2021屆河南省湘豫名校高三上學期1月月考數(shù)學理科試題(解析版)

湘豫名校聯(lián)考（2021年1月）數(shù)學（理科）試卷第Ⅰ卷一、選擇題1．將下列各式的運算結(jié)果在復平面中表示，在第四象限的為（）A． B． C． D．2．設(shè)全集，集合，，則（）A． B．C． D．3．張先生去某城市參加學術(shù)會議，擬選擇在會議中心附近的、兩酒店中的一個人?。畠删频陾l件和價格相當，張先生在網(wǎng)上查看了最近入住兩個酒店的客人對兩酒店的綜合評分，并將評分數(shù)據(jù)記錄為如右的莖葉圖．記、兩酒店的宗合評分數(shù)據(jù)的均值為，，方差為，，若以此為依據(jù)，下述判斷較合理的是（）A．因為，，應選擇酒店B．因為，，應選擇酒店C．因為，，應選擇酒店D．因為，，應選擇酒店4．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．過拋物線的焦點的直線與拋物線相交于，兩點，，弦中點的橫坐標，則該拋物線的方程為（）A． B． C． D．6．《巴黎協(xié)定》是2015年12月12日在巴黎氣候變化大會通過，2016年4月22日在紐約簽署的氣候變化協(xié)定，該協(xié)定為2020年后的全球應對氣候變化行動作出安排．中國政府一直致力積極推動《巴黎氣候》協(xié)定的全面有效落實．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，排放時污染物的含量不得超過1%．已知在過濾過程中污染物的數(shù)量（單位：毫克/升）與過濾時間（單位：時）之間的函數(shù)關(guān)系式為（，均為正常數(shù)）．如果前5小時的過濾過程中污染物被排除了90%，那么排放前至少還需要過濾的時間是（）A．小時 B．小時 C．5小時 D．10小時7．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．的圖象的一條對稱軸為 D．的圖象的一個對稱中心為8．的展開式中僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則它的展開式中的常數(shù)項為（）A．-20 B．20 C．-15 D．159．若雙曲線的一條漸近線與函數(shù)的圖象相切，則該雙曲線離心率為（）A． B． C．2 D．10．在中，由角，，所對的邊分別為，，，且，則的最大值為（）A． B． C．1 D．11．已知矩形中，，，，分別為邊和上的動點（不與端點重合），且，將四邊形沿折起，使平面平面，連接，，當三棱柱的體積最大時，該三棱柱的外接球體積為（）A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．由此結(jié)論可求的對稱中心為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題13．若單位向量，的夾角為120°，則______．14．若，則______．15．如圖，三棱椎的底面是等腰直角三角形，，且，，則點到平面的距離等于______．16．在平面直角坐標系中，橢圓，雙曲線，，分別為，上的動點，且，則的最小值為______．三、解答題（一）必考題：17．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前項和．（1）求和的通項公式；（2）在平面直角坐標系中，記點，，…，，設(shè)所在的直線與x軸交于點，，求．18．為激活國內(nèi)消費市場，挽回疫情造成的損失，國家出臺一系列的促進國內(nèi)消費的優(yōu)惠政策，某機構(gòu)從某一電商的線上交易大數(shù)據(jù)中來跟蹤調(diào)查消費者的購買力，界定3至8月份購買商品在5000元以上人群屬“購買力強人群”，購買商品在5000元以下人群屬“購買力弱人群”．現(xiàn)從電商平臺消費人群中隨機選出200人，發(fā)現(xiàn)這200人中屬購買力強的人數(shù)占80%，并將這200人按年齡分組，記第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到頻率分布直方圖，如圖．（1）求出頻率分布直方圖中的值和這200人的平均年齡；（2）從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，并再從這5人中隨機抽取2人進行電話回訪，求這兩人恰好屬于不同組別的概率；（3）把年齡在第1，2，3組的居民稱為青少年組，年齡在第4，5組的居民稱為中老年組，若選出的200人中“購買力弱人群”的中老年人有20人，問是否有99%的把握認為是否屬“購買力強人群”與年齡有關(guān)?附：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，19．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為的中點．（1）求證：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．20．已知橢圓的離心率為，點，分別為其左、右焦點，點，分別為其左、右頂點，點為橢圓上不與，重合的動點，且面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）分別過點，作直線于點，于點，設(shè)與相交于點，求點的軌跡方程．21．已知函數(shù)，．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（二）選考題．22．在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為，交極軸于點，交直線于點．（1）求，點的極坐標方程；（2）若點為橢圓上的一個動點，求面積的最大值及取最大值時點的直角坐標．23．已知函數(shù)．（1）若，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．湘豫名校聯(lián)考（2021年1月）數(shù)學（理科）參考答案一、選擇題題號123456789101112答案ABBCBCCDADCB1．A【解析】由在第四象限，故選A．2．B【解析】由得，所以，所以．3．B【解析】由，，，，故選B．4．C【解析】易知，，又，，而，有，則．故選C．5．B【解析】設(shè)，，由拋物線定義知：，又，即，故拋物線方程為．6．C【解析】由題知：當時，，所以，即，由，即，解得，即還需5小時，故選C．7．C【解析】由題知：．當時，，易知C正確．8．D【解析】的展開式中，僅有第4項的二項式系數(shù)最大，即最大，所以，所以展開式的通項公式為，令，得，故展開式中的常數(shù)項為．9．A【解析】易知切點為原點，又的導函數(shù)，故，，，又，則．故選A10．D【解析】由正弦定理：．化簡得，故．當且僅當，即，，時取“=”故選D．11．C【解析】設(shè)，則，折得的幾何體為三棱柱，故．當且僅當時，的體積最大．此時外接球直徑為，故外接球體積．12．B【解析】由題知，設(shè)的對稱中心為，則為奇函數(shù)．即，即．又，，，則恒成立，則故選B．二、填空題13．【解析】，故．14．【解析】．15．【解析】由題意，可將三棱錐補全為邊長為1的正方體如圖所示，，，設(shè)點到平面的距離為，則由得，所以．16．【解析】①當直線與軸重合時，，，此時；②當直線不與軸重合時，設(shè)為，則直線的方程為，，．則，所以，當時等號成立，又，所以最小值為．三、解答題17．【解析】（1）由題知，為等差數(shù)列，設(shè)其公差為．由，得，解得．故．又的前項和．時，，時，．也符合上式，故．即：，．（2）由題知，直線過點和，故其方程為，即，令，即有，即．，故．）+…+（n十318．【解析】（1）由題意得：，所以，200人的平均年齡為：．（2）由題意得：利用分層抽樣的方法從第一組抽取2人，從第二組抽取3人，記從第一組抽取的2人為，，從第二組抽取的3人為，，則從這5人中隨機抽取2人的基本事件有，即10種，其中兩人恰好屬于不同組別的基本事件有種，即6種，故所求的概率．（3）由題意可得列聯(lián)表為：購買力強人群購買力弱人群合計青少年組10020120中老年組602080合計16040200故的觀測值，故沒有99%的把握認為是否屬“購買力強人群”與年齡有關(guān)．19．【解析】（1）連接交于，連接，則為中點，所以為的中位線，，又平面，平面，平面．（2），所以，取中點，中點，連接，，則，，，，、平面，，平面，又平面，，，，、平面，平面，又因為平面，所以，所以，，兩兩垂直；如圖，以為原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，則即??；設(shè)平面的法向量為，則即取，所以，所以二面角的余弦值為．20．【解析】（1）由題意得，即．又，點為橢圓上的動點．故，則的最大值為即，代入得，故，，即橢圓方程為．（2）設(shè)，，則．①由題意得：，，，，則，．且，代入①得，又，所以，即，整理得．故為所求軌跡方程．21．【解析】（1），．，令，解得（負值舍去）．所以當，；當，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由已知，，由于恒成立，即恒成立，等價于恒成立，令，，，令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即恒成立，令，，，令，解得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時