浙江省2019高考數(shù)學課時跟蹤檢測(十五)大題考法-圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題

AFAB2－2AFAB2－2課跟檢（五大考—圓曲中最、圍證問xy1.設(shè)橢圓：＋＝a>b>0)的右焦點為，右頂點為A，ab是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點(，均不x軸)，線段AC的中點為，且BF，三共線．(1)求橢圓E的離率；(2)設(shè)(1,0)，過F的線l交于M，兩，直線MA，分別與直線x＝交P，Q兩．證明：以Q直徑的圓過點Fy解法由已知A(0)(0)B(x(－－)則，－22→∵，，D點共線，∴∥BD，→3又＝c－x，－)，BD＝，23a－∴－y(－)·，221∴＝，從而e＝.31法二：連接，(略，由題意知是CAB的中位線，綊，2∴△OFD△AFB.OFOD11∴＝＝，＝，1解得＝3，從而e＝.3(2)證明：∵F的坐標為1,0)，∴＝，從而＝，＝8.x∴橢圓E的程為＋＝98設(shè)直線l的程為＝ny1，

，＋，由＋＝8

消去x得(8n＋y＋ny64＝，－16n－∴＋＝，y＝，8＋8＋其中(＋，)，(ny1，．

ny－－ny－2ny－＋＋1ny－－ny－2ny－＋＋1y－∴直線AM的方程為＝，yny26y6∴Q

，→→6y6y從而·F＝＝64＋＝64＋

36n－＋＋－8＋－64n328＋8n＋＝64＋

－36

＝∴⊥Q，即以P為直徑的圓恒過點F.112．(2017·浙江高)如圖，已拋物線x＝，點，2

，3913B上點P(y<42垂足為Q.

.過點作線AP的垂線，(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求PA|·|的最大值．解：(1)設(shè)直線的率為k1x－41k＝＝－，12x＋213因為－x，221所以－x－，2即直線AP斜率的取值范圍(－1,1)(2)設(shè)直線AP的斜率為.則直線AP的方程為y－＝4

，11即kx＋k＋＝，2493因為直線B直線垂，所以直線Q方程為x＋ky－－＝，42

1124934214112493421444＋＝0，聯(lián)立k＝0，－4＋解得點Q的坐標＝k＋因為||＝1＋2

＝1＋k(＋1)，|Q|＝1＋kx－＝－

k－＋k＋

，所以||·|PQ|＝－1)(＋1).令()(k－1)(＋1)，因為′()＝－k－k＋1)，1令′()＝0，得＝或k＝－舍去)，211所以(在區(qū)間遞增，12

上單調(diào)遞減，127因此當k時，|·|PQ|取得最大值.216x3．(2018·浙江重點中學12月高期末熱身聯(lián)已知橢圓C：＋＝ab>0)的長a1軸長是短軸長的2倍且橢圓過3，

.(1)求橢圓C的方；(2)若橢圓上有相異的兩點AB.，，三不共線，為標原點，且直線AB，OA，的斜率滿足＝·k>0)．(ⅰ)求證：OA|＋|為值；(ⅱ)設(shè)△的面積為，當取最大值時，求直線AB的方程解：(1)由題意可知，b，xy故橢圓方程可化為＋＝，1∵橢圓過點3，2

，∴

31＋＝，解得＝1(負值舍去，a＝2，x∴橢圓C的程為＋1.4

＝81＋142＝81＋142(2)設(shè)直線AB的方程為＝＋(k>0)，(，)，(，y)．∵·(>0)，yyx＋k＋∴xx化簡得k(＋)＋＝，∵，，B點不共線，∴≠0∴(＋)＋＝，

，

①xm，由＋1

消去，整理，得1＋k)x＋k·＋4(m－1)＝，＝－，由根與系數(shù)的關(guān)系可－xx＝.1＋4Δ＝16(1＋k－)>0，8＋＝0(k，將②代入①中得k

③

②1－，解得＝，則2－，(ⅰ)證明：OA|＋|＝x＋＋＋

④333＝x＋x＋＝[(x)－xx＋2，4443將④代入得OA|＋|＝×[4－2×2(－1)]＋＝5.4(ⅱ)設(shè)點O到直線的離為d，11||1則＝|·＝＋|x|·＝22＋21由③及k＝可∈(－0)∪(0，2)，

x＋x

－xm|＝2－||.則＝2||＝

－

m≤

2－＋m＝，2當且僅當m＝±1時，號成立．11∴取大值時直線的方為＝x＋1或y＝－1.22x4．(2018·寶雞質(zhì))已知橢圓＋＝1(>b>0)的左、右焦點分是F，其離心率a

221kx1612t221kx1612t1e＝，點P為圓的一個動點eq\o\ac(△,)積的最大值為43.(1)求橢圓的方程；→→(2)若，，是圓上不重合的四個點AC與BD交于點，·＝，||＋||取值范圍．解：(1)由題意得，當點P是橢圓的上、下頂點eq\o\ac(△,，)PFF的積取得最大值，1此時eq\o\ac(△,S)＝|·|OP＝，所以bc43c1因為＝＝所以b＝3，＝4，a2x所以橢圓方程為＋＝1.1612(2)由(1)得，的標(－2,0)→→因為·0所以AC⊥，→①當直線AC與BD有一條直線斜率不存在時，易得||＋||＝＋＝②當直線AC的斜率存且≠0時，設(shè)其方程為y＝(＋2)Ax，y)，(，)＋2，由＋＝，12

得3＋4＋16k＋16k－＝，－16k16k－則＋＝，＝.3＋4k3＋4→||＝1＋|－|

k＋3＋4k

，1此時直線BD的方程為＝－x＋．kx＋同理由＋＝，

，

→可得|＝

＋4＋3

，→→||＋|

k＋3＋4

＋

k＋4＋3k

＝

＋k

k

＋

＋k

，令＝k

→→＋1，則||＋||＝

t＋

168

－

＝

168t－12＋

(，因為

tP2ktP2kt－1t>1,0<≤，t4→→168所以|||BD|＝∈，14t－112＋→綜上，AC|＋|取值范圍，14

.5．設(shè)拋物線：y＝(>0)焦點為F，過點F的直l交拋物線C于，Q兩點，且P＝，段PQ的點到y(tǒng)軸距離為3.(1)求拋物線C的方程；(2)若點A(，，)是拋物線上異的兩點，滿足x＋＝，的垂線交x軸于點M，求△的面的最大值及此時直線AB的方程xy＋解：(1)設(shè)(x，)，，y)，則Q中點坐標，22x由題意知＝，＋＝，又P＝＋p＝，p＝，故拋物線C的方程為＝x(2)當AB垂直于x軸時顯然不符合題意，所以可設(shè)直線的方程為y＝kx＋(≠0)，

.由

消去y并整理，得x＋kb－4)＋

＝，4－2kb2∴＋＝＝2，得b＝－，k2∴直線AB的方程為y＝x－＋k∵中的橫坐標為12∴中的坐標

.13可知AB的垂線的方程為y＝－x＋，kk∴點坐標為3,0)∵直線AB的方程為k－＋－＝，|3＋－k|2＋∴到線的距離＝＝.k＋||

1kk921kk92－＝，由

得y－＋－＝，448－∴＋＝，，∴|＝

141＋－1＋|－|＝.k設(shè)△AMB的面積為，則＝

11－.設(shè)

11－＝，則≤t，k∴＝(2－)－＋t，′＝12t＋，由′＝，得＝

63

(負舍)，166即＝±3時＝，此時直線AB的方程為3±3－＝6.已知拋物線y＝px(的焦點為，為物線上的(第一象限)，直線l與物線相切于P.(1)過作PM垂于拋物線的準線于點M，連接PF，求證：直線l平分∠MPF(2)若＝過點P且與l垂直的直線交拋物線于另一點Q分別||||交x軸、軸，兩，求＋的取值范圍．|||Q|解：(1)證明：設(shè)(x，)，則＝px，因為點P不是拋物線的頂點，所以直線l的p斜率存在，設(shè)為，則＝，yp所以切線ly－＝(－，即y＝(＋)設(shè)切線l與軸于點C，p則－0)，以FC|＝＋，p由拋物線的定義得||＝PM|＝＋，所||＝||，2所以∠＝FPC∠，因而直線l平分∠.

y|||Qy|||Qy(2)由(1)及已知得，過點P且l垂的直線的斜率為－＝－y因而其方程為y－p