2019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修二講義第1章1.31.3.1 空間幾何體的表面積及答案

22019-2020年教版數(shù)學(xué)必修二講義：第章1.3+1.3.1空幾何體表面積及答案21.3

空間幾何體表面積和積1.3.1

空間幾何體表面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直棱柱柱錐臺(tái)的幾何特征重點(diǎn))2.了解柱、錐、臺(tái)的表面積的計(jì)算公式(不要求記憶公式)．(易錯(cuò)點(diǎn))3.會(huì)求直棱柱、正棱錐、正臺(tái)、圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積．(重點(diǎn)、難點(diǎn))

核心素養(yǎng)通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容來提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).1．幾種殊的多面體直棱柱：側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．正棱柱：底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．(3)正棱錐：一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱錐．正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等．(4)正棱臺(tái)：正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái)．2．幾種單幾何體的側(cè)面展開圖與側(cè)面積幾何體

直觀圖

側(cè)面展開圖

側(cè)面積直正)棱柱

S

直(正)棱柱側(cè)

＝ch正棱錐

S

正棱錐側(cè)

1＝ch-18

22231522＋＝6362242019-2020年教版數(shù)學(xué)必修二講義：第章1.3+1.3.1空幾何體表面積及答案22231522＋＝636224正棱臺(tái)

S

正棱臺(tái)側(cè)

1＝＋h圓柱圓錐

SS

圓柱側(cè)圓錐側(cè)

＝cl＝2πrl1＝cl＝πrl圓臺(tái)

S

圓臺(tái)側(cè)

1＝＋lr＋rl思考：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系？r＝rr＝提示：S

＝2rl→S

＝π(r＋r)l→

＝πrl1.思考辨析棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體是正方體．有兩個(gè)相鄰側(cè)面為矩形的棱柱為直棱柱．有兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱為直棱柱．

()()()底面為菱形，且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直的棱柱是正四棱柱．[案]

√

√

×

(4)√32．正三棱的底面邊長(zhǎng)為a，高為a，則此棱錐的側(cè)面積為_______．154

a

2

[圖棱錐S-ABC中SSO⊥面ABC于點(diǎn)，則O△ABC中心，連結(jié)AO延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)連結(jié)，SM即為斜高，RtSMO，h＝

3aa，所以側(cè)面積S3×

11515×a×a.]-28

22222019-2020年教版數(shù)學(xué)必修二講義：第章1.3+1.3.1空幾何體表面22223．以邊長(zhǎng)1正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于__________．2π[正方形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱底面半徑r，高＝，所以側(cè)面積S2πrh2π.]4．已知圓的底面半徑為，母線長(zhǎng)與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為__________．6π[＝2π×1×22π1

26.]【例1】

棱柱、棱錐和棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2，高是3，求它的表面積．思路探究：由S

與的關(guān)系，求得斜高與底面邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，而求出斜高和底面邊長(zhǎng)，最后求表面積．[]

如圖，設(shè)PO，PE斜高，∵S＝2S，∴

12

·BC＝.∴＝.在Rt，PO3，＝

1＝PE.∴＋2，∴PE23.∴S＝2(22S

＝2＝2×12∴S＝＋＝12＝36.-38

342下63622－3342019-2020年教版數(shù)學(xué)必修二講義：第章1.3+1.3.1空幾何體表面積及答案342下63622－334求棱錐、棱臺(tái)及棱柱的側(cè)面積和表面積的關(guān)鍵是求底面邊長(zhǎng)，，，側(cè)棱．求解時(shí)要注意直角三角形和梯形的應(yīng)用．1．已知一三棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為20cm30cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺(tái)的高．[]

如圖所示，在三棱臺(tái)ABC-AB中，′，分別為上、下底面的中心，D，D′分別是，BC的中點(diǎn)，則DD是等腰梯形的高，所以S＝3×

12

×(2030)×′75DD又＝20cm，AB30cm，上、下底面面積之和為＋＝×(20＋30

＝325)．由S＝S＋，得75DD＝3253所以DD＝

133

3(cm)，又因?yàn)镺D′＝

3103×20，3OD＝×30，所以棱臺(tái)的高O

DD（ODD′）＝

3103＝43(cm).圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積3【例2】已知圓錐的底面半徑為R高為R.若它的內(nèi)接圓柱的底面半徑為R，求該圓柱的全面積．-48

R，＝422＝2πr＋2πrh2π＋2π＝224442019-2020年教版數(shù)學(xué)必修二講義：第R，＝422＝2πr＋2πrh2π＋2π＝22444思路探究作出軸截，轉(zhuǎn)化為平面問，用比例關(guān)系找出高與半徑的函數(shù)關(guān)系．[]

設(shè)圓柱底面半徑為r高為，由題意知r

3Rr4

3，∴＝R，∴S

RπR1.柱、圓錐、圓臺(tái)的相關(guān)幾何量都集中體現(xiàn)在軸截面此準(zhǔn)確把握軸截面中相關(guān)量是求解旋轉(zhuǎn)體表面積的關(guān)鍵．2.決柱體、錐體、臺(tái)體、球體中的接、切問通常是作出軸截面，化為平面問題來求解．2．圓臺(tái)的、下底面半徑分別是和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺(tái)的表面積是多少？[]

如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180，故cπ2π×，所以＝20，理可得＝40，所以＝SB＝，所以S＝＋＋S＝π(r＋r12

)·ABπr

＋πr212＝π(1020)×20×10π×201100π(cm

．故圓臺(tái)的表面積為1100π

.幾何體側(cè)面積和全面積的實(shí)際應(yīng)用-58

2(2)2(2)(1)2側(cè)＋222019-2020年教版數(shù)學(xué)必修二講義：第章1.3+1.3.1空幾何體表面積及2(2)2(2)(1)2側(cè)＋22[究問題]如圖(所示已知正方體面對(duì)角線長(zhǎng)為a陰影面將它切割成兩塊拼成如圖(2)示的幾何體，那么此幾何體的表面積與正方體的表面積之比為多少？(1)(2)[示]

2由已知可得正方體的邊長(zhǎng)為a新幾何體的表面積為

＝2×

22a×a4×

2

＝(22)a2

.S

＝(22)a∶6×

2＝(2∶3.【例3】用油漆涂個(gè)圓臺(tái)形水桶(桶內(nèi)側(cè)都要涂)口直徑為cm，桶底直徑為25cm，母線長(zhǎng)27.5，已知每平方米需要油漆g共需要多少油漆？(精確到0.1思路探究：求水桶的表面積計(jì)算總油漆量．[]

每個(gè)水桶需要涂油漆的面積為S(

＋S×2＝π

0.25×0.275×0.275＝0.1825π(m

，因此100個(gè)水桶需要油漆100×5π×0.15．對(duì)于有關(guān)幾何體側(cè)面積和全面積的實(shí)際問題，解的關(guān)鍵是把題設(shè)信息數(shù)學(xué)化，然后借助數(shù)學(xué)知識(shí)解決該問題．-68

1222πS2019-2020年教版數(shù)學(xué)必修二講義：第章1.3+1.3.1空幾1222πS3．一個(gè)用花做成的花柱，它的下面是一個(gè)直徑為、高為3的圓柱形物體，上面是一個(gè)半球形體．如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝飾這個(gè)花柱大約需要多少朵鮮花(π取[]

圓柱形物體的側(cè)面面積S

1

3.1×1×32

形物體的表面積為S

2

2×3.1

2≈1.6(m

2

，所以

＋S≈9.31.61

，即10.9×150≈1635()答：裝飾這個(gè)花柱大約需要635鮮花．1．本節(jié)課重點(diǎn)是掌握柱體、錐體、臺(tái)體的表面積求法，難點(diǎn)是求組合體的表面積．2．本節(jié)課掌握的規(guī)律方法求簡(jiǎn)單空間幾何體側(cè)面積、表面積的方法技巧．求組合體的表面積方法．3．本節(jié)課錯(cuò)點(diǎn)是求幾何體表面積時(shí)弄錯(cuò)數(shù)據(jù)和運(yùn)算錯(cuò)誤．1．圓臺(tái)的、下底面半徑分別和，母線長(zhǎng)為6，則其表面積等于()A．πC．58

．51D．67D

[

＝SS＋＝π(3×6×3＋×4.]2正六棱柱的側(cè)面都是正方形面邊長(zhǎng)為它的表面積是6a＋3

2

[六棱柱的表面積為

2a

.]3．一個(gè)圓的底面面積是，其側(cè)面積展開圖是正方形，那么該圓柱的側(cè)面積為________．4πS

[圓柱的底面半徑為，則＝，＝

S

，底面周長(zhǎng)c2πR.圓柱的側(cè)面積為S＝)24

＝4π.]π-78

2122019-2020年教版數(shù)學(xué)必修二講義：第章1.3+1.3.1空幾何體表面積及答案2124．一座倉(cāng)的屋頂呈