數值計算第一講

數值分析與算法(1)NumericalAnalysis&Algorithms清華大學計算機系喻文健WenjianYu2課程簡介計算方法數值分析與算法科學計算導論（scientificcomputing）數值計算基礎（numericalcomputing）課程目標介紹廣泛應用于科學與工程領域的各種數值計算方法

鞏固連續(xù)數學基礎知識、增強實際應用能力WenjianYu3授課方式與考核授課方式以講授為主，輔以作業(yè)、上機實驗考評方法作業(yè)、上機實驗：30%期末閉卷考試：70%附加分：3-5%(實驗加分、師生互動)，編程Project?作業(yè)提交紙版課代表收齊交助教處(東主樓8-404)，周日晚10:30前散選同學上課時交講臺實驗在系機房檢查，

具體要求第5周布置WenjianYu4主要教學內容一.緒論(數值分析與科學計算引論)誤差的基本概念(有效數字)、數值運算的誤差限、問題的敏感性與條件數、數值算法的穩(wěn)定性、“抵消”現(xiàn)象、減小舍入誤差的建議二.非線性方程解法三.線性方程組的直接解法四.線性方程組的迭代解法五.矩陣特征值計算WenjianYu5主要教學內容六-1.函數逼近與線性最小二乘六-2.函數插值七.數值積分與微分八.常微分方程初值問題附加.Matlab數值計算與應用補充內容、非考試要求穿插在各章內容之間類似數學基礎課：公式多、推導多、還有理論證明注重實際應用：要上機編程，有時還包含經驗成份WenjianYu6數值計算的背景與概況WenjianYu7數值分析、科學計算、數值計算

數值計算作為當今科學研究的三種基本手段之一，是數學和計算機應用于其他學科的橋梁，因此它的發(fā)展受到廣泛關注。有些發(fā)達國家甚至將科學計算作為衡量國家綜合實力的一個重要方面，大力推動其發(fā)展。

參考書影印版序言科學計算的發(fā)展分硬件和軟件兩個方面，這里我們只考慮軟件方面，即數值計算的有關算法(數值仿真軟件)“數值分析”、“數值計算”是研究求解連續(xù)數學問題的算法的學科（而不僅僅局限于計算誤差的研究）對象核心WenjianYu8Toptenalgorithmsofthecentury1.1946LosAlamos國家實驗室的J.vonNeumann,S.Vlam和N.Metropolis編的Metropolis算法,即MonteCarlo方法（“隨機漫步”）2.1947蘭德（RAND）公司的G.Dantzig創(chuàng)造的線性規(guī)劃的單純型算法（simplexmethod）3.1950

美國國家標準局數值分析所的M.Hestenes,E.Stiefel和C.

Lanczos開創(chuàng)的Krylov子空間迭代法4.1951

橡樹嶺（OakRidge）國家實驗室的A.House-holder形式化的矩陣計算的分解方法(矩陣的各種分解)“Wetriedtoassemblethe10algorithmswiththegreatestinfluenceonthedevelopmentandpracticeofscienceandengineeringinthe20thcentury”EditorsofIEEEComputationalScienceandEngineering,Jan.2000(后被SIAM轉載)WenjianYu9Toptenalgorithmsofthecentury5.1951IBM由J.

Backus領導的小組研制Fortran最優(yōu)編譯器6.1959-61

倫敦FerrantiLtd.的J.G.F.Francis發(fā)明QR算法，能穩(wěn)定的計算矩陣特征值7.1962倫敦ElliotBrothers,

Ltd.的TonyHoare提出快速排序算法（Quicksort）8.1965IBMWatson研究中心的J.Cooley與U.Princeton及AT&TBellLab.的J.Turkey共同提出了的FFT算法9.1977BrighamYoung大學的H.

Ferguson和R.Forcede提出的整數關系偵察算法（integerrelationdetection）10.1987Yale大學的L.Greengard和V.

Rokhlin發(fā)明了快速多極算法(fastmultipolealgorithm)除了No.5,7,9外，都屬于或涉及數值計算的范疇!WenjianYu10數值算法與非數值算法算法分為“數值算法”和“非數值算法”數值算法用途非常廣泛，發(fā)展迅速，具有跨學科的特點“非數值算法”的研究則通常歸于“計算機科學”FromD.E.Knuth,Theartofcomputerprogramming,Vol.1

(《計算機程序設計藝術》)……

Wemightcallthesubjectofthesebooks“nonnumericalanalysis.”Computershavetraditionallybeenassociatedwiththesolutionofnumericalproblemssuchas……Numericalcomputerprogrammingisanextremelyinterestingandrapidlyexpandingfield,andmanybookshavebeenwrittenaboutit.

Theartofcomputerprogramming系列WenjianYu11好數值算法的特點計算效率高、計算復雜度低可靠性好：在考慮實際計算的各種誤差情況下，結果盡可能地準確數值計算與數值算法數值計算的特點（區(qū)別于其他計算機方向）處理連續(xù)數學的量(實數量)，問題中常涉及微分、積分和非線性。被求解的問題一般沒有解析解、或理論上無法通過有限步計算求解無解析解：有解析解，但需無限步計算：sinx更多的實際應用問題通過數值模擬來解決目標：尋找快速結束(收斂)的算法，評估結果的準確度WenjianYu12數值計算的步驟建立數學模型（需要相關學科背景）研究數值求解方程的算法通過計算機軟件實現(xiàn)算法在計算機上運行軟件進行數值模擬將計算結果用較直觀的方式輸出，如圖形可視化方法解釋和驗證計算結果，如果需要重復上面的某些步驟上述各步驟相互間緊密地關聯(lián)，影響著最終的計算結果和效率（問題的實際背景和要求也左右著方法的選擇）本課程學習重點設計數值方法(算法)的關鍵：將問題簡化(估計帶來的誤差)，然后求解簡化后的問題WenjianYu13數值軟件/程序包數值計算的軟件與程序包解決常見問題，促進各個科學和工程領域的科研了解基本原理，學習算法設計和實現(xiàn)技巧成為聰明的軟件/程序包使用者存在形式和資源互聯(lián)網，免費/商業(yè)代碼Fortran,C,C++,Matlab源代碼使用，或API調用交互式集成環(huán)境的軟件WenjianYu14Internet網絡資源越來越豐富，使用越來越方便！WenjianYu15廣泛應用的數值計算軟件：Matlab集成環(huán)境：交互式計算系統(tǒng)，高級編程語言數值計算、矩陣計算功能強(包含很多先進算法)，方便的計算可視化功能大量專題工具箱(Toolbox)，為專業(yè)應用提供便利建議大家學習、使用MatlabWe寸nj虎ia獨n透Yu16數值容計算辜知識殼應用遞廣泛(以計襪算機籃系方倚向為請例)人工糖智能下、機解器人沃控制飯：矩娛陣特戰(zhàn)征值棉、奇局異值愉分解鋼、常顧微分米方程山數值桿解、奶最小釋二乘抹擬合計算群機圖腿形學CA該D：函臟數插興值、杏逼近狼、微姑分方墳程數煮值解集成督電路CA蛙D（ED駁A）：男大規(guī)艱模線駐性方掏程組萄求解間、常沉微分未方程呢、偏線微分沃方程系統(tǒng)舅軟件耍、編噸譯、前網絡率等方乖向：宴線性顯方程豆組求畝解、泥非線聯(lián)性方俯程組萄求解高性須能計庫算：羊用數幫值算贈法來摘評測稻機器硬性能更廣須泛的紫應用電力糊系統(tǒng)安仿真昆、大隱氣仿膏真…副…更多攪科學絕與工孟程領壺域We磁nj敘ia圈n寇Yu17誤差鄉(xiāng)豐分析紫基礎We錘nj你ia鉛n孝Yu18誤差茶分析河基礎§1.得2.榮1誤差效的來到源§1.悅2.放2誤差擾及其碰分類誤差買與有淡效數努字截斷躁誤差湖與舍已入誤呀差數據均傳遞銳誤差萍與計扇算誤豈差§1.神2.耽3問題會的敏留感性阿與數述據傳奴遞誤扯差§1.疲2.鋪4算法墾的穩(wěn)深定性(通過酸板書霸講解)We醒nj腐ia該n躲Yu19計算言機浮抖點數榜系統(tǒng)We段nj淚ia功n寶Yu20計算走機浮辟點數保系統(tǒng)暈與舍織入誤馳差(課本1.花3節(jié)的哨部分拆內容)We微nj切ia伴n岔Yu21計算株機中擦的浮辣點數We主nj攔ia頌n牌Yu22計算斃機中住的浮鉆點數浮點數系統(tǒng)IEEE單精度224-1261275.96010-8IEEE雙精度253-102210231.11010-16例:一個呢簡單艷浮點赴數系底統(tǒng),We馬nj行ia燒n摸Yu23計算拉機中艘的浮橋點數(了解坡即可,不要揉求證似明)We霜nj撕ia遠n窗Yu24抵消翅現(xiàn)象We廚nj浮ia股n畫Yu25抵消拜現(xiàn)象一元背二次確方程猶求根疲公式歉的例勾子解為生：解決惜辦法同：計算x2可能如出現(xiàn)澤的問湖題也召類似鍋地解薦決We精nj底ia灶n追Yu26建議蔽與總擠結We進nj死ia償n近Yu27減小握舍入稿誤差繩的幾董條建岸議采用兔雙精憂度浮摔點數技，一翠般舍和入誤戶差不麥大對包挽含大猛量計旦算的抓算法綁，分宅析舍捆入誤福差很制難應遵透循如新下幾沾條建莖議避免窩中間胃計算脂結果云出現(xiàn)上(下)溢出避免憑“大誼數吃步掉小扎數”(加、麥減法)避免符號銷相同慎的兩股相近龍數相減注意答簡化萍步驟虹，減雙少運邪算次番數例：計歸算We腐nj錫ia達n籌Yu28總結

總誤差計算誤差數據

傳遞誤差截斷誤差舍入誤差如何評估大?。扛鶕煌瑔栴}和方法進行討論向后誤差分析；區(qū)間分析法；很難定量分析問題敏感性(條件數);直接近似分析如何減小誤差？計算方法的選擇選穩(wěn)定的算法；減小舍入誤差的建議；采用更高精度浮點數變換問題形式，改善敏感性(更多沖例子塵和討質論，令自學當課本1.詢4節(jié))We劃nj縱ia棗n孕Yu29演示鋸程序昌與Ma企tl紛ab課程畝演示喂網站ht削