人教A版選擇性必修第三冊(cè)第八章82一元線性回歸模型及其應(yīng)用學(xué)案

8．2一元線性回歸模型及其應(yīng)用必備學(xué)問(wèn)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是一元線性回歸模型?如何求閱歷回歸方程?2.如何進(jìn)行回歸分析?一元線性回歸模型的完整表達(dá)式為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e,E〔e〕＝0，D〔e〕＝σ2))，其中Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量，a，b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)，e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差.具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，其樣本點(diǎn)散布在某一條直線y＝bx＋a的四周，可以用一次函數(shù)y＝bx＋a來(lái)描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系嗎？提示：不能．2．閱歷回歸方程(1)最小二乘法我們將＝x＋稱為Y關(guān)于x的閱歷回歸方程，也稱閱歷回歸函數(shù)或閱歷回歸公式，其圖形稱為閱歷回歸直線．這種求閱歷回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估量．(2)閱歷回歸方程的系數(shù)計(jì)算公式(3)閱歷回歸方程的性質(zhì)①閱歷回歸方程肯定過(guò)點(diǎn)；②一次函數(shù)＝x＋的單調(diào)性由的符號(hào)打算，函數(shù)遞增的充要條件是__＞0__；③的實(shí)際意義：當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí)，增大個(gè)單位．正相關(guān)、負(fù)相關(guān)與的符號(hào)有何關(guān)系？提示：Y與x正相關(guān)的充要條件是＞0，Y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是＜0.3．殘差(1)殘差：對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)閱歷回歸方程得到的稱為猜測(cè)值，觀測(cè)值減去猜測(cè)值稱為殘差．(2)打算系數(shù)：R2＝1－越接近1，表示回歸的效果越好．1．辨析記憶(對(duì)的打“√〞，錯(cuò)的打“×〞).(1)閱歷回歸方程肯定過(guò)樣本中的某一個(gè)點(diǎn)．(×)提示：閱歷回歸方程肯定過(guò)點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，可能過(guò)樣本中的某個(gè)或某些點(diǎn)，也可能不過(guò)樣本中的任何一個(gè)點(diǎn)．(2)選取一組數(shù)據(jù)中的局部點(diǎn)得到的閱歷回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的閱歷回歸方程是同一個(gè)方程．(×)提示：選取一組數(shù)據(jù)中的局部點(diǎn)得到的閱歷回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的閱歷回歸方程不肯定是同一個(gè)方程．(3)在閱歷回歸模型中，R2越接近于1，表示解釋變量和響應(yīng)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．(√)(4)在畫(huà)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，響應(yīng)變量在x軸上，解釋變量在y軸上．(×)提示：在畫(huà)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，解釋變量在x軸上，響應(yīng)變量在y軸上．2．假如記錄了x，y的幾組數(shù)據(jù)分別為(0，1)，(1，3)，(2，5)，(3，7)，那么y關(guān)于x的閱歷回歸直線必過(guò)點(diǎn)()A．(2，2)B．(1.5，2)C．(1，2)D．(1.5，4)【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋2＋3,4)＝1.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋5＋7,4)＝4，所以閱歷回歸直線必過(guò)點(diǎn)(1.5，4).3．假設(shè)一個(gè)樣本的總偏差平方和為80，殘差平方和為60，那么R2為_(kāi)_______.【解析】R2＝1－eq\f(60,80)＝0.25.答案：關(guān)鍵力量·合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一閱歷回歸方程及其應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)1．四名同學(xué)依據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)討論變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得閱歷回歸方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：①y與x負(fù)相關(guān)且x－6.423；②y與x負(fù)相關(guān)且x＋5.648；③y與x正相關(guān)且x＋8.493；④y與x正相關(guān)且x－4.578.其中肯定不正確的結(jié)論的序號(hào)是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】＞0，負(fù)相關(guān)時(shí)＜0，故①④肯定不正確．2.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x(單位：萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額y(單位：萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x4235銷(xiāo)售額y49263954依據(jù)上表可得閱歷回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型猜測(cè)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷(xiāo)售額為()A．63.6萬(wàn) 【解析】選B.eq\x\to(x)＝eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝3.5，eq\x\to(y)＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)＝42.由于回歸直線過(guò)點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，所以42＝9.4×3.5＋，解得＝9.1，故回歸方程為xx＝6時(shí)＝6×9.4＋9.1＝65.5.3．某商店統(tǒng)計(jì)了最近6個(gè)月商品的進(jìn)價(jià)x與售價(jià)y(單位：元)的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下：x3528912y46391214那么閱歷回歸方程為_(kāi)_______.【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(3＋5＋2＋8＋9＋12,6)＝6.5，eq\x\to(y)＝eq\f(4＋6＋3＋9＋12＋14,6)＝8，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝32＋52＋22＋82＋92＋122＝327，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝3×4＋5×6＋2×3＋8×9＋9×12＋12×14＝396，＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－6\x\to(x)2)≈1.143，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)≈0.571.故閱歷回歸方程為x＋0.571.答案：x1．求閱歷回歸方程的方法(1)公式法：求出b，a的最小二乘估量，．(2)待定系數(shù)法：利用閱歷回歸直線過(guò)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))求，．2．閱歷回歸方程的應(yīng)用(1)進(jìn)行猜測(cè)：把閱歷回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(2)推斷正、負(fù)相關(guān)：打算正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是參數(shù)．【加練·固】依據(jù)?中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒?計(jì)算整理某城市最近十年蔬菜需求量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，截取局部統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：年份20092011201320152017需求量(萬(wàn)噸)336346357376386(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)依據(jù)(1)畫(huà)出的散點(diǎn)圖推斷需求量與年份是否線性相關(guān)，假設(shè)相關(guān)，求出閱歷回歸方程，假設(shè)不相關(guān)，說(shuō)明理由；(3)利用(2)中所求的閱歷回歸方程猜測(cè)該市2020年的蔬菜需求量．附：參考公式＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)〔ti－\x\to(t)〕〔mi－\x\to(m)〕,\i\su(i＝1,n,)〔ti－\x\to(t)〕2)＝eq\x\to(m)－eq\x\to(t)【解析】(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖．(2)由散點(diǎn)圖可知，需求量與年份線性相關(guān)．將所給表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理如下表：t(年份－2013)－4－2024m(需求量－357)－21－1101929由表可知eq\x\to(t)＝eq\f(1,5)(－4－2＋0＋2＋4)＝0，eq\x\to(m)＝eq\f(1,5)(－21－11＋0＋19＋29)＝3.2.所以＝[(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2]÷(42＋22＋22＋42－5×02)＝6.5，所以＝3.2－0×6.5＝3.2，所以t＋3.2，所以線性回歸方程是－357＝6.5(x－2013)＋3.2，即x－12724.3.(3)當(dāng)x＝2020時(shí)，＝6.5×2020－12724.3＝405.7，即猜測(cè)該市2020年蔬菜需求量是405.7萬(wàn)噸．類(lèi)型二線性回歸分析(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】某運(yùn)發(fā)動(dòng)訓(xùn)練次數(shù)與訓(xùn)練成果之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如表：次數(shù)(x)3033353739444650成果(Y)3034373942464851(1)作出散點(diǎn)圖；(2)求出閱歷回歸方程；(3)作出殘差圖；(4)計(jì)算R2，并說(shuō)明運(yùn)發(fā)動(dòng)的訓(xùn)練次數(shù)對(duì)成果的影響占百分之幾．【解析】(1)作出該運(yùn)發(fā)動(dòng)訓(xùn)練次數(shù)x與成果Y的散點(diǎn)圖，如下圖．由散點(diǎn)圖可知，它們之間具有相關(guān)關(guān)系．(2)eq\x\to(x)＝39.25，eq\x\to(y)＝40.875，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝12656，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝13180，所以≈1.0415，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝－0.003875，所以閱歷回歸方程為＝1.0415x－0.003875.(3)殘差分析：下面的表格列出了運(yùn)發(fā)動(dòng)訓(xùn)練次數(shù)和成果的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)．xY3030－1.24113334－0.365635370.551437390.468439421.385444460.177946480.09495051－1.0711作殘差圖如下圖．由圖可知，殘差點(diǎn)比擬勻稱地分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選擇的模型比擬適宜．(4)計(jì)算R2≈0.9855，說(shuō)明白該運(yùn)發(fā)動(dòng)的訓(xùn)練次數(shù)對(duì)成果的影響占98.55%.“R2、殘差圖〞在回歸分析中的作用(1)R2是用來(lái)刻畫(huà)回歸效果的，由R2＝1－可知R2越大，意味著殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型的擬合效果就越好．(2)殘差圖也是用來(lái)刻畫(huà)回歸效果的，推斷依據(jù)是：殘差點(diǎn)比擬勻稱地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精度越高．為討論質(zhì)量x(單位：g)對(duì)彈簧長(zhǎng)度Y(單位：cm)的影響，對(duì)不同質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如表所示：x51015202530Y(1)作出散點(diǎn)圖并求閱歷回歸方程；(2)求出R2并說(shuō)明回歸模型擬合的程度；(3)進(jìn)行殘差分析．【解析】(1)散點(diǎn)圖如圖．eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，計(jì)算得≈0.183，≈6.285.故所求閱歷回歸方程為x.(2)列出殘差表為yi－iyi－eq\x\to(y)yi－iyi－eq\x\to(y)所以i)2≈0.01318，eq\x\to(y))2＝14.6783.所以，R2＝1－eq\f(0.01318,14.6783)≈0.9991，回歸模型的擬合效果較好．(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比擬大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)樣本點(diǎn)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，假如有的話，需要訂正，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比擬勻稱地落在狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量成線性關(guān)系．類(lèi)型三求非線性閱歷回歸方程(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】在一化學(xué)反響過(guò)程中，某化學(xué)物質(zhì)的反響速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了如表所示的8組數(shù)據(jù)，求y與x的閱歷回歸方程．催化劑量x(g)1518212427303336化學(xué)物質(zhì)反響速度y(g/min)6830277020565350【解析】依據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，如下圖．依據(jù)樣本點(diǎn)的分布狀況，可選用指數(shù)型函數(shù)模型y＝c1ec2x(c1，c2為待定的參數(shù))，令z＝lny，那么z＝c2x＋lnc1，即變換后樣本點(diǎn)應(yīng)當(dāng)分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的四周，由y與x的數(shù)據(jù)表得z與x的數(shù)據(jù)表如下：x1518212427303336z作出z與x的散點(diǎn)圖，如下圖，由圖可以看出變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線四周，所以可用線性回歸方程來(lái)擬合．由表中數(shù)據(jù)可得≈0.1812，≈－0.8492，故＝0.1812x－0.8492，所以＝e0.1812x－0.8492，因此該化學(xué)物質(zhì)的反響速度與催化劑的量的非線性回歸方程為＝e0.1812x－0.8492.求非線性閱歷回歸方程常見(jiàn)轉(zhuǎn)化類(lèi)型：(1)反比例函數(shù)y＝a＋eq\f(b,x)可作變換t＝eq\f(1,x)，得y＝a＋bt.(2)冪函數(shù)型y＝axb(a＞0)可作變換Y＝lny，m＝lna，t＝lnx，那么有Y＝m＋bt.(3)指數(shù)型函數(shù)y＝kabx(a＞0且a≠1，k＞0)可作變換Y＝lny，m＝lnk，那么有：Y＝m＋(blna)x生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動(dòng)物依舊會(huì)消耗體內(nèi)能量，主要是為了保持體溫．脈搏率f是單位時(shí)間心跳的次數(shù)，醫(yī)學(xué)討論發(fā)覺(jué)，動(dòng)物的體重W(單位：g)與脈搏率f存在著肯定的關(guān)系．如表給出一些動(dòng)物體重與脈搏率對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，圖1畫(huà)出了體重W與脈搏率f的散點(diǎn)圖，圖2畫(huà)出了lgW與lgf的散點(diǎn)圖．動(dòng)物名體重脈搏率鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔2000200小狗5000120大狗3000085羊5000070為了較好地描述體重和脈搏率的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種模型供選擇：①f＝kW＋b②lgf＝klgW＋b(1)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由；(2)不妨取表中豚鼠和兔的體重脈搏率數(shù)據(jù)代入所選函數(shù)模型，求出f關(guān)于W的函數(shù)解析式；(3)假設(shè)馬的體重是兔的256倍，依據(jù)(2)的結(jié)論，估計(jì)馬的脈搏率．(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.5.)【解析】(1)模型②lgf＝klgW＋b最符合實(shí)際．依據(jù)散點(diǎn)圖的特征，圖2根本上呈直線形式，所以可選擇一次函數(shù)來(lái)刻畫(huà)lgW和lgf的關(guān)系．(2)lg200＝2＋lg2≈2.3，lg2000＝3＋lg2≈3.3，lg300＝2＋lg3≈2.5，由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg300＝klg300＋b,lg200＝klg2000＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,4),b＝\f(25,8)))，所以lgf＝－eq\f(1,4)lgW＋eq\f(25,8)，所以f關(guān)于W的函數(shù)解析式為f＝·.(3)設(shè)馬的體重和脈搏率分別為W1，f1，兔的體重和脈搏率分別為W2，f2，由題意知，eq\f(W1,W2)＝256，所以eq\f(f1,f2)＝＝＝＝＝eq\f(1,4).由于f2＝200，所以f1＝50，即馬的脈搏率為50.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1．關(guān)于回歸分析，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A．回歸分析是討論兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的方法B．散點(diǎn)圖中，解釋變量在x軸，響應(yīng)變量在y軸C．回歸模型中肯定存在隨機(jī)誤差D．散點(diǎn)圖能明確反映變量間的關(guān)系【解析】選D.用散點(diǎn)