動(dòng)量守恒定律的典型例題

...wd......wd......wd...動(dòng)量守恒定律的典型例題【例1】把一支槍固定在小車上，小車放在光滑的水平桌面上．槍發(fā)射出一顆子彈．對(duì)于此過程，以下說法中正確的有哪些[]A．槍和子彈組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒B．槍和車組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒C．車、槍和子彈組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒D．車、槍和子彈組成的系統(tǒng)近似動(dòng)量守恒，因?yàn)樽訌椇蜆屚仓g有摩擦力．且摩擦力的沖量甚小【分析】此題涉及如何選擇系統(tǒng)，并判斷系統(tǒng)是否動(dòng)量守恒．物體間存在相互作用力是構(gòu)成系統(tǒng)的必要條件，據(jù)此，此題中所涉及的桌子、小車、槍和子彈符合構(gòu)成系統(tǒng)的條件．不僅如此，這些物體都跟地球有相互作用力．如果僅依據(jù)有相互作用就該納入系統(tǒng)，那么推延下去只有把整個(gè)宇宙包括進(jìn)去才能算是一個(gè)完整的體系，顯然這對(duì)于分析、解決一些具體問題是沒有意義的．選擇體系的目的在于應(yīng)用動(dòng)量守恒定律去分析和解決問題，這樣在選擇物體構(gòu)成體系的時(shí)候，除了物體間有相互作用之外，還必須考慮“由于物體的相互作用而改變了物體的動(dòng)量〞的條件．桌子和小車之間雖有相互作用力，但桌子的動(dòng)量并沒有發(fā)生變化．不應(yīng)納入系統(tǒng)內(nèi)，小車、槍和子彈由于相互作用而改變了各自的動(dòng)量，所以這三者構(gòu)成了系統(tǒng)．分析系統(tǒng)是否動(dòng)量守恒，則應(yīng)區(qū)分內(nèi)力和外力．對(duì)于選定的系統(tǒng)來說，重力和桌面的彈力是外力，由于其合力為零所以系統(tǒng)動(dòng)量守恒．子彈與槍筒之間的摩擦力是系統(tǒng)的內(nèi)力，只能影響子彈和槍各自的動(dòng)量，不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量．所以D的因果論述是錯(cuò)誤的．【解】正確的選項(xiàng)是C．【例2】一個(gè)質(zhì)量M=1kg的鳥在空中v0=6m/s沿水平方向飛行，離地面高度h=20m，忽被一顆質(zhì)量m=20g沿水平方向同向飛來的子彈擊中，子彈速度v=300m/s，擊中后子彈留在鳥體內(nèi)，鳥立即死去，g=10m/s2．求：鳥被擊中后經(jīng)多少時(shí)間落地；鳥落地處離被擊中處的水平距離．【分析】子彈擊中鳥的過程，水平方向動(dòng)量守恒，接著兩者一起作平拋運(yùn)動(dòng)。【解】把子彈和鳥作為一個(gè)系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒．設(shè)擊中后的共同速度為u，取v0的方向?yàn)檎较?，則由Mv0＋mv＝(m＋M)u，得擊中后，鳥帶著子彈作平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為鳥落地處離擊中處水平距離為S＝ut＝11.76×2m＝23.52m．【例3】一列車沿平直軌道以速度v0勻速前進(jìn)，途中最后一節(jié)質(zhì)量為m的車廂突然脫鉤，假設(shè)前部列車的質(zhì)量為M，脫鉤后牽引力不變，且每一局部所受摩擦力均正比于它的重力，則當(dāng)最后一節(jié)車廂滑行停頓的時(shí)刻，前部列車的速度為[]【分析】列車原來做勻速直線運(yùn)動(dòng)，牽引力F等于摩擦力f，f=k(m＋M)g(k為比例系數(shù))，因此，整個(gè)列車所受的合外力等于零．尾部車廂脫鉤后，每一局部所受摩擦力仍正比于它們的重力．因此，如果把整個(gè)列車作為研究對(duì)象，脫鉤前后所受合外力始終為零，在尾部車廂停頓前的任何一個(gè)瞬間，整個(gè)列車(前部+尾部)的動(dòng)量應(yīng)該守恒．考慮剛脫鉤和尾部車廂剛停頓這兩個(gè)瞬間，由(m+M)v0=0+Mv得此時(shí)前部列車的速度為【答】B．【說明】上述求解是根據(jù)列車受力的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象，巧妙地運(yùn)用了動(dòng)量守恒定律，顯得非常簡(jiǎn)單．如果把每一局部作為研究對(duì)象，就需用牛頓第二定律等規(guī)律求解．有興趣的同學(xué)，請(qǐng)自行研究比擬．【例4】質(zhì)量m1=10g的小球在光滑的水平桌面上以v1=30cm/s的速率向右運(yùn)動(dòng)，恰好遇上在同一條直線上向左運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)小球．第二個(gè)小球的質(zhì)量為m2=50g，速率v2=10cm/s．碰撞后，小球m2恰好停頓．那么，碰撞后小球m1的速度是多大，方向如何【分析】取相互作用的兩個(gè)小球?yàn)檠芯康南到y(tǒng)。由于桌面光滑，在水平方向上系統(tǒng)不受外力．在豎直方向上，系統(tǒng)受重力和桌面的彈力，其合力為零．故兩球碰撞的過程動(dòng)量守恒．【解】設(shè)向右的方向?yàn)檎较?，則各速度的正、負(fù)號(hào)分別為v1=30cm/s，v2=10cm/s，v'2=0.據(jù)動(dòng)量守恒定律有mlvl+m2v2=m1v'1+m2v'2．解得v'1=-20cm/s.即碰撞后球m1的速度大小為20cm/s，方向向左．【說明】通過此例總結(jié)運(yùn)用動(dòng)量守恒定律解題的要點(diǎn)如下．(1)確定研究對(duì)象．對(duì)象應(yīng)是相互作用的物體系．(2)分析系統(tǒng)所受的內(nèi)力和外力，著重確認(rèn)系統(tǒng)所受到的合外力是否為零，或合外力的沖量是否可以忽略不計(jì)．(3)選取正方向，并將系統(tǒng)內(nèi)的物體始、末狀態(tài)的動(dòng)量冠以正、負(fù)號(hào)，以表示動(dòng)量的方向．(4)分別列出系統(tǒng)內(nèi)各物體運(yùn)動(dòng)變化前(始狀態(tài))和運(yùn)動(dòng)變化后(末狀態(tài))的動(dòng)量之和．(5)根據(jù)動(dòng)量守恒定律建設(shè)方程，解方程求得未知量．【例5】甲、乙兩小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲．甲和他的冰車的總質(zhì)量共為M=30kg，乙和他的冰車的總質(zhì)量也是30kg．游戲時(shí)，甲推著一質(zhì)量為m=15km的箱子，和他一起以大小為v0=2m/s的速度滑行．乙以同樣大小的速度迎面滑來．為了防止相撞，甲突然將箱子沿冰面推給乙，箱子到乙處時(shí)乙迅速把它抓?。僭O(shè)不計(jì)冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度(相對(duì)于地面)將箱子推出，才能防止和乙相碰．【分析】甲推出箱子和乙抓住箱子是兩個(gè)動(dòng)量守恒的過程，可運(yùn)用動(dòng)量守恒求解．甲把箱于推出后，甲的運(yùn)動(dòng)有三種可能：一是繼續(xù)向前，方向不變；一是靜止；一是方向改變，向后倒退．按題意要求．是確定甲推箱子給乙，防止跟乙相碰的最小速度．上述三種情況中，以第一種情況甲推出箱子的速度最小，第二、第三種情況則需要以更大的速度推出箱子才能實(shí)現(xiàn)．【解】設(shè)甲推出的箱子速度為v，推出后甲的速度變?yōu)関1，取v0方向?yàn)檎较颍瑩?jù)動(dòng)量守恒有(M＋m)v0＝Mv1＋mv．(1)乙抓住箱子的過程，動(dòng)量守恒，則Mv＋mv0=(M＋m)v2.(2)甲、乙兩冰車防止相撞的條件是v2≥v1，取v2=v1．(3)聯(lián)立(1)、(2)、(3)式，并代入數(shù)據(jù)解得v=5.2m/s．【說明】此題僅依據(jù)兩個(gè)動(dòng)量守恒的過程建設(shè)的方程還能求解，關(guān)鍵是正確找出臨界條件，并據(jù)此建設(shè)第三個(gè)等式才能求解．【例6】?jī)奢v質(zhì)量一樣的小車A和B，置于光滑水平面上，一人站在A車上，兩車均靜止．假設(shè)這個(gè)人從A車跳到B車上，接著又跳回A車，仍與A車保持相對(duì)靜止，則此時(shí)A車的速率[]A．等于零B．小于B車的速率C．大于B車的速率D．等于B車的速率【分析】設(shè)人的質(zhì)量為m0，車的質(zhì)量為m．取A、B兩車和人這一系統(tǒng)為研究對(duì)象，人在兩車間往返跳躍的過程中，整個(gè)系統(tǒng)水平方向不受外力作用，動(dòng)量守恒．取開場(chǎng)時(shí)人站在A車上和后來又相對(duì)A車靜止時(shí)這兩個(gè)時(shí)刻考察系統(tǒng)的動(dòng)量，則0＝(m0＋m)vA＋mvB，可見，兩車反向運(yùn)動(dòng)，A車的速率小于B車的速率．【答】B．【說明】此題中兩車相互作用前后動(dòng)量在一直線上，但兩者動(dòng)量方向即速度方向均不甚明確，因此沒有事先規(guī)定正方向，而是從一般的動(dòng)【例7】甲、乙兩船在平靜的湖面上以一樣的速度勻速航行，且甲船在前乙船在后．從甲船上以相對(duì)于甲船的速度v，水平向前方的乙船上拋一沙袋，其質(zhì)量為m．設(shè)甲船和沙袋總質(zhì)量為M，乙船的質(zhì)量也為M．問拋擲沙袋后，甲、乙兩船的速度變化多少【分析】由題意可知，沙袋從甲船拋出落到乙船上，先后出現(xiàn)了兩個(gè)相互作用的過程，即沙袋跟甲船和沙袋跟乙船的相互作用過程．在這兩個(gè)過程中的系統(tǒng)，沿水平方向的合外力為零，因此，兩個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量都守恒．值得注意的是，題目中給定的速度選擇了不同的參照系．船速是相對(duì)于地面參照系，而拋出的沙袋的速度v是相對(duì)于拋出時(shí)的甲船參照系．【解】取甲船初速度V的方向?yàn)檎较?，則沙袋的速度應(yīng)取負(fù)值．統(tǒng)一選取地面參照系，則沙袋拋出前，沙袋與甲船的總動(dòng)量為MV．沙袋拋出后，甲船的動(dòng)量為(M-m)v甲'，沙袋的動(dòng)量為m(v甲'-v)．根據(jù)動(dòng)量守恒定律有MV=(M-m)v甲'＋m(v甲'-v)．(1)取沙袋和乙船為研究對(duì)象，在其相互作用過程中有MV＋m(v甲'-v)＝(M+m)v乙'．(2)聯(lián)立(l)、(2)式解得則甲、乙兩船的速度變化分別為【例8】小型迫擊炮在總質(zhì)量為1000kg的船上發(fā)射，炮彈的質(zhì)量為2kg．假設(shè)炮彈飛離炮口時(shí)相對(duì)于地面的速度為600m/s，且速度跟水平面成45°角，求發(fā)射炮彈后小船后退的速度【分析】取炮彈和小船組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，在發(fā)射炮彈的過程中，炮彈和炮身(炮和船視為固定在一起)的作用力為內(nèi)力．系統(tǒng)受到的外力有炮彈和船的重力、水對(duì)船的浮力．在船靜止的情況下，重力和浮力相等，但在發(fā)射炮彈時(shí)，浮力要大于重力．因此，在垂直方向上，系統(tǒng)所受到的合外力不為零，但在水平方向上系統(tǒng)不受外力(不計(jì)水的阻力)，故在該方向上動(dòng)量守恒．【解】發(fā)射炮彈前，總質(zhì)量為1000kg的船靜止，則總動(dòng)量Mv=0．發(fā)射炮彈后，炮彈在水平方向的動(dòng)量為mv1'cos45°，船后退的動(dòng)量為(M-m)v2'．據(jù)動(dòng)量守恒定律有0=mv1'cos45°＋(M-m)v2'．取炮彈的水平速度方向?yàn)檎较?，代入?shù)據(jù)解得【例9】?jī)蓧K厚度一樣的木塊A和B，并列緊靠著放在光滑的水平面上，其質(zhì)量分別為mA=2.0kg，mB=0.90kg．它們的下底面光滑，上外表粗糙．另有質(zhì)量mC=0.10kg的鉛塊C(其長(zhǎng)度可略去不計(jì))以vC=10m/s的速度恰好水平地滑到A的上外表(見圖)，由于摩擦，鉛塊最后停在本塊B上，測(cè)得B、C的共同速度為v=0.50m/s，求木塊A的速度和鉛塊C離開A時(shí)的速度．【分析】C滑上A時(shí)，由于B與A緊靠在一起，將推動(dòng)B一起運(yùn)動(dòng)．取C與A、B這一系統(tǒng)為研究對(duì)象，水平方向不受外力，動(dòng)量守恒．滑上后，C在A的摩擦力作用下作勻減速運(yùn)動(dòng)，(A＋B)在C的摩擦力作用下作勻加速運(yùn)動(dòng)．待C滑出A后，C繼續(xù)減速，B在C的摩擦力作用下繼續(xù)作加速運(yùn)動(dòng)，于是A與B別離，直至C最后停于B上．【解】設(shè)C離開A時(shí)的速度為vC，此時(shí)A、B的共同速度為vA，對(duì)于C剛要滑上A和C剛離開A這兩個(gè)瞬間，由動(dòng)量守恒定律知mCvC=(mA+mB)vA+mCv'C(1)以后，物體C離開A，與B發(fā)生相互作用．從此時(shí)起，物體A不再加速，物體B將繼續(xù)加速一段時(shí)間，于是B與A別離．當(dāng)C相對(duì)靜止于物體B上時(shí)，C與B的速度分別由v'C和vA變化到共同速度v．因此，可改選C與B為研究對(duì)象，對(duì)于C剛滑上B和C、B相對(duì)靜止時(shí)的這兩個(gè)瞬間，由動(dòng)量守恒定律知mCv'C+mBvA=(mB+mC)v(2)由(l)式得mCv'C=mCvC-(mA＋mB)vA代入(2)式mCv'C-(mA+mC)vA+mBvA=(mB+mC)v．得木塊A的速度所以鉛塊C離開A時(shí)的速度【說明】應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí)，必需明確研究對(duì)象，即是哪一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒．另外需明確考察的是系統(tǒng)在哪兩個(gè)瞬間的動(dòng)量．如果我們始終以(C＋A＋B)這一系統(tǒng)為研究對(duì)象，并考察C剛要滑上A和C剛離開A，以及C、B剛相對(duì)靜止這三個(gè)瞬間，由于水平方向不受外力，則由動(dòng)量守恒定律知mCvC=(mA+mB)vA+mCv'C=mAvA+(mB+mC)v．同樣可得【例10】在靜止的湖面上有一質(zhì)量M=100kg的小船，船上站立質(zhì)量m=50kg的人，船長(zhǎng)L=6m，最初人和船靜止．當(dāng)人從船頭走到船尾(如圖)，船后退多大距離(忽略水的阻力)[分析]有的學(xué)生對(duì)這一問題是這樣解答的．由船和人組成的系統(tǒng)，當(dāng)忽略水的阻力時(shí)，水平方向動(dòng)量守恒．取人前進(jìn)的方向?yàn)檎较?，設(shè)t時(shí)間內(nèi)這一結(jié)果是錯(cuò)誤的，其原因是在列動(dòng)量守恒方程時(shí)，船后退的速度考系的速度代入同一公式中必然要出錯(cuò)．【解】選地球?yàn)閰⒖枷?，人在船上行走，相?duì)于地球的平均速度為為【例11】一浮吊質(zhì)量M=2×104kg，由岸上吊起一質(zhì)量m=2×103kg的貨物后，再將吊桿OA從與豎直方向間夾角θ=60°轉(zhuǎn)到θ'=30°，設(shè)吊桿長(zhǎng)L=8m，水的阻力不計(jì)，求浮吊在水平方向移動(dòng)的距離向哪邊移動(dòng)【分析】對(duì)浮吊和貨物組成的系統(tǒng)，在吊桿轉(zhuǎn)動(dòng)過程中水平方向不受外力，動(dòng)量守恒．當(dāng)貨物隨吊桿轉(zhuǎn)動(dòng)遠(yuǎn)離碼頭時(shí)，浮吊將向岸邊靠攏，猶如人在船上向前走時(shí)船會(huì)后退一樣，所以可應(yīng)用動(dòng)量守恒求解．【解】設(shè)浮吊和貨物在水平方向都作勻速運(yùn)動(dòng)，浮吊向右的速度為v，貨物相對(duì)于浮吊向左的速度為u，則貨物相對(duì)河岸的速度為(v-u)．由0＝Mv＋m(v-u)，吊桿從方位角θ轉(zhuǎn)到θ'需時(shí)所以浮吊向岸邊移動(dòng)的距離【說明】當(dāng)?shù)鯒U從方位角θ轉(zhuǎn)到θ'時(shí)，浮吊便向岸邊移動(dòng)一定的距離，這個(gè)距離與吊桿轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，也就是貨物移動(dòng)的速度無關(guān)。但為了應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，必須先假設(shè)浮吊和貨物移動(dòng)為某個(gè)速度?！纠?2】如以下圖，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點(diǎn)O兩側(cè)的人的序號(hào)都記為n(n=1，2，3…)．每人只有一個(gè)沙袋，x＞0一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量m=14kg，x<0一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量為m'=10kg．一質(zhì)量為M=48kg的小車以某初速度從原點(diǎn)出發(fā)向正x方向滑行．不計(jì)軌道阻力．當(dāng)車每經(jīng)過一人身旁時(shí)，此人就把沙袋以水平速度v朝與車相反的方向沿車面扔到車上，v的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍(n是此人的序號(hào)數(shù))．(l)空車出發(fā)后，車上堆積了幾個(gè)沙袋時(shí)車就反向滑行(2)車上最終有大小沙袋共多少個(gè)【分析】因?yàn)槿拥杰嚿系纳炒乃剿俣扰c車行方向相反，兩者相互作用后一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，總動(dòng)量的方向(即一起運(yùn)動(dòng)的方向)必與原來動(dòng)量較大的物體的動(dòng)量方向一樣．當(dāng)經(jīng)過第n個(gè)人時(shí)，扔上去的沙袋的動(dòng)量大于車及車上沙袋的動(dòng)量時(shí)，車就會(huì)反向運(yùn)動(dòng)．車向負(fù)x方向運(yùn)動(dòng)時(shí)、當(dāng)扔上去的沙袋的動(dòng)量與車及車上沙袋的動(dòng)量等值反向時(shí)，車將停頓運(yùn)動(dòng)．【解】(1)設(shè)小車朝正x方向滑行過程中，當(dāng)車上已有(n-1)個(gè)沙袋時(shí)的車速為vn-1，則車與沙袋的動(dòng)量大小為p1＝［M＋(n－l)m]vn-1．車經(jīng)過第n個(gè)人時(shí)，扔出的沙袋速度大小為2nvn-1，其動(dòng)量大小為p2=2nmvn-1,當(dāng)滿足條件p2＞p1時(shí)，車就反向滑行．于是由2nmvn-1＞［M＋(n-l)m]vn-1，得取n=3，即車上堆積3個(gè)沙袋時(shí)車就反向運(yùn)動(dòng)．(2)設(shè)車向負(fù)x方向滑行過程中，當(dāng)?shù)?n—1)個(gè)人扔出沙袋后的車速為v'n-1，其動(dòng)量大小為p'1＝［M＋3m＋(n-l)m'］v'n-1．車經(jīng)過第n個(gè)人時(shí)，扔出沙袋的速度大小為2nv'n-1，其動(dòng)量大小為當(dāng)滿足條