2021屆云南XX中學(xué)高考適應(yīng)性月考(四)數(shù)學(xué)(理)試題

2021屆云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高考適應(yīng)性月考（四）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{x|}，則A∩B中元素的個數(shù)為（）A．4 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】化簡集合，根據(jù)交集的概念求出交集后可得結(jié)果.【詳解】因為，，所以，中含有兩個元素，故選：C.2．復(fù)數(shù)，則（）A．17 B．5 C．12 D．13【答案】D【分析】直接算出答案即可.【詳解】因為，所以，故選：D3．在等比數(shù)列{an}中，若滿足a4·a6＝a3·a5，則數(shù)列{an}的公比為（）A．無法確定 B．1 C．-1 D．1或-1【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，化簡條件即可求解.【詳解】因為等比數(shù)列，且，所以，所以公比為，故選：D4．已知函數(shù)，則f（0）＋f（1）＝（）A．2 B．0 C．1 D．-1【答案】B【分析】直接根據(jù)解析式求出和，再相加即可得解.【詳解】因為，所以，，所以.故選：B5．年，歐拉在給哥德巴赫的一封信中列舉了多面體的一些性質(zhì)，其中一條是：如果用、和表示閉的凸多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)，則有如下關(guān)系：.已知正十二面體有個頂點，則正十二面體有（）條棱A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件得出，，代入歐拉公式可求得的值，即為所求.【詳解】由已知條件得出，，由歐拉公式可得.故選：A.6．雙曲線C：（a＞0，b＞0），其中，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)以及可得，再根據(jù)離心率公式可得結(jié)果.【詳解】因為，，所以.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求雙曲線離心率的關(guān)鍵是找到的等量關(guān)系，由，可得所要的等量關(guān)系.7．若實數(shù)x，y滿足約束條件則（）A．既無最大值又無最小值 B．有最大值無最小值C．有最小值無最大值 D．既有最大值又有最小值【答案】A【分析】畫出可行域，根據(jù)圖象，分析即可得答案.【詳解】畫出可行域，如圖所示：因為取不到該直線上的點，所以A點并不在可行域內(nèi)，即不能取到A點，所以目標函數(shù)既無最大值也無最小值，故選：A.8．正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足，則a5＝（）A．8 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)，時，得到，當(dāng)時，根據(jù)得到或者，再求即可.【詳解】正項數(shù)列，，當(dāng)時，，，所以.當(dāng)時，，，所以或者.當(dāng)時，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，；當(dāng)時，與是正項數(shù)列矛盾，所以舍去.故選：B.9．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三視圖知原幾何體是圓臺，上底面半徑為，下底面半徑為，高為，利用表面積公式即可求解.【詳解】由三視圖可得，該幾何體為圓臺，上底面半徑為，下底面半徑為，高為，可求其母線長為，由圓臺表面積公式可得，故選：A10．在平面直角坐標系中，坐標原點為，A（1，0），B（3，0），，則的內(nèi)切圓圓心到點O的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)內(nèi)切圓圓心為，首先求出內(nèi)切圓半徑，然后可得，然后可算出答案.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓圓心為，，，由等面積法可得內(nèi)切圓半徑，所以，，故選：B11．在圓上有6個不同的點，將這6個點兩兩連接成弦，這些弦將圓分割成的區(qū)域數(shù)最多為（）A．32 B．15 C．16 D．31【答案】D【分析】按照增加一條弦，多出一個區(qū)域，增加一對相交弦，另外再多增加一個區(qū)域進行計算可得解.【詳解】兩個點可以連一條弦，將圓分為兩部分，加一個點，多兩條弦，將圓多分出來兩部分，所以每加一條弦可以按這種方式多出一個區(qū)域，再加一個點，變成了一對相交弦和四條其他的弦，共分為8個區(qū)域，所以除去前一種方式增加的區(qū)域數(shù)，一對相交弦還會多產(chǎn)生一個區(qū)域，故當(dāng)點數(shù)多于4個時，最多可分得總的區(qū)域數(shù)為，此題，所以最多可分為31個區(qū)域.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：按照增加一條弦，多出一個區(qū)域，增加一對相交弦，另外再多增加一個區(qū)域進行計算是解題關(guān)鍵.12．已知正實數(shù)a，b，c，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，則，代入整理化簡后利用基本不等式即可求解.【詳解】令且，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：C【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.二、填空題13．若x＝2是f(x)＝ax3-3x的一個極值點，則a＝________.【答案】【分析】由=0解得，再驗證即可得解.【詳解】因為，所以，因為x＝2是f(x)＝ax3-3x的一個極值點，所以，故，經(jīng)驗證當(dāng)時，是的一個極值點.所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0求解是解題關(guān)鍵.14．若，，則的最大值為________.【答案】6【分析】利用數(shù)量積的定義化簡，結(jié)合三角函數(shù)的有界性得出最大值．【詳解】，所以.故答案為:15．已知平行四邊形ABCD，|AB|＝3，|BC|＝5，則分別以對角線AC，BD為直徑的兩個圓的面積和為________.【答案】【分析】利用余弦定理分別表示出對角線AC，BD，進而可得圓的面積和．【詳解】兩個圓的面積和，由余弦定理可得，，.故答案為：16．一張邊長為2的正方形紙ABCD，將點C折到AB邊上，所有折痕會在正方形上形成一個封閉的圖形，則這個圖形的面積是________.【答案】【分析】根據(jù)題意可得折痕為該拋物線的切線，作出圖象，找出折痕的區(qū)域，利用定積分即可求解.【詳解】設(shè)，，，，折到的點為E，折痕與y軸的交點為F，F(xiàn)關(guān)于直線CE對稱的點為G，G在拋物線上，又在折痕上，可證折痕為該拋物線的切線，折痕圍成的區(qū)域一塊為等腰直角三角形，一塊為拋物線，作出圖象，如下（陰影部分）：總面積.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了定積分求曲邊梯形的面積，解題的關(guān)鍵是找出折痕圍成的區(qū)域，考查了分析能力，屬于中檔題.三、解答題17．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求b的值；（2）若滿足，c＝3，求的面積.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）利用余弦定理以及已知條件可得，即可得出結(jié)果；（2）利用正弦定理以及正弦二倍角公式可得，進一步得到或者，分兩種情況討論，利用余弦定理求角，利用三角形面積公式求解即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由余弦定理可得，又，所以可得.由于，所以.（2）已知，由正弦定理可得，由正弦二倍角公式可得，∵，，，，所以或者，當(dāng)時，，，，，；當(dāng)時，，，，.綜上：的面積為或.18．甲、乙兩隊進行排球比賽，直到某隊贏3局為止.假設(shè)每局比賽獨立，且每局甲勝的概率為0.7.（每局比賽均要分出勝負）（1）求比賽在第4局結(jié)束的概率；（2）若比賽在第4局結(jié)束，求甲獲勝的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用比賽在第4局結(jié)束且甲勝和比賽在第4局結(jié)束且乙勝的概率相加即可得解；（2）根據(jù)條件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)比賽在第4局結(jié)束的概率為，則.（2）設(shè)比賽在第4局結(jié)束為事件A，甲獲勝為事件B，則.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問根據(jù)條件概率求解是解題關(guān)鍵.19．如圖甲，已知直角梯形ABCD，AB//CD，AB＝2CD＝2BC＝4，，E為AB的中點，將三角形ADE沿DE折起，使點A到達點F（如圖乙），且.（1）證明：DE⊥平面FEB；（2）求平面FDE與平面FBC所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）先證明，，再利用線面垂直的判定定理可得答案；（2）過點E作交BF于點G，分別以ED，EB，EG為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出平面FDE與平面FBC的法向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.【詳解】（1）由于，，，所以，所以，，，在平面FEB內(nèi)，所以平面FEB.（2）如圖，過點E作交BF于點G，，，，BE與DE在平面BCDE內(nèi)，所以平面BCDE.分別以ED，EB，EG為x，y，z軸建立空間直角坐標系，，，，，，，，，.設(shè)平面FED的法向量為，，令，得.設(shè)平面FBC的法向量為，令，得，平面FDE與平面FBC所成的銳二面角為，則.【點睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0），焦點為F，過F的所有弦中，最短弦長為4.（1）求p的值；（2）在拋物線C上有兩點A，B，過A，B分別作C的切線，兩條切線交于點Q，連接QF，AF，BF，求證：|QF|2＝|AF|·|BF|.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）分別求過F的直線斜率存在時和斜率不存在時與拋物線相交的弦長，作比較可得最短為2p可得答案；（2）設(shè)，，設(shè)過A點且與拋物線相切的直線：與拋物線聯(lián)立解得，可得與的方程，聯(lián)立得坐標，求出和可得答案.【詳解】（1）當(dāng)過F的直線斜率不存在時，此時弦長為2p；當(dāng)過F的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立可得，弦長為，所以弦長最短為，所以.（2）證明：設(shè)，，設(shè)過A點且與拋物線相切的直線：，聯(lián)立可得，，解得，可得：，同理可得：，聯(lián)立得，，，所以.【點睛】本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，本題關(guān)鍵是求出和的方程，從而得到.21．（1）已知函數(shù)f(x)＝aex＋b，若f(x)在（0，f（0））處的切線方程為y＝x＋1，求a，b；（2）證明：當(dāng)時，cosx＋tanx≤ex.【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)和可求得結(jié)果；（2）只需證明：當(dāng)時，和，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)可證上述兩個不等式成立.【詳解】（1），，，解得，.（2）證明：令，當(dāng)，，單調(diào)遞增，，得，故只需證，令，由于，令，則在上單調(diào)遞增，因為，，故存在，使得.當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，因為，，，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時，和成立是解題關(guān)鍵.22．在極坐標系中，已知點，B（1，π），C（1，0）.（1）求A，B，C三點的直角坐標；（2）已知M是△ABC外接圓上的任意一點，求|MA|2＋|MB|2＋|MC|2的值.【答案】（1），，；（2）8.【分析】（1）根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式，計算可得結(jié)果；（2）利用三角形△ABC的外接圓的參數(shù)方程設(shè)的坐標，然后用兩點間的距離公式計算可得結(jié)果.【詳解】（1）由知，，所以，，所以，由知，，所以，，所以，由知，，，，所以.所以A，B，C三點的直角坐標分別為，，.（