2021屆云南省昆明市某中學(xué)高三上學(xué)期高中新課標(biāo)第四次一輪復(fù)習(xí)檢測數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

2021屆云南省昆明市第一中學(xué)高三上學(xué)期高中新課標(biāo)第四次一輪復(fù)習(xí)檢測數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z與都是純虛數(shù)，則（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由題意設(shè)，再根據(jù)條件求出，最后再求即可.【詳解】因為復(fù)數(shù)z與都是純虛數(shù)，設(shè)，所以，所以且，所以，所以，所以．故選：B．2．已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解不等式求得集合，由交集和并集定義可求得結(jié)果.【詳解】，，，.故選：D.3．設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A．52 B．75 C．60 D．70【答案】A【分析】利用本題中等比數(shù)列的片斷和仍然成等比數(shù)列這個性質(zhì)求解．【詳解】因為，，成等比數(shù)列，即4，12，成等比數(shù)列，所以，所以，故選：A．4．函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-=1-＜0，∴f(3)·f(e)＜0，∴在區(qū)間（e，3）內(nèi)函數(shù)f(x)存在零點.故選C.5．某小區(qū)為了調(diào)查本小區(qū)業(yè)主對物業(yè)服務(wù)滿意度的真實情況，對本小區(qū)業(yè)主進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查中問了兩個問題：①你的手機(jī)尾號是不是奇數(shù)？②你是否滿意物業(yè)的服務(wù)？調(diào)查者設(shè)計了一個隨機(jī)化的裝置，其中裝有大小、形狀、質(zhì)量和數(shù)量完全相同的白球和紅球，每個被調(diào)查者從裝置中隨機(jī)摸球，摸到白球的業(yè)主回答第一個問題，摸到紅球的業(yè)主回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不做．由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個問題別人并不知道，因此被調(diào)查者可以毫無顧慮地給出符合實際情況的答案．已知該小區(qū)800名業(yè)主參加了調(diào)查，且有470名業(yè)主回答了“是”，由此估計本小區(qū)業(yè)主對物業(yè)服務(wù)滿意的百分比大約為（）A．85% B．75% C．63．5% D．67．5%【答案】D【分析】由問卷設(shè)計方式可知，回答第一個問題的人數(shù)有400人，其中有200人的手機(jī)號是奇數(shù)，回答第二個問題的人數(shù)為400人，其中270人回答了“是”，由此可以估計本小區(qū)對物業(yè)服務(wù)滿意的百分比．【詳解】這800名業(yè)主在準(zhǔn)備的兩個問題中回答每一個問題的概率相同，第一個問題可能被回答400次，在這400人中約有200人手機(jī)尾號是奇數(shù)，而有470人回答了“是”，即在400人中有270人回答是否滿意物業(yè)的服務(wù)時回答了“是”，即在400人中有270人滿意物業(yè)的服務(wù)，所以估計本小區(qū)對物業(yè)服務(wù)滿意的百分比大約為，故選：D．6．在中，，則的形狀一定是A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】先根據(jù)向量減法與向量數(shù)量積化簡得邊之間關(guān)系，再判斷三角形形狀.【詳解】因為，所以，即是直角三角形，選D.【點睛】判斷三角形形狀的方法①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．②化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用這個結(jié)論．7．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為半圓弧且點為下底面半圓弧上一點（異于點），則關(guān)于該幾何體的說法正確的是A． B． C．平面 D．平面【答案】C【分析】用反證法可判斷選項錯誤；根據(jù)圓直徑所對圓周角為直角、圓柱母線與底面垂直，利用線面垂直的判定定理可得平面，從而可判斷選項正確.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的半圓柱，圓柱底面半徑為1，高為2，若，因為，，所以平面，又因為平面，所以，不成立，所以不正確；因為，因此，即與不垂直，所以不正確；因為為半圓的直徑，所以，又因為，，所以平面，所以正確；假設(shè)平面，則，又，，所以平面，所以，與矛盾，所以不正確.故選C.【點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查圓柱的性質(zhì)以及空間想象能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.8．已知直線與拋物線相交于兩點，為的焦點，若，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線方程得準(zhǔn)線，過分別作，，根據(jù)拋物線定義和長度關(guān)系可知為中點，進(jìn)而得到，由此可求得點坐標(biāo)，則.【詳解】由拋物線方程知其準(zhǔn)線為：，直線恒過點，過分別作，，垂足分別為，由拋物線定義知：，，，，又，為中點，又為中點，，，點橫坐標(biāo)為，，，又，直線的斜率為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線斜率的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠利用拋物線的定義和長度關(guān)系確定為中點.9．定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，若的導(dǎo)函數(shù)存在且滿足，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知條件，令，求導(dǎo)判斷出單調(diào)性，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出與的范圍，結(jié)合選項得出答案．【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以；又因為，所以．令，所以，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以，即，所以，同理可以排除A、C、D，故選：B10．趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周碑算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）.類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)，若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點，則此點取自小等邊三角形的概率是A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)余弦定理表示出BC，分別求得，根據(jù)幾何概型中概率計算公式即可求解．【詳解】設(shè)因為是由3個全等的三角形與中間的等邊三角形構(gòu)成所以，由余弦定理可知代入可得化簡得由三角形面積公式可得同理所以由幾何概型面積類型的概率可得所以選A【點睛】本題考查了面積型的幾何概率求法，求兩個三角形面積比即可，屬于基礎(chǔ)題．11．設(shè)雙曲線的左焦點為F，過點F且傾斜角為的直線與雙曲線C的兩條漸近線順次交于A，B兩點，若，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)過焦點的直線與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立，得到點的坐標(biāo)，根據(jù)，得到，求雙曲線的離心率.【詳解】令傾斜角為45°直線為，漸近線為，因為由，得，，由得：，所以，所以，所以．故選：B．【點睛】本題考查雙曲線基本性質(zhì)，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進(jìn)而得到關(guān)于的方程.12．過正方體的頂點A作平面，使正方形ABCD，正方形，正方形所在平面與平面所成銳二面角相等，則這樣的平面可以作（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合二面角的概念，即可求解.【詳解】在正方體中，三棱錐是正三棱錐，則平面ABD，平面，平面與平面所成銳二面角相等；過頂點A作平面與平面平行，則平面ABD，平面，平面與平面所成銳二面角相等；同理，過頂點A作平面與平面，平面，平面平行，則正方形ABCD，正方形，正方形所在平面與平面所成銳二面角相等，所以這樣的平面可以作4個.故選：D．二、填空題13．若直線與不等式組，表示的平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是________．【答案】【分析】畫出不等式組表示的區(qū)域，直線恒過定點，數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】如圖所示，可知和，所以．

故答案為：14．已知正項數(shù)列的前n項和為，且，，則的通項公式為__________．【答案】【分析】代入已知式可求得，由時，可得的遞推式，得等差數(shù)列，從而易得通項公式．【詳解】當(dāng)時，，即．因為，所以．由，可得，即，因為，所以．又因為，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以．故答案為：．15．某班6名同學(xué)去A，B，C，D四個城市參加社會調(diào)查，要求將這6名同學(xué)分成四組，每組去一個城市，其中兩組各有兩名同學(xué)，另外兩組各有1名同學(xué)，則不同的分配方案的種數(shù)是__________．（用數(shù)字填寫答案）【答案】1080【分析】先把6人按分組，再分配到四個城市．由此可得方法數(shù)．【詳解】根據(jù)題意，這6人分成四組共有種不同的分組方案，所以總共有種分配方案．故答案為：1080．【點睛】方法點睛：分組分配問題的規(guī)律：1.對于整體均分問題，往往是先分組再排列，在解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù).2.對于部分均分問題，解題時要注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！.3.對于不等分問題，首先要對分配數(shù)量的可能情形進(jìn)行一一列舉，然后再對每一種情形分類討論.在每一類的計數(shù)中，又要考慮是分步計數(shù)還是分類計數(shù)，是排列問題還是組合問題.16．已知函數(shù)的圖象上任意一點處的切線，在函數(shù)的圖象上總存在一條切線，使得，則實數(shù)a的取值范圍為___________．【答案】【分析】由兩切線垂直，所以有，再結(jié)合題意就可以得到a的取值范圍.【詳解】因為，，所以，，分別設(shè)函數(shù)、上的切點分別為、，要使得，則，所以，又因為，所以，又因為，使得等式成立，所以所以，所以實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題，一是要根據(jù)切線的垂直關(guān)系建立等式，二是要根據(jù)等式轉(zhuǎn)化為不等式，從而就可以得到結(jié)果.三、解答題17．在中，內(nèi)角對應(yīng)的邊分別是，已知，．（1）若的面積等于，求的周長；（2）若，求的大?。敬鸢浮浚?）；（2）.【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理可求得，由此可得所求周長；（2）利用正弦定理角化邊得到，由余弦定理構(gòu)造方程可求得，利用余弦定理求得后即可確定的值.【詳解】（1），解得：；由余弦定理得：，，解得：，的周長為.（2）由正弦定理得：；由余弦定理得：，解得：，，，，.18．在直角梯形ABCD中，，，，將直角梯形ABCD以AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸順時針旋轉(zhuǎn)120°，形成如圖所示的幾何體，其中點M是弧CE的中點，連接BM交CE于點O．（1）證明：；（2）求異面直線BM與CD所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由面面平行得到線線平行，再通過線線垂直得到線線垂直；（1）建立空間直角坐標(biāo)系后，準(zhǔn)確地寫點的坐標(biāo)，再計算向量的坐標(biāo)，最后用夾角公式得出答案.【詳解】（1）因為幾何體為圓臺的一部分，所以CD與EF相交，所以C，D，E，F(xiàn)四點共面．因為平面平面BCE，平面平面，平面平面，所以．因為點M是弧CE的中點，由垂徑定理可知．因為，所以．（2）以點B為坐標(biāo)原點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．可知，，，，所以，．設(shè)異面直線BM與CD所成角為．所以，所以異面直線BM與CD所成角的余弦值為．19．某公司為了調(diào)査員工對職工食堂午餐菜品的滿意程度，在公司內(nèi)部隨機(jī)抽取了1000名員工進(jìn)行調(diào)查，將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式進(jìn)行統(tǒng)計，并按、、、、分組后，制作成如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）估計被調(diào)查的員工的滿意程度的中位數(shù)（計算結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（2）若按照分層抽樣的方法從、內(nèi)隨機(jī)抽取8人，再從這8人中隨機(jī)選取4人參加座談會，記分?jǐn)?shù)在內(nèi)選出的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【分析】（1）本題首先可根據(jù)頻率分布直方圖得出，然后與聯(lián)立，求出、的值，最后結(jié)合頻率分布直方圖即可求出中位數(shù)；（2）本題首先可根據(jù)分層抽樣得出在和內(nèi)的員工分別被抽取了2人和6人，然后依次求出、、，即可繪出的分布列并求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，轉(zhuǎn)化得，聯(lián)立，解得，，故所求中位數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖與分層抽樣的性質(zhì)易知，在和內(nèi)的員工分別被抽取了2人和6人，則的可能取值為、、，；；，則的分布列為：234故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查中位數(shù)的求法、分布列的畫法以及數(shù)學(xué)期望的求法，考查根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)，考查分層抽樣的性質(zhì)，考查離散型隨機(jī)變量的概率的求法，考查計算能力，是中檔題.20．已知線段的兩個端點A，B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸和y軸上移動，且，動點P滿足，記點P的軌跡為C．（1）求軌跡C的曲線方程；（2）設(shè)直線l交曲線C于M，N兩點（兩點均不在x軸上）．曲線C交x軸的正半軸于點Q，若以MN為直徑的圓恒過點Q，求證：直線l恒過定點，并且求出此點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析，.【分析】（1）設(shè)，，，由已知向量關(guān)系用表示出，代入可得軌跡的方程；（2）設(shè)，，，然后分類討論，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線的方程為：，求出，由，求得直線方程；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：，代入曲線方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，由，即，代入，可得關(guān)系，得直線過定點．從而得證．【詳解】解：（1）設(shè)，，，則，，由題知：（），因為，所以，整理得：代入（），所以，所以曲線C的方程為．（2）設(shè)，，，情況1：當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為：，則，因為，所以，解得或（舍），即直線l的方程為：；情況2：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：，代入方程：，化簡整理得，，，，由圓的性質(zhì)知，又MQ，NQ的斜率必存在且不為零，所以，（）而，，代入（）得：，解得或，此時直線的方程為：或（舍），綜上所述，直線l恒過定點．【點睛】方法點睛：本題考查求橢圓方程，考查直線與橢圓相交中的定點問題．解題方法是“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)交點坐標(biāo)為，設(shè)直線方程，代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得（需要根據(jù)方便性，可能得），代入定點對應(yīng)的表達(dá)式，利用恒等式知識求得定點坐標(biāo)．21．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若點，均在函數(shù)的圖象上，設(shè)直線AB的斜率為k，證明：．【答案】（1）見解析（2）證明見解析.【分析】（1）先計算表達(dá)式為，再對求導(dǎo)，原函數(shù)的單調(diào)性跟導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有關(guān)，而導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)跟的正負(fù)有關(guān)，從而對進(jìn)行分類討論即可.（2）由于．要證，由于，等價于證明．令，則，所以只須證．接著構(gòu)造函數(shù)證明上述不等式成立即可.【詳解】解：（1）因為，所以函數(shù)的定義域為，，當(dāng)，即時，恒有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，令，解得；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）依題意．要證，由于，即證．令，則，所以只須證．①設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即成立；②要證，由于，即證．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即成立．綜上可知，成立．【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以O(shè)為極點，