2019-2020年北師大版數(shù)學(xué)選修1-2講義第3章§2 數(shù)學(xué)證明及答案

n2222222019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案n222222

數(shù)學(xué)證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解演繹推理的概念．重點(diǎn))

核心素養(yǎng)通過對演繹推理的理解2．掌握演推理的基本模式，并能用它們進(jìn)行一些簡單及應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)的推理．(重點(diǎn))3．能用“段論”證明簡單的數(shù)學(xué)問題．(難點(diǎn))

學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).1．證明證明命題的依據(jù)：命題的條件和已知的定義、公理、定理．證明的方法：演繹推理．2．演繹理的主要形式演繹推理的一種形式：三段論，其推理形式如下：大前提：提供了一個(gè)一般性道理．小前提：研究對象的特殊情況．結(jié)論：根據(jù)大前提和小前提作出的判斷．[特別提醒]運(yùn)用三段論推理時(shí)省略大前提或小前提復(fù)雜的證明，也常把前一個(gè)三段論的結(jié)論作為下一個(gè)三段論的前提1．下面幾推理中是演繹推理的為()A．由金銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可導(dǎo)電B．猜想數(shù)列

11，，，…的通項(xiàng)公式為＝(N)1×2233×4n＋C．半徑為r圓的面積S＝r

2

，則單位圓的面積S＝D．由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(－)＋(－b)＝r，推測空間直角坐標(biāo)系中球的方程為(－a)

＋－b)

＋(－)

＝r

2C[AB歸納推理，D為類比推理，C為演繹推．]-18

2an12019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案2an12．下面幾推理過程是演繹推理的是()A．兩條線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠與∠B兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠＝180°B．某校高三(有55人班有54，(3)有52，由此得出高三所有班級中的人數(shù)都超過人C．由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)1D．在數(shù)列{}，a＝1＝n1出a的通項(xiàng)公式n

1a＋，通過計(jì)算a，aa猜想－3nA

[A演繹推理，B，是歸納推理，是類比推理．3．函數(shù)＝2＋5的圖像是一條直線，用三段論表示為：大前提：_____________________________________________小前提：_____________________________________________結(jié)論：[答案]一次函數(shù)的圖像是一條直線函數(shù)y＝2＋5一次函數(shù)函數(shù)y＝2＋5圖像是一條直線把演繹推理寫成三段論的形式【例1】

將下列演繹推理寫成三段論的形式．一切奇數(shù)都不能被2除，75能被整除，所以是奇數(shù)；三角形的內(nèi)角和為180°，RtABC的角和為；通項(xiàng)公式為a＝3n＋2(n2)的數(shù)列{a}等差數(shù)列．nn思路點(diǎn)撥：三段論推理是演繹推理的主要模式推理形式為“如果?，a?b則?.其中?c為大前提提供了已知的一般性原理?b小前提，提供了一個(gè)特殊情況；ac為大前提和小前提聯(lián)合產(chǎn)生的邏輯結(jié)果．[解]一切奇數(shù)都不能被整除．(大前提)75能被整除(前提)-28

n2019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案n75奇數(shù)．(論)三角形的內(nèi)角和為180°.(前提)Rt△是三角形．(前提)Rt△的內(nèi)角和為180°.(論)數(shù)列{}果當(dāng)≥時(shí)

－a為同一常{nn1

n

}差數(shù)列大前提)通項(xiàng)公式＝32，n≥2，na

－a＝n2[3n1＋2]＝常數(shù))．(前提)nn通項(xiàng)公式為＝＋2(n≥2)數(shù)列{n

n

}差數(shù)列．(結(jié)論)把演繹推理寫成“三段論”的一般方法1．“三段論”寫推理過程時(shí)，鍵是明確大、前提，段論中大前提提供了一個(gè)一般性原理，小前提提供了一種特殊情況兩個(gè)命題結(jié)合起來，揭示一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系．2．尋找大前提時(shí)，保證推理的正確性，以尋找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．1．將下列繹推理寫成三段論的形式．平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分；等腰三角形的兩底角相等∠∠B是腰三角形的兩底角則∠A∠.[解]平行四邊形的對角線互相平分，(前提)菱形是平行四邊形，小前提)菱形的對角線互相平分．(論)等腰三角形的兩底角相等，(前提)-38

2019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案∠A，∠B等腰三角形的兩底角，(小前提)∠A∠.(結(jié)論)演繹推理在幾何中的應(yīng)用【例2】如圖所示，D，EF分別是，CA邊上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A∥BA，求證＝AF.寫出“三段論”形式的演繹推理．思路點(diǎn)撥：用三段論的模式依次證明：DF，四邊形AEDF平行四邊形，DEAF[解]同位角相等，直線平行，(大前提)∠BFD∠是同位角，∠BFD∠，小前提)所以DF.(結(jié)論)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(前提)DE且DF∥EA，(前提)所以四邊形AEDF平行四邊形．結(jié)論)平行四邊形的對邊相等，(前提)DEAF平行四邊形對邊，(小前提)所以＝AF結(jié)論)“三段論”證題的步驟及一般原理1．“三段論”明命題的步驟理清楚證明命題的一般思路；找出每一個(gè)結(jié)論得出的原因；把每個(gè)結(jié)論的推出過程用“三段論”表示出來．2．何證明問題中，一步都包含著一般性原理，可以分析出大前提和小-48

32019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案3前提，將一般性原理應(yīng)用于特殊情況，就能得出相應(yīng)結(jié)論．2．證明：果梯形的兩腰和一底相等，那么它的對角線必平分另一底上的兩個(gè)角．[解]已知在梯形中(圖所示)＝DCAD和它的對角線，證CA平分∠BCD，BD分∠CBA.證明：①等腰三角形的兩底角相等(前提)△DAC等腰三角形，DCDA，小前提)∠1∠2.(論)②兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯(cuò)角相等，(大前提)∠1∠3平行線，被所截的內(nèi)錯(cuò)角，(小前提)∠1∠3.(論)③等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等(前提)∠2，∠3等于∠1，小前提)∠2∠3等．(結(jié)論)即分∠BCD.④同理平分∠演繹推理在代數(shù)中的應(yīng)用[探究問題]1．繹推理的結(jié)論一定正確嗎？[提示]演繹推理的結(jié)論不會超出前提所界定的范圍所以在演繹推理中只要前提和推理形式正確，其結(jié)論一定正確．12．為對數(shù)函數(shù)＝xa0a≠是增函數(shù)，而＝對數(shù)函數(shù)，-58

aa2019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案aa所以ylog

13

x是增函數(shù)．上面的推理形式和結(jié)論正確嗎？[提示]推理形式正確，結(jié)論不正確．因?yàn)榇笄疤崾清e(cuò)誤的【例3】

b＋m已知a，b，m均為正實(shí)數(shù)，ba，用三段論形式證明：<.a＋m思路點(diǎn)撥：利用不等式的性質(zhì)證明[解]因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，等號不改變方向，(大前提)b<a，m>0，小前提)所以mb.(結(jié)論)因?yàn)椴坏仁絻蛇呁由弦粋€(gè)數(shù)不等號方向不變，(大前提)<，(小前提)所以mbabmaab，ama(b)(結(jié)論)因?yàn)椴坏仁絻蛇呁砸粋€(gè)正數(shù)不等號方向不變，(大前提)bama(b)，a)>0，小前提)所以

ba＋m，即<結(jié)論)aaa代數(shù)問題中常見的利用三段論證明的命題1．?dāng)?shù)問題：比如函數(shù)的單調(diào)性奇偶性、周期性和對稱性等．2．?dāng)?shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)，函數(shù)的極值和最值，明與函數(shù)有關(guān)的不等式等．3．角函數(shù)的圖像與性質(zhì)4．列的通項(xiàng)公式遞推公式以及求和，數(shù)列的性質(zhì)．5．等式的證明-68

2b2019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案2ba＋b3．當(dāng)a，b為正實(shí)數(shù)時(shí)，求證：≥ab[解]因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)實(shí)數(shù)，(大前提)ab而－ab2

a2

－

實(shí)數(shù)的平，(前提)2所以

aba－ab非負(fù)實(shí)數(shù)，即－ab0.22所以

ab2

≥ab結(jié)論)1．演繹的提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的個(gè)別、特殊事實(shí)，結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中．在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在著必然的聯(lián)系只要前提是真實(shí)的推理的形式是正確的那么結(jié)論也必定是正確的因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具．2．“三段”的常用格式可以解釋為大前提：M是P；解釋為中的元素都具有P性質(zhì)小前提：S是M；解釋為中的元素都是M中的元素)結(jié)論：S是P.(解釋為S中的元素都具有性質(zhì))3段論中的大前提提供了一個(gè)一般性的原理小前提指出了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到了第三個(gè)命題——結(jié)論．三段論推理的結(jié)論正確與否，取決于兩個(gè)前提是否正確，推理形式即與M的包含關(guān)系)是否正確．1．判斷正“三段論”就是演繹推理．()演繹推理的結(jié)論是一定正確的．()演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()[答案]×

(2)×

×-78

22019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及22三論證明命題任何實(shí)數(shù)的平方大于0為a是實(shí)數(shù)以

2

>0”，你認(rèn)為這個(gè)推理()A．大前錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤

B．小前提錯(cuò)誤D．是正確的A

[這個(gè)三段論推理的大前提是“何實(shí)數(shù)的平方大于0”小前提是a實(shí)數(shù)”，結(jié)論是“a>0”．然結(jié)論錯(cuò)，原因是大前提錯(cuò)誤．]3．如圖所，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危訟B＝CD，＝AD.又因?yàn)椤鰽BC和△的三邊