知識講解-直線的交點坐標與距離公式-基礎

直的點標距公【習標1.掌握解方程組的方法，求兩條交直線的交點坐.2.掌握兩點間距離公式，點到直距離公式，會求兩條平行直線間的距.【點理【清堂兩線交與到線距知識要1】要一直的點求兩直線

AxBCAB0)AxCBC111222

的交點坐標需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組

AxBy01AxBy022

的解即.若有

BC11BC

，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有

C111C22

，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，方程組有唯2一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的坐.要詮：求兩直線的交點坐標實際上就是解方程組，看方程組解的個.要二過條線點直系程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系程中除含有x以，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，為參變量，簡稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過兩直線的交點的直線系方程：經(jīng)過兩直線

l:x，ly011122

交點的直線方程為

AxB1

Ay022

，其中

是待定系數(shù)．在這個方程中，無論

取什么實數(shù)，都得不到

AB22

，因此它不能表示直線

l

．要三兩間距公兩點

P，，11222

間的距離公式為PP2

()1

y)1

.要詮：此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎，點到直線的距和兩平行直線之間的距離均可轉化為兩點之間的距離來解決另在下一章圓的標準方程的推導、直與圓、圓與圓的位置關系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應用，需熟練掌要四點直的離式點

P(y)0

到直線

By0

的距離為

d

Ax00A2

.要詮：（）

P(，y00

到直線

By0

的距離為直線上所有的點到已知點P的離中最小距離；（）用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（）公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關系的判斷

要五兩行間距本類問題常見的有兩種解法：①轉化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直AC01

與直線

AxBy2

的距離為

d

2A2

.要詮：(1)兩條平行線間的距離，可以作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；(2)利用兩條平行直線間的距離式

d

C22

時定先將兩直線方程化為一形式兩條直線中x，的系分別是相同的，才能使用此公.【型題類一判兩線位關例．判斷下列各組直線位置關系，如果相交，求出相應的交點坐標：y（1y

yy）1）1xy22

．【答案）

10,3

）合）平行．y【解析方程組y

10x得該方程組有唯一解14y3

，所以兩直線相交且交點坐標為

1014,3

．y（2解方程組11x32②×6得－，因此①和②可以化成同一個方程，即方程組有無數(shù)組解，所以兩直線重合．y（3解方程組x2

②×6①得3=0，矛盾，方程組無解，所以兩直線無公共點，所以兩直線平行．【總結升華】判斷兩直線的位置關系，關鍵是看兩直線的方程組成的方程組的解的情況．舉反：【變式】判斷下列各對直線的位置關系，若相交，求出交點坐標：

（1l：，l：x12（2l：x+y+2=0，l：2x+2y+3=01（3l：―；l：―2y+2=01【答案）線l與l相，交點坐標為（，112（2直線l與l無共點，即l∥l．122（3兩直線重合．類二過條線點直系程例．求經(jīng)過兩直線――3=0和的點且與直線―平的直線方程．【答案】【解析】可先求出交點坐標，根據(jù)點斜式求出所要求的直線方程；也可利用直線系（平行系或過定點系）求直線方程．解法一所的直線為l方組

2yxy

x5得7y5

直l和線3x+y1=0平，∴直線l斜率k=―3．∴根據(jù)點斜式有

3yx55

，即所求直線方程為15x+5y+16=0．解法二：∵直線l兩直線―3y―3=0和x+y+2=0的點，∴設直線l的程為―3y―3+(x+y+2)=0，即(3)y+23=0．∵直線

l

與直線－1=0平，∴

11，得3

．從而所求直線方程為．【總結升華】直線系是直線和方程的理論發(fā)展，是數(shù)學符號語言中一種有用的工具，是一種很用的解題技巧，應注意掌握和應用．舉反：【變式】求證論取么實數(shù)，直―――11)=0都過一個定點并求出個定點的坐標．證法一于方程―1)x+(m+3)y――令――得x+4y+10=0．解方程組，兩直線的交點為，xy將點（，―3）入已知直線方程左邊，得―1)×2+(m+3)―3)――11)=4m―2――m+11=0．這表明不論m什么實數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點，―3證法二：將已知方程以為未知數(shù)，整理為2x+y―1)m+(―x+3y+11)=0．y2由于取的任意性，有，解得．y所以所給的直線不論取么實數(shù)，都經(jīng)過一個定點，―類三對問

00例秋北期中）求點（3―）關于直線l：x―y―的稱點A＇的坐標．【思路點撥】設點＇的坐標為，n得A的點B的標并代入直線l的程得到①，再00由線段＇和線l垂，斜率之積等于得到②，解①②求得m的，即得點A的坐標．【答案】

(

134,)55【解析】設點A（3―）關于直線lx―y―的稱點A＇的坐標為（n則線段A＇的點

(

,)2

，由題意得B在線l：x―y―1=0上故

2

n22

①再由線段A＇和直線l垂，斜率之積等于1得解①②所成的方程組可得：13,，55

n21

②，故點A＇的坐標為

(

134,)55

．【總結升華】本題考查求一個點關于直線的對稱點的坐標的方法，注意利用垂直及中點在軸上個條件．例．求直線x―y―2=0關于直線【答案】

l

：3x―對的直線方程．【解析】解一：由，交點

59P,2

，取直線―y―上點A0―2點A關直線

l

：―y+3=0的稱點為A，00則根據(jù)

k

AA'

l

，且線段AA＇中點在直線l：―y+3=0上有0xy2

，解得．y0故所求直線過點

59,22

與（―3―∴所求直線方程為

92

．即7x+y+22=0解法二：設（x，y）為所求直線上任一點P關直線

l

：―的稱點P據(jù)PP＇⊥

l

且線段＇中點在直線

l

上，可得'x''，解得x'y'3'

10610

．

又∵x直xy2=0上∴

x1010

，即7x+y+22=0．故所求直線方程為7x+y+22=0．【總結升華】軸稱問題一般用這兩種方法求解，其中解法二是求軌跡方程的常用方法，稱為代入法．舉反：【變式）點P（x，）于直線―的稱點坐；00（2求直線l：Ax+By+C=0于直線l：x+y3=0的稱直線l的程1【答案―，x+CBx+Ay――3BC=00【清堂兩線交與到線距要點（）的1【變式】

l

過點M(-2,1)且與點，的距離相等，求直線

l

的方程．【答案】【解析】

yxy法一：直線

l

過AB的點（1，以

l

的方程為

y

．直線l則設l方程為

y(則

k

12

，所以l方程為：

xy法二：由題意知直線

l

的斜率存在，設

l

的方程為

y(

，則A、兩到直線

l

的距離|2

|5k2解得：

k0,

12所以l的方程為：y和xy類四兩間距例．已知點A（，B（3，C（，證△ABC是等腰三角形．【解析】先別求出三邊之長再比較三邊的長短，最后下結論．∵

AB

(4

2

，AC|

2

，|

2

(0

2

，∴|AC|=|BC|．又∵AB、三不共線，∴ABC等腰三角形．【總結升華】利兩點間距離式即可求出兩點間的線段的長度，進而可解決相關問題，在運用兩點間距離公式時只需將兩點坐標代入公式即可．舉反：【變式】以點（―，0（，―2（，）頂點的三角形是（）

1222或A等腰三角形1222或

B等邊三角形

C．角三角形

D以上都不是【答案C【解析】

(223640210

，(

2

2

16322

，(

2

2

82

，∵

2BC

，∴△直角三角形．故選：．l

例6知直線l過3兩平行直線：截的線段長為5求直線l的程．2

l

1

，【答案】【解析】設線

l

與直線

l

、l1

分別交于點（xyB（、y

x1x2

，兩方程相減，得(x―)+(y―y，①112由已知及兩點間距離公式，得x―)+(y―y)，②11由①②解得

x112yyy121

，又點A（，y（，y）直線l上因此直線l的斜112率為0或存在，又直l過P（，1以線l的方程為y=1或x=3【總結升華】從點坐標入手采用“設而不求代入”或“整體消元”的思想方法優(yōu)化了解題過程．這種解題思想方法在解析幾何中經(jīng)常用到，是需要掌握的技能．另外，靈活運用圖形中的幾何性質(zhì)，如對稱，線段中垂線的性質(zhì)等，同樣是很重要的．舉反：【變式】如圖，直l上有兩點ABA點B點橫坐標分別為xx，線l方1程為，求A、兩的距離．【答案】

|AB

(1

)()22

|類五點直的離例．在△ABCA（，（2―2（，∠A的平分線所在直線的方程．【答案】

y【解析】設M（x，y）為A的分線上的任意一點，由已知求得AC邊所在直線的方程為x―5y+12=0所在直線的方程為5xy．由角平分線的性質(zhì)得

|y||526

，∴x――y―12或x――5x+12，―或y=x但結合圖形（如圖知k＜＜k，即ACAB

15

AD

，∴y=不題，故舍去．故所求A的分線所直線的方程為y=x．【總結升華】本利用角的平線上任意一點到角的兩邊的距離相等這一性質(zhì)，創(chuàng)

設了運用點到直線的距離公式的條件，從而得到角的平分線上任意一點的坐標x，y）所滿足的程，化簡即得到所求的直線方程．由此可見，靈活運用點到直線的距離公式的關鍵在于創(chuàng)設出點到直的距離這一條件．舉反：【變式】求點P（―，2）到下列直線的距離：0（12x+y―10=0））y―．【答案）

5

（2

（）1【解析）據(jù)點到直線的距離公式得

d

|2|22

1055

．（2直線方程可化為x+y2=0，所以

d

||12

22

．（3因為直線y―1=0平于軸，所以d=|21|=1類六兩行線的離例．已知直線

l

：+（a∈（1若直線l的斜角為°，求實數(shù)的值；（2若直線

l

在x軸的截距為2，求實數(shù)a值；（3若直線

l

與直線

l

：2－y+1=0平行，求兩平行線之間的距離．【思路點撥）由題意可得°=a，解方程可得）=0解得x即直線l在軸上的截距，可得關于方程，解方程可得）直線的平行關系可得a值代入