿預測柳的準祥確性籍。殘證差越改大表赤示預求測越宵不準忙確。棚殘差爬與數(shù)貸據(jù)本趣身的子分布么特性拒，回怒歸方配程的屢選擇宰有關爺。顯然嚴，R2的值百越大完，說補明殘丸差平浪方和向越小交，也麗就是救說模墊型擬墾合效炭果越尖好在線引性回服歸模撥型中埋，R2表示圖解析蘭變量歷對預舒報變超量變委化的費貢獻及率我們類可以屑用相關箱指數(shù)R2來刻常畫回贈歸的耳效果年，其醫(yī)計算傭公式貌是:注：桂相關備指數(shù)R2是度本量模尿型擬戀合效并果的訂一種厚指標助，在線梳性模員型中乎，它碰代表嚷自變躲量刻覺畫預由報變持量的離能力.R2越接旁近1，表縮慧示回呆歸的盟效果己越好橫（因推為R2越接幻玉近1，表示疫解釋胡變量劈燕和預爹報變的量的考線性變相關勇性越辱強）如果冶某組納數(shù)據(jù)念可能穿采取灑幾種勁不同倡回歸皂方程肯進行回歸幼分析起，則找可以醉通過鏟比較R2的值止來做寨出選帶擇，即選賴取R2較大篩的模除型作捧為這販組數(shù)菜據(jù)的貫模型澤。下面燒我們上用相鳥關指壇數(shù)分聯(lián)析一帆下例1：預報柏變量催的變耗化程屯度可咐以分殊解為把由解槳釋變珠量引四起的凝變化嶺程度勒與殘懲差變穩(wěn)量的晌變化陽程度頂之和蘿，即；

解析變量對總效應約貢獻了64%，即可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機誤差貢獻了剩余的36%，故身高對體重的效應比隨機誤差的效應大得多結合奮例1思考肺：用家回歸讓方程納預報盛體重逮時應腸注意饑什么隊？1.回歸逝方程惠只適芹用于遭我們責所研塔究的狗樣本路的總果體；2.我們嗚建立蓋的回猶歸方礎程一咳般都設有時湖間性年；3.樣本封取值敗的范剩圍會含影響決回歸豪方程館的適刑用范懲圍；4.不能拋期望佛回歸每方程仍得到犁的預電報值衡就是歐預報著變量聰?shù)木_越值.涉及潔到統(tǒng)臭計的福一些麗思想訪：模型榮適用律的總狹體；模型窯的時撤間性野；樣本哄的取截值范身圍對壓模型輸?shù)挠榜勴?；模型撕預報盼結果珠的正挪確理峰解。歸納減建立帶回歸密模型釀的基萬本步鞏驟（1）確定研究對象，明確哪