新課標理科數(shù)學第六章第四節(jié)絕對值不等式

第四節(jié)絕對值不等式1．絕對值三角不等式定理1：如果a，b是實數(shù)，則|a＋b|≤_______，當且僅當________時，等號成立．定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么________________________，當且僅當______________時，等號成立．|a|＋|b|ab≥0|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥02．絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集分類解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a＜x＜a}??|x|>a{x|x＞a或x＜－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：1．|a＋b|與|a|－|b|，|a－b|與|a|－|b|、|a|＋|b|之間有什么關(guān)系？【提示】

|a＋b|≥|a|－|b|；||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．|x－a|±|x－b|表示的幾何意義是什么？【提示】

|x－a|±|x－b|表示數(shù)軸上的點x到點a、b的距離之和(差)．1．(教材改編題)設(shè)ab>0，下面四個不等式中，正確的是(

)①|(zhì)a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④【解析】

∵ab＞0，即a，b同號，則|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①④正確，②③錯誤．【答案】

C2．(2013·肇慶統(tǒng)考)不等式|3x－4|≤4的解集是________．3．(2012·山東高考)若不等式|kx－4|≤2的解集為{x|1≤x≤3}，則實數(shù)k＝________．【解析】

由|kx－4|≤2?2≤kx≤6.∵不等式的解集為{x|1≤x≤3}，∴k＝2.【答案】

24．(2012·湖南高考)不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集為________．(2013·韶關(guān)質(zhì)檢)對于實數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，則|x－2y＋1|的最大值為________．【思路點撥】

(1)將|x－2y＋1|變形，設(shè)法用x－1與y－2表示，利用絕對值三角不等式求最大值；(2)由|x－1|≤1，|y－2|≤1分別求x、y的取值范圍，然后運用不等式的性質(zhì)和絕對值的意義求解．【嘗試解答】

法一|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，當且僅當x＝0，y＝3時，|x－2y＋1|取最大值5.法二∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，從而－6≤－2y≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0，∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值為5.【答案】

5

(2012·陜西高考)若存在實數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】

∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.【答案】

[－2，4](2012·課標全國卷)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)當a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．【思路點撥】

(1)利用絕對值的定義，分零點區(qū)間討論去絕對值符號，分類討論求解．(2)求a的取值范圍，要利用解集關(guān)系，得關(guān)于a的不等式．【嘗試解答】

(1)當a＝－3時，不等式f(x)≥3化為|x－3|＋|x－2|≥3. (*)若x≤2時，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1.若2＜x＜3時，由(*)式知，解集為?.若x≥3時，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.綜上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}．(2豬)原不誼等式禾等價您于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|駐(畫**顫)當1≤x≤2時，(*償*)式化象為4－x－(2－x)≥|x＋a|，解之縱得－2－a≤x≤2－a.由條嫌件，[1，2]是f(x)≤|x－4|的解器集的觸子集掉，∴－2－a≤1且2≤2－a，則嗓－3≤a≤0，故滿伶足條對件的筍實數(shù)a的取殺值范土圍是[－3，0]．1．求解購本題西要注躁意兩蟻點：(1勤)要求察的不鳳等式究的解脖集是甘各類呈情形綱的并似集，秩零點歲分段窮法操詢作程坐序是栽：找謀零點罷，分易區(qū)間仙，分筆段討旨論．(2榆)對于(*晨*)式，饞恰當殼運用挽條件甚，簡或化了趙分類款討論失，優(yōu)球化解生題過罪程．2．求解扒該類梁問題漂的關(guān)潛鍵是員去絕扯對值決符號轎，本桃題中仿運用幻玉零點伴分段鋸法去谷絕對豪值，亦此外檔還常喉利用勻絕對萌值的貍幾何幣意義剪求解無．(1占)(2辰01逼2·江西顏高考)在實小數(shù)范畢圍內(nèi)字，不遣等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解沖集是__壘__代__延__．(2帶)不等烈式x＋|2x－1|＜3的解番集是__場__叨__魄__．若f(x)＝x2－x＋c(c為常霸數(shù))，|x－a|＜1，求嶼證：|f(x)－f(a)|＜2(屠1＋|a|)．【思路氣點撥】利用秘絕對頭值不江等式略的性什質(zhì)進頃行放混縮．【嘗試竊解答】|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)公|＝|x－a||x＋a－1|＝|x－a||鏟(x－a)＋(2a－1)撤|，∵|x－a|＜1，∴|x－a||督(x－a)＋(2a－1)恢|＜|(x－a)＋(2a－1)餅|≤|x－a|＋|2a－1|＜1＋|2a|＋1＝2(岡1＋|a|)．故不搏等式|f(x)－f(a)|＜2(廣1＋|a|)成立杠．含絕校對值西不等筋式的曬證明證主要晚分兩森類：糠一類孤是比尤較簡蔑單的側(cè)不等山式可伍以通葡過平及方法卡或換劉元法斜等去共掉絕午對值畝轉(zhuǎn)化先為常銅見的肌不等闖式的覺證明膚，另蔥一類研是利測用絕粥對值隸三角鼻不等謝式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通雜過適賞當?shù)木吞砑悠?、拆路項證掛明，不但一躲定注廈意放距縮要以適當貓．(2燦01湊3·清遠績調(diào)研)已知均函數(shù)f(x)＝|x－a|.(1險)若不將等式f(x)≤3的解普集為{x|－1≤x≤5}，求料實數(shù)a的值謠；(2踐)在(1參)的條慕件下伴，若f(x)＋f(x＋5)≥m對一鹿切實紹數(shù)x恒成容立，屑求實棒數(shù)m的取奸值范肝圍．【思路胃點撥】(1種)由|x－a|≤3求不謹?shù)仁洁]的解添集，山與已吧知比百較，血求參禽數(shù)a的值春；(2欲)利用帝絕對明值不幼等式言的性隙質(zhì)或蠶函數(shù)化的單食調(diào)性厭，求y＝f(x)＋f(x＋5)的最悼小值對，得梢參數(shù)分不等閥式求捆解．1．第(2拆)問求燥解的強關(guān)鍵芬是轉(zhuǎn)埋化為睜求f(x)＋f(x＋5)的最罩小值毀，法許一是隱運用蓬分類使討論熱思想東，利機用函岔數(shù)的今單調(diào)脖性；艦法二逮是利主用絕畜對值率不等腹式的位性質(zhì)(應(yīng)注擋意等永號成蚊立的雕條件)．2．將絕緒對值益不等鐘式與娃函數(shù)恰以及熊不等棵式恒害成立知交匯繩、滲陽透，巖解題衰時強眉化函倦數(shù)、春數(shù)形貓結(jié)合北與轉(zhuǎn)膚化化惡歸思萌想方萍法的羅靈活往應(yīng)用伍，這攻是命狐題的關(guān)新動蜜向．已知役函數(shù)f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4.(1摔)若函葛數(shù)f(x)的值狂不大揚于1，求x的取助值范態(tài)圍；(2啦)若不紫等式f(x)－g(x)≥m＋1對任跟意x∈R恒成邊立，廈求實顫數(shù)m的最刊大值抵．【解】(1赤)依題聰意，f(x)≤1，即|x－3|≤3.∴－3≤x－3≤3，∴0≤x≤6，因此狹實數(shù)x的取革值范私圍是[0，6]．(2深)f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6≥|(x－3)－(x＋1)買|－6＝－2，∴f(x)－g(x)的最巷小值返為－2，要使f(x)－g(x)≥m＋1的解棉集為R.應(yīng)有m＋1≤－2，∴m≤－3，故實微數(shù)m的最增大值麥是－3.一種責方法零點恒分段巖討論里法是信求解瓣絕對理值不乳等式蘆的基型本方丸法．絹其操乓作程厘序是鉤：找浸零點放、分檢區(qū)間屋、分抵段討界論．三個運轉(zhuǎn)化1.轟|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．2．|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x)．3．對于廳不等楊式f(x)＜a有解記、無苗解，它可轉(zhuǎn)蕉化為破最值假問題尸，即(1)f(x)＜a有解?f(x)mi河n＜a；(2島)f(x)＜a無解?f(x)mi施n≥a.三種肚思想(1遵)數(shù)形公結(jié)合奪思想寬；(2嫌)等價獵轉(zhuǎn)化貍思想泄；(3網(wǎng))分類囑討論纖思想委．從近尤兩年杰新課塊標命稻題看桶，含付絕對恭值不曾等式元的解臣法是取選考勻內(nèi)容4－5考查堂的熱襪